20212022學年九年級數學下冊尖子生培優題典【蘇科版】專題6.2相似三角形的判定專項提升訓練（重難點培優）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·江蘇·寶應縣城郊中學九年級階段練習）如圖，點P在ΔABC的邊AC上，要判斷ΔABP∽ΔA．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB【答案】D【分析】根據相似三角形的判定方法，逐項判斷即可．【詳解】解：在ΔABP和ΔACB中，∴當∠ABP=∠C時，滿足兩組角對應相等，可判斷ΔABP∽ΔACB當∠APB=∠ABC時，滿足兩組角對應相等，可判斷ΔABP∽ΔACB當APAB=ABAC時，滿足兩邊對應成比例且夾角相等，可判斷當ABAC=BPCB，則不能判斷故選：D．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵，即在兩個三角形中，滿足三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等或兩組角對應相等，則這兩個三角形相似．2．（2022·江蘇揚州·九年級階段練習）如圖，AB是半圓O的直徑，D，E是半圓上任意兩點，連結AD，DE，AE與BD相交于點C，要使△ADC與△ABD相似，可以添加一個條件．下列添加的條件其中錯誤的是（A．∠ACD=∠DABC．AD2=【答案】D【分析】利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對A進行判定；先利用等腰三角形的性質和圓周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對B進行判定；利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可對C【詳解】解：∵∠ADC=∠BDA∴△ADC∽△BDA∵AD∴AD∴∠DAE∵∠ADC∴△ADC∽△BDA∵A∴AD∵∠∴△ADC∽△BDA∵CD∴CD∵∠ACD∴△DAC與△DBA不相似，故故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似；也考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．3．（2022·江蘇揚州·九年級階段練習）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E.若AB=10，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先求出DF=12AB=AD=BD=5，然后證明DE∥BC【詳解】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB∵AB=10，D為∴DF=1∴∠又∵BF平分∠∴∠∴∠∴DE∥∴ADDB∴AE∴DE∴EF=DE-DF=8-5=3，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定，平行線分線段成比例定理以及三角形中位線定理等知識，證明DE∥4．（2022·江蘇·泰州市民興中英文學校九年級階段練習）如圖，在△ABC中，點P在邊AB上，則在下列四個條件中：①∠ACP=∠B②∠APC=∠ACB③CP·AB=AP·CB④A能滿足△APC與△ABC相似的條件是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根據相似三角形的判定定理，結合圖中已知條件進行判斷．【詳解】當∠ACP=∠B，又∵∠A=∠A，∴△APC∽△ABC，故條件①能判定相似，符合題意；當∠APC=∠ACB，又∵∠A=∠A，∴△APC∽△ABC，故條件②能判定相似，符合題意；當AB?CP=AP?CB，即PC:BC=AP:AB，而∠PAC=∠CAB，∴條件③不能判斷△APC∽△ABC相似，不符合題意；當AC即AC:AB=AP:AC，又∵∠A=∠A，∴△APC∽△ABC，故條件④能判定相似，符合題意；①②④能判定相似，故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．5．（2021·江蘇·蘇州市吳江區梅堰中學八年級階段練習）下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網格，網格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】可利用正方形的邊把對應的線段表示出來，利用三邊對應成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題．【詳解】解：根據題意得：AC=1∴AC∴該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為BCAC第1個圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2，故第1個圖形中三角形與△ABC相似；第2個圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1，故第2個圖形中三角形不與△ABC相似；第3個圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形不是直角三角形，故第3個圖形中三角形不與△ABC相似；第4個圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2，故第4個圖形中三角形與△ABC相似；故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，三角形對應邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關鍵．6．（2022·江蘇南通·二模）如圖，等邊三角形ABC中，點P，Q分別在邊AB，AC上，BP＝2CQ．過由Q作PQ的垂線，交邊BC于點R．若求△ABC的周長，則只需知道（

）A．四邊形APRQ的周長 B．四邊形PQCR的周長C．△BPR的周長 D．△APQ的周長【答案】C【分析】取PB,PR的中點F,E，連接FE,EQ，過點Q作QD∥AB交BC于點D，過點P作PG∥BC，交AC于點G，根據等邊三角形的性質與判定可知△APG,△CDQ是等邊三角形，進而證明BFQD是平行四邊形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，EQ=12PR，根據三角形中位線的性質可得EF=【詳解】如圖，取PB,PR的中點F,E，連接FE,EQ，過點Q作QD∥AB交BC于點D，過點P作PG∥BC，交∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，AB=BC=AC，∴∠DQC=∠A=60°，∴△CDQ是等邊三角形，同理可得△APG是等邊三角形，∵AP=AG，則AB-AP=AC-AG，即PB=GC，∵E,F是BP,PR的中點，則EF=1∵Rt△PQR中，∴QE=1∵PB=2QC，PB=GC，∴GC=2CQ，即Q為CG的中點，∵PG∥∴PE∴EQ∥又FE∥∴EF∥∴E,F,Q三點共線，∴△AFQ是等邊三角形，∵FQ∥∴四邊形BFQD是平行四邊形，∴FQ=BD,BF=DQ，∴FQ+QC=BD+DC=BC，∵PB+PR+BR=2BF+2EQ+2EF=2DC+2=2DC+2FQ=2=2BC．∴△BPR的周長等于2BC，等邊三角形的周長等于3BC．故選C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，綜合運用以上知識是解題的關鍵．7．（2022·江蘇·文林中學九年級階段練習）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】根據矩形的性質得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根據折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，【詳解】解：根據矩形的性質得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°由折疊的性質得，∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，∴∠EBG=∠FBE+∠FBG=12∠ABC=由折疊的性質得，BF=BC=10，BH=BA=6，∴HF=BF-BH=4在Rt△ABF中，AF=BF2-BA2=8，設GH=x，則GF=8-x，在Rt△GHF中，x同理在Rt△FDE中，FD=2，ED=6-EF，由FD2∴ED=8∴EDFD∴△DEF與△ABG不相似，故②不正確；∵S△ABG=1∴S△ABGS△FGH=9∵AG=3，DF=2，FG=5，∴AG+DF=FG=5，故④正確．正確的有①③④故選：B【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質，矩形的性質、相似三角形的判定等知識點，能靈活運用定理進行推理和計算是解此題的關鍵．8．（2022·江蘇·江陰市青陽初級中學九年級階段練習）如圖，已知AB∥CD∥A．CECB=ADDF B．DFAD=【答案】D【分析】根據“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”進行判斷即可．【詳解】解：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，∵BC和AD對應，CE和DF對應，BE和AF對應，∴CECB=DF故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，確定出對應線段是解題的關鍵．二、填空題9．（2020·江蘇無錫·九年級階段練習）如圖，點D、E在△ABC的邊AB、AC上，請添加一個條件：____，使△ADE∽△ACB．【答案】∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一個即可）．【分析】解：根據∠AED=∠B和∠A=∠A,可證△AED∽△ABC，故添加條件∠AED=∠B；根據∠2=∠B和∠A=∠A,可證△AED∽△ABC，故添加條件∠2=∠B；根據兩邊對應成比例且夾角相等，故添加條件AD∶AC＝AE∶AB，然后任選其一即可解答．【詳解】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A∴△AED∽△ABC，故添加條件∠AED=∠B可證其相似；∵∠2=∠B，∠A=∠A,∴△AED∽△ABC，故添加條件∠2=∠B可證其相似；根據兩邊對應成比例且夾角相等，故添加條件AD∶AC＝AE∶AB可證其相似．故答案為∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一個即可）．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關鍵．10．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，CE=3cm，則AN=____cm．【答案】2【分析】連接AC，過點E作EP∥AF，交BC于P，由平行線分線段成比例定理及中點的定義可得CM=2cm，根據平行四邊形的性質及中點的定義證明四邊形AECG、四邊形AFCH【詳解】連接AC，過點E作EP∥AF，交BC于∴BEBA=∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴BP=FP=1∴CM∵CE=3cm，∴CM=2cm∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD,AD=BC,AB∥∵E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，∴AE=CG,AH=CF，∴四邊形AECG、四邊形AFCH是平行四邊形，∴AG∥∴四邊形AMCN是平行四邊形，∴AN=CM=2cm故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理、中點的定義及平行四邊形的判定和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．11．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）如圖，在△ABC中，DE∥AB，DF∥BC，如果AF【答案】2【分析】利用平行線分線段成比例定理計算即可．【詳解】如圖，∵DF∥BC，∴AFFB∴ADAC∵DE∥∴ADAC故答案為：25【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握并靈活運用定理是解題的關鍵．12．（2021·江蘇·無錫市江南中學二模）如圖，點A（﹣7，8），B（﹣5，4）連接AB并延長交反比例函數y＝kx（x＜0）的圖像于點C，若BCAB＝12，則k【答案】﹣8【分析】作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，則有AD//BE//CF，FEED=BCAB，進而求得FEED=12，然后根據點A、B的坐標求得【詳解】解：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F，則AD//BE//CF，∴EFDE＝BCAB＝∵點A（﹣7，8），B（﹣5，4），∴DE＝2，∴EF＝1，∴OF＝4，即點C的橫坐標為﹣4，同理，點C的縱坐標為2，即點C的坐標為（﹣4，2），∵點C在反比例函數y＝kx（x＜0∴k＝﹣4×2＝﹣8，故答案為：﹣8．【點睛】本題主要考查反比例函數、平行線所截線段成比例等知識點，掌握平行線所截線段成比例是解答本題的關鍵．13．（2022·江蘇泰州·九年級期末）如圖，點D、E分別是△ABC的邊BC、AC中點，AD、BE相交于F，則AFFD等于____【答案】2【分析】過點D作BE的平行線交AC于點G，由平行線分線段成比例可得GCEG=CDBD，再根據D為BC中點，即可推出G為CE中點．再根據E為AC中點，即可推出【詳解】如圖，過點D作BE的平行線交AC于點G，∵DG//BE，∴GCEG∵D為BC中點，∴G為CE中點，即CG=EG．∵E為AC中點，∴AE=CE，∴AE=2EG，即AEEG∵EF//DG，∴AFFD【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例．正確的作出輔助線是解題關鍵．14．（2019·江蘇泰州·中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．線段AD由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過點D．則CG＝_____．【答案】12.5【分析】根據旋轉性質可知∠ADB=45°，再根據平移性質可知FD∥AB，從而得到∠FDB=45°．根據△ADE∽△ACB求出AE長，則可得到CG長度．【詳解】根據旋轉的性質可知∠ADB=∠ABD=45°，根據平移的性質可知AB∥FD，∴∠FDB=∠ABD=45°，∴∠ADE=45°+45°=90°，∴∠ADE=∠ACB．又∵∠EAB+∠EAD=90°，∠EAB+∠BAC=90°，∴∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC=AEAB，即10由平移性質可知CG=AE=12.5．故答案為12.5．【點睛】本題考查了旋轉性質和平移性質，以及相似三角形的判定和性質，注意圖形之間的變換，利用不同變換的性質是解題的關鍵．15．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB=6，將邊AB繞點A順時針旋轉α0°<α<120°得到線段AD，在接CD，CD與AB交于點G，∠BAD的平分線交CD于點E，點F為CD上一點，且DF=2CF．則∠AEC=______°；連接AF，則AF+2BF的最小值為______【答案】

60

6【分析】根據三角形的外角性質，以及角平分線的性質即可求得∠AEC=60°，根據題意求得12AF+BF最小值即可，將12AF+BF轉化為AF?sin【詳解】解∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，由旋轉得：AB=AD，∠BAD=θ，∴AD=AC，∴∠D=∠ACD=180°-60°+θ∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE=12∴∠AEC=∠D+∠DAE=60°12θ+1如圖，過F作FH∥AD，交AC于H，過F作FM⊥AC∵DF=2FC，∴CF∠CFH=∠D=∠ACD，∵AC=6，∴CH=FH=2，∴點F在以H為圓心，CP為直徑的圓上運動，∴當∠BAF=30°時，FM=AF?sin∴12∴當BM⊥AC時,12AF+BF∵△ABC是等邊三角形，∴BM=AB?sin∴AF+2BF的最小值為63【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，解直角三角形，旋轉的性質，平行線分線段成比例，求得F的軌跡是解題的關鍵．16．（2022·江蘇南京·九年級專題練習）如圖，點E、F分別是矩形ABCD邊BC和CD上的點，把△CEF沿直線EF折疊得到△GEF，再把△BEG沿直線BG折疊，點E的對應點H恰好落在對角線BD上，若此時F、G、H三點在同一條直線上，且線段HF與HD也恰好關于某條直線對稱，則BDEF的值為______【答案】2+【分析】根據線段HF與HD也恰好關于某條直線對稱，可得HF=HD，由折疊和同角的余角相等得∠HFD=∠CFE=∠EFG=13×180°=60°【詳解】解：∵線段HF與HD也恰好關于某條直線對稱，∴HF=HD，∴∠HFD=∠FDH，∴∠BHF=2∠HFD由折疊可知：GF=CF，HG=CE=EG，∠CFE=∠EFG，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，∴2∠HFD+2∠CEF=180°∴∠HFD+∠CEF=90°，又∵∠CFE+∠CEF=90°∴∠HFD=∠CFE=∠EFG=1又∵HF=HD，∴△DHF是等邊三角形，∴∠CBD=∠CEF=30°，∴EF∥設GF=CF=x，HF=DF=y，則HG=CE=EG=3xHF=HG+GF=GE+CF，即y=x+3x∵EF∥∴BDEF【點睛】本題主要考查折疊的性質、軸對稱的性質、相似三角形的判定與性質．解決本題的關鍵是掌握翻折的性質．三、解答題17．（2022·江蘇·蘇州高新區實驗初級中學八年級期末）已知：如圖，點D在三角形ABC的AB上，DE交AC于點E，∠ADE=∠B，點F在AD上，且AD(1)ADAB(2)△AEF∽△ACD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據∠ADE=∠B，可得DE∥BC，從而得到（2）根據AD2=AF?AB，可得AD（1）證明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥∴ADDB∴ADAB（2）證明：∵AD∴ADAB∵ADAB∴AEAC又∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例，相似三角形的判定定理是解題的關鍵．18．（2021·江蘇·漣水縣紅日中學九年級階段練習）如圖，在△ABC中，ADDB=AEEC，AB＝15，AE＝6，（1）求AD的長．（2）試說明DBAB【答案】（1）AD=9；（2）見解析【分析】（1）利用ADDB=AE（2）根據比例的性質由ADDB=AEEC得到【詳解】解：（1）∵ADDB∴AD15-AD∴AD=9；（2）∵ADDB∴AD+DBDB=EC+AE∴DBAB【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．也考查了比例的性質．19．（2021·江蘇·姜堰區實驗初中九年級階段練習）△ABC中，點D是BC邊上的一點，點F在AD上，連接BF并延長交AC于點E；（1）如圖1，若D為BC的中點，AEEC=12，求證：（2）尺規作圖：在圖2中，請利用圓規和無刻度的直尺在AC上找一點E，使得AEEC（3）若F為AD的中點，設BDBC=m，AEAC【答案】（1）證明見解析，（2）作圖見解析，（3）m=【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可證明；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點，連接BF并延長交AC于點E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根據平行得出比例式，根據F為AD的中點，得出m、n之間的等量關系即可．【詳解】（1）證明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴CDBD＝CGEG＝∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴AFDF＝AE∵AEEC=12，∴AEEG＝1∴AFDF＝1∴AF＝FD；（2）作△ABC的中線AD，再作AD中點，連接BF并延長交AC于點E，點E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴BDBC＝EGCE＝∵AEAC設AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m(a－an)，∵EF∥DG，∴AFDF＝AE∵F為AD的中點，∴nm-mn=1即【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題關鍵是恰當作平行線，利用比例式解決問題．20．（2021·江蘇無錫·八年級期中）如圖，已知△ABC，AP平分∠BAC，請用直尺（不帶刻度）和圓規，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）．（1）作菱形AMPN，使點M，N分別在邊AB、AC上，并根據你的作法證明你的結論；（2）若∠C=90°，AB=8，BP=4，求（1）中所作菱形AMPN的面積．【答案】（1）見解析；（2）36【分析】（1）作線段AP的垂直平分線交AB于點M，交AC于點N，連接PM、PN得四邊形AMPN即為所求菱形，通過證明四條邊相等即可證明；（2）由四邊形AMPN是菱形、∠C=90°，可得△BPM為直角三角形，通過勾股定理求得PB、PM、BM的長度，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，由面積法求得PQ的長度，最后由AN?PC求得AMPN的面積．【詳解】解：（1）作線段AP的垂直平分線交AB于點M，交AC于點N，連接PM、PN得四邊形AMPN即為所求菱形，證明：∵MN是AP的垂直平分線，∴AN=PN，AM=PM，∠AON=∠AOM=90°，∵AP平分∠BAC，∴∠NAO=∠MAO，∵AO=AO∴ΔAON?ΔAOM(ASA)，∴AN=AM，∴AN=PN=PM=AM，∴四邊形AMPN是菱形；（2）∵四邊形AMPN是菱形，∴AN=PN=PM=AM，PM//AC，∵∠C=90°，AB=8，BP=4，∴∠BPM=∠C=90°，設AN=PN=PM=AM=x，則BM=8-x，由勾股定理得：BM∴(8-x)解得：x=3，即AM=PM=AN=PN=3，∴BM=8-3=5，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，則PQ×BM=PM×PB，∴PQ=PM×PB∴菱形AMPN的面積=AM?PQ=3×12【點睛】本題考查了尺規作圖，菱形的判定與性質，勾股定理，平行線的性質，菱形面積的求法等知識，掌握菱形的判定方法，利用勾股定理求出菱形的邊長是解決本題的關鍵．21．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，四邊形ABCD是平行四邊形，邊CD與⊙O交于點E，連接AE．(1)求證△ABC∽△ADE；(2)求證：AD是⊙O的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據四邊形ABCD是平行四邊形，可得∠B＝∠D．再根據圓內接四邊形的性質，可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC，可得∠ACB＝∠AED．即可求證；（2）連接AO并延長，交BC于點M，連接OB、OC．根據AB＝AC，OB＝OC，可得AM垂直平分BC．從而得到∠DAO＝90°．即可求證．（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D．∵四邊形ABCE為⊙O的內接四邊形，∴∠B+∠AEC＝180°．∵∠AED+∠AEC＝180°．∴∠B＝∠AED．∵AB＝AC，∴AB＝∠ACB∴∠ACB＝∠AED．∴△ABC∽△ADE．（2）解：如圖，連接AO并延長，交BC于點M，連接OB、OC．∵AB＝AC，OB＝OC，∴AM垂直平分BC．∴∠AMC＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠DAO＝90°．∵點A在⊙O上，∴AD是⊙O的切線．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定，切線的判定等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．22．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接（1）證明：△BDA∽△CED；（2）若∠B=45°,BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此時【答案】(1)理由見詳解；（2）BD=2-2或1【分析】（1）根據題目已知條件易得：∠ADE+∠ADB+∠EDC=180°，∠B+∠ADB+∠DAB=180°，所以得到∠DAB=∠EDC，問題得證．（2）由題意易得△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=90°，當△ADE是等腰三角形時，根據分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因為點D不與B、C重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據等腰三角形的性質“等邊對等角”及【詳解】解：（1）如圖可知：∠ADE+∠ADB+∠EDC=180°在△ABD中，∴∠B+∠ADB+∠DAB=180°又∵∠B=∠ADE=∠C∴∠EDC=∠DAB∴△BDA∽△CED．（2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠B=45°∴△ABC是等腰直角三角形∴∠BAC=90°∵BC=2，∴AB=AC=22BC=①當AD=AE時，∴∠ADE=∠AED∵∠B=45°，∴∠B=∠ADE∴∠DAE=90°∴∠DAE=∠BAC=90°∵點D在BC上運動時（點D不與B、C重合）,點E在∴此情況不符合題意．②當AD=DE時，∴∠DAE=∠DEA∴由（1）結論可知：△BDA≌△CED∴AB=DC=2∴BD=2-2③當AE=DE時，∠ADE=∠DAE=45°∴△AED是等腰直角三角形∵∠B=45°，∴∠B∴∠ADC=90°，即AD⊥BC∴BD=1綜上所訴：BD=2-2或1【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問題，關鍵是利用“K”型相似模型及根據“等邊對等角”、等腰直角三角形的性質得到線段的等量關系，進而求解問題．23．（2021·江蘇·宜興市樹人中學九年級期中）三角形的布洛卡點（Brocardpoint）是法國數學家和數學教育家克洛爾（A．LCrelle17801855）于1816年首次發現，但他的發現并未被當時的人們所注意．1875年，布洛卡點被一個數學愛好者法國軍官布洛卡（Brocard18451922）重新發現，并用他的名字命名．如圖1，若△ABC內一點P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α，則點P是△ABC的布洛卡點，∠α是布洛卡角．（1）如圖2，點P為等邊三角形ABC的布洛卡點，則布洛卡角的度數是______；PA、PB、PC的數量關系是______；（2）如圖3，點P為等腰直角三角形ABC（其中∠BAC=90°）的布洛卡點，且∠1=∠2=∠3．①請找出圖中的一對相似三角形，并給出證明；②若△ABC的面積為52，求△PBC【答案】（1）30°，PA=PB=PC；（2）①△ABP∽△BCP，證明見解析；（3）S△PBC【分析】（1）根據題意理清布洛卡點、布洛卡角的概念，利用概念來解答；（2）①找△ABP∽△BCP，證明過程利用等腰直角三角形的性質及布洛卡角的概念，通過找出三個角分別對應相等來證明；②把三角形△ABC面積看作三個三角形面積之和來表示，除所求三角形面積之外的兩個，其中一個根據條件可以利用勾股定理求出面積，另一個可以利用所求三角形面積來表示，建立等式即可求解．【詳解】解：（1）由題意知：∠BAP=∠CBP=∠ACP，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABP=∠BCP=∠CBP，AB=BC=AC,∴△APB≌△BPC，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA，∴∠PBA=∠PBC,∠PBA+∠PBC=60°，∴∠PBC=30°，同理可證得出：∠BAP=∠CBP=∠ACP=30°，∠ABP=∠BCP=∠CBP=30°，PA=PB=PC故答案是：30°，PA=PB=PC．（2）①△ABP∽△BCP證明：∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABP+∠2=∠3+∠BCP=45°，