PAGE第四章平面對量與復數第一節平面對量的概念及線性運算課時規范練A組——基礎對點練1．①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A，B，C，D四點共線；④假如a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命題中正確的個數為()A．1 B．2C．3 D．0解析：①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段；②不正確，若a與b中有一個為零向量時也相互平行，但零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不肯定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，當b＝0時，a與c不肯定平行，故正確命題的個數為0.答案：D2．(2024·威海模擬)設a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數p的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：B3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點是()A．B，C，D B．A，B，CC．A，B，D D．A，C，D解析：因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三點共線．答案：C4．已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a與b共線反向D．存在正實數λ，使a＝λb解析：由已知得，向量a與b為同向向量，即存在正實數λ，使a＝λb.答案：D5．在下列選項中，“a∥b”的充分不必要條件是()A．a，b都是單位向量B．|a|＝|b|C．|a＋b|＝|a|－|b|D．存在不全為零的實數λ，μ，使λa＋μb＝0解析：a，b都是單位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A錯誤；|a|＝|b|，但方向不定，故B錯誤；|a＋b|＝|a|－|b|，若a，b都是非零向量，則a，b反向共線，且|a|＞|b|；若a，b中恰有一個零向量，則a≠0，b＝0；若a＝b＝0，則a，b也符合|a＋b|＝|a|－|b|，所以“|a＋b|＝|a|－|b|”?“a∥b”，而“a∥b”“|a＋b|＝|a|－|b|”，故C正確；D選項中“存在不全為零的實數λ，μ，使λa＋μb＝0”?“a∥b.”答案：C6．已知a＝(3，－2)，b＝(－2，1)，c＝(7，－4)，則()A．c＝a＋2b B．c＝a－2bC．c＝2b－a D．c＝2a－解析：設c＝xa＋yb，所以(7，－4)＝(3x－2y，－2x＋y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))所以c＝a－2b.答案：B7.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b解析：連接OC、OD、CD，由點C、D是半圓弧的三等分點，有∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且OA＝OC＝OD，則△OAC與△OCD均為邊長等于圓O的半徑的等邊三角形，所以四邊形OACD為菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.答案：D8．在△ABC中，點D在AB上，CD平分∠ACB.若eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：因為CD平分∠ACB，由角平分線定理得eq\f(|AD|,|DB|)＝eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(2,1)，所以D為AB的三等分點，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：B9．設e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則實數k的值為________．解析：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，由A，B，D三點共線，得eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,－4λ＝k，))則k＝－8.答案：－810．若a與b不共線，已知下列各向量：①a與－2b；②a＋b與a－b；③a＋b與a＋2b；④a－eq\f(1,2)b與eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b.其中可以作為基底的是________(填序號)．解析：對于①，因為a與b不共線，所以a與－2b不共線；對于②，假設a＋b與a－b共線，則有a＋b＝λ(a－b)，所以λ＝1且λ＝－1，沖突．所以a＋b與a－b不共線；對于③，同理a＋b與a＋2b不共線；對于④，因為a－eq\f(1,2)b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(1,4)b))，所以a－eq\f(1,2)b與eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b共線．由基底的定義知，①②③都可以作為基底，④不行以．答案：①②③B組——素養提升練11．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：因為向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，所以a－2b＝(4，－1)，ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，因為ma＋nb與a－2b共線，所以4(3m＋2n)－(－1)(2m－n)＝0，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案：A12．若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿意5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABM與△ABC的面積比為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：如圖所示，設AB的中點為D，由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得3eq\o(AM,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MD,\s\up6(→))，所以C，M，D三點共線，且eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以△ABM與△ABC公共邊AB上的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為eq\f(3,5).答案：C13．(2024·湖南省八校聯考)如圖，在△ABC中，點D在線段BC上，且滿意BD＝eq\f(1,2)DC，過點D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，則()A．m＋n是定值，定值為2B．2m＋n是定值，定值為C.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為2D.eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為3解析：法一：如圖，過點C作CE平行于MN交AB于點E.由eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))可得eq\f(AC,AN)＝eq\f(1,n)，所以eq\f(AE,EM)＝eq\f(AC,CN)＝eq\f(1,n－1)，由BD＝eq\f(1,2)DC可得eq\f(BM,ME)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AM,AB)＝eq\f(AE＋EM,AE＋EM＋MB)＝eq\f(\f(AE,EM)＋1,\f(AE,EM)＋1＋\f(MB,EM))＝eq\f(\f(1,n－1)＋1,\f(1,n－1)＋1＋\f(1,2))＝eq\f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq\f(2n,3n－1)，因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(2n,3n－1)，整理可得eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3.法二：因為M，D，N三點共線，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up6(→)).又eq\o(AM,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝neq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝λmeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)neq\o(AC,\s\up6(→))①，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))②，由①②知λm＝eq\f(2,3)，(1－λ)n＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3，故選D.答案：D14.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至點E，使得DE＝CD.若動點P從點A動身，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點A，其中eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，下列推斷正確的是()A．滿意λ＋μ＝2的點P必為BC的中點B．滿意λ＋μ＝1的點P有且只有一個C．滿意λ＋μ＝a(a＞0)的點P最多有3個D．λ＋μ的最大值為3答案：D15．(2024·海口模擬)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，則AD的長為________．解析：因為B，D，C三點共線，所以eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，經計算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)16．(2024·長沙模擬)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P為矩形內部一點，且AP＝1，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則3x＋2y的取