專題三壓軸解答題

第五關以函數、不等式與導數相結合的綜合問題為解答題

【名師綜述】

1.本專題在高考中的地位

導數是研究函數的單調性、極值（最值）最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所

以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出

2.本專題在高考中的命題方向及命題角度

從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往

往與解析幾何、微積分相聯系.（2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，

求參數.（3）利用導數求函數的最值（極值），解決生活中的優化問題.（4）考查數形結合思想

的應用

類型一用導數研究函數的性質

典例1【安徽省滁州市2018屆高三上學期期末考試】已知函數/（%）=￡—%—lnx.

（1）求函數/（九）的極值；

（2）若X],%是方程◎+/（%）=*—%（。＞0）的兩個不同的實數根，求證：

1叫+lnx2+21n。＜0.

【解析】（1）依題意，==（2x+l）（l）

XXX

故當xe（O,l）時，f（x）＜0,當xe（l,+oo）時，/（x）＞0

故當x=l時，函數有極小值/⑴=0,無極大值.

（2）因為七，%是方程◎+/（x）=M—X的兩個不同的實數根.

{“引一加X]=0。）兩式相減得。（西―々）+ln迨=0,解得。=—工

ax2-lnx2=0^2）x2-x1

即證[in三]=三_2+上,

、%!J玉％項X2

不妨設王<X2，令生■=%〉】.只需證In2%<"2+L

%t

1211(]\

設g(%)=In%-%--F2,「?/(%)=—In%-1H—5——I21n^—t-\—I；

ttt\t)

令丸(。=21皿—t+1，...//(。=？—：!—!=<0,...〃(/)在(1,+8)上單調遞

ttt1

減，

/z(r)</z(l)=0,；.g'(/)<0,；.g(。在(l,+oo)為減函數，g(/)<g(l)=0.

即ln2r</-2+1在(1,+co)恒成立，，原不等式成立，即In%]+lux?+21na<0.

【名師指點】利用導數可以研究函數的單調性、函數圖像、極值點、最值、零點等性質，

常用的到的方法為：1、利用對于確定函數求單調區間問題，先求定義域，然后解不等式

f(x)>0和定義域求交集得單調遞增區間；解不等式f'(x)<0和定義域求交集得單調遞

減區間.

2、對于含參數的函數求單調區間問題，轉化為判斷導函數符號，可結合函數圖象判斷.

3、求函數的極值，先求f(x)=0的根%,再和函數定義域比較，如果落在定義域外或者落

在定義域端點，此時函數單調，無極值；當落在定義域內時，將定義域分段，分別考慮為兩

側導數是否異號，從而判斷是否有極值.

4、求函數的最值和求極值類似，先求f(x)=0的根％,如果落在定義域外或者落在定義域

端點，此時函數單調，利用單調性求最值；當落在定義域內時，將定義域分段，分別考慮飛

兩側導數是否異號，從而判斷函數大致圖象，從而求最值.

【舉一反三X天津市部分區2018屆高三上學期期末考試】已知函數/(x)=liix+a(l-x),

awR.

(1)討論了(X)的單調性；

(2)當a=-g時，令g(x)=%2-1一2/(%),其導函數為設玉是函數g(x)

的兩個零點，判斷七三是否為g'(x)的零點？并說明理由.

【解析】⑴依題意知函數/(尤)的定義域為(0,+8),且r(x)=L—a.

X

①當aWO時，/(%)>0,所以/(%)在(Q+00)上單調遞增.

②當a>0時，由/'(九)=0得：%=-,

則當時/'(%)>0；當+時/'(x)<0.

所以/(x)在(02)單調遞增,在［L+8］上單調遞減.

(2)七強不是導函數g'(x)的零點.

證明如下：由(I)知函數g(x)=A：2-21nx-％.

;西，Z是函數g(x)的兩個零點，不妨設

無；-21nxi.玉=0=｛石2_玉=21nxi

兩式相減得

2

x2-21nx2_%2=。武―/=21nx2

(%—石+%—1)=2(1叫一1噸)

2(lwa-lnx9)

即：^+%2-1=-^—!----U

一百-x2

2

又g'(%)=2%----1.

x

則g，［―卜石+々__4__14

\2J玉+兄2%+%2

設t-——,<0</</，/.0<，v1,

令9(/)=ln”史力(—if

(p'(t)=-

t+1——Ld+1)2

又0</<1,在(0,1)上是增函數,

則0(。<0(1)=0,即當0</<1時,

從而(imq-lux?)-幺*——<0,

一玉+x2

(1%-1噸)-n口

又0<玉<%=>玉一/<0所以

石一9玉+x2

玉十%2>0,所以生產不是導函數g'(x)的零點.

類型2導數、函數與不等式

典例2已知函數=+at-lnx,aGH.

(1)若函數/(x)在［1,2］上是減函數，求實數a的取值范圍；

(2)令g(?=/(%)-爐,是否存在實數a,當尤e(O,e］(e是自然常數)時,函數g(x)

的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

(3)當xe(0,e］時，證明：e2x2>(x+l)lnx.

【答案】(1)a<—5；(2)存在實數a=e2,使得當xe(0,e］時g(x)有最小值3；(3)詳

見解析.

17Y2-I-/7Y—1

【解析】(1)f'(x)=2x+a——=——W0在［1,2］上恒成立，

XX

f/?(l)<0aK-L7

令力(%)=2了+<zx-1,有《/、得<7，得a<——.

［^(2)<02

⑵假設存在實數a,使g(x)=6—lnx(xe(O,e］)有最小值3,g，(x)="—竺匚

X-JC

①當〃<0時，g(x)在(0,e］上單調遞減，^(x)min=g(e)=ae-l=3,a=—(舍去)，

②當0<L<e時，g(x)在［()-］上單調遞減，在［士/上單調遞增

aVaJ\a

g(x)mm=g［L)=l+ln〃=3,〃=e2,滿足條件.

③當，“時，g(x)在(0,e］上單調遞減，^(x)min=g(e)=ae-l=3,a=—(舍去),

綜上，存在實數〃=/,使得當不￡(0,同時g(x)有最小值3.

2J

(3)4^F(x)=^x-lnx,由(2)知，F(x)min=3.令(%)

九2x

當OvxKe時，^(%)>0,距0在(°，4上單調遞增

(p(x)=(p(e)=—+—<—+—=3

maxe222

2iInx5

cx—Inx>---1—

x2

即e2x2~~x>(尤+l)lnx

【名師指點】證明不等式/(x)2g(x)成立，可以構造函數"(％)=/(%)-g(x),通過證明

函數”(九)的最小值大于等于零即可，可是有時候利用導數求函數”(九)最小值不易，可以

通過特例法，即證明/(X)的最小值大于等于g(x)的最大值即可.

【舉一反三】【湖南省郴州市一中2018屆高三十二月月考理科】設函數

/(x)=a\wc-\---2犬(〃GR).

(1)當。=3時，求”力的極值；

(2)當0=1時，證明：/(X—1)>三—2x+2.

【解析】

(1)當a=3時，/(x)=31nxH---lx,

2%2—3x+1(2x-l)(x-l)

(x>0),

當時，/'(%)<0,/(%)在［。,￡|上單調遞減；

當寸，/'(x)>0,/(%)在g,l］上單調遞增；

當X￡(l,+co)時，,/(%)在(1,+00)上單調遞減.

所以，當x=g，/(X)取得極小值d；］=l—31n2；

當x=l時，〃力取得極大值〃1)=—1.

(2)證明：當a=l時，/(x-l)=ln(x-l)+--—2(x—1),x>l,

X-1

所以不等式/(x—1)>三—2x+2可變為ln(x—1)+，>三.

ex1e

要證明上述不等式成立，即證明(x—l)ln(x—l)+l〉上

設g(x)=(九一1)1n(%一1)+1'則g'(x)=1+山(工一1),

令g'(x)=O,得x=l+1,

在上，g'(%)<0,g(x)是減函數；在1l+L+oo]上，g'(x)〉O,g(x)是

增函數.

所以g(x"g[l+)=1一：

令“丸/(、動e=(七x-一l)，則,、e(2-x\

在(1,2)上，"(%)>0,/?(%)是增函數；在(2,+8)上，h\x)<0,人(尤)是減函數，

所以/z(x)〈/z(2)=1<1—』，

所以/z(x)<g(x),即e(:1)<+],BP(x-l)ln(x-l)+l>x，

由此可知/(x—1)>二—2x+2.

類型三、恒成立及求參數范圍問題

典例3【安徽省蚌埠市2018屆高三上學期第一次教學質量檢查】已知函數/(x)=lnx,

g(x)=(a-e)x+2Z?(其中e為自然對數的底數，/(%)).

(1)若函數/(%)的圖象與函數g(x)的圖象相切于x=:處，求的值；

(2)當2〃=e—a時，若不等式〃x)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

【解析】(1)a=2e,/?=-1.(過程略)

(2)☆/z(x)=/(x)—g(x)=lm:+(e-Q)%-(e-Q),則/z'(x)=_+(e_a),

當aKe時，h(x)單調遞增,而力⑴二0,

xe(1,+00)時，/z(x)>0不合題意

當時，令=則元=----,

a-e

???〃(x)為減函數,

??.xe］o,」一］時，〃(x)>0,/z(x)單調遞增，

xe1---,+oo］時，〃(x)<0,入⑴單調遞減，

二丸max(X)=力=-ln(a-e)-l-(e-a)<0,

即ln(a-e)2(a-e)-l.(△)

但Vx>0,lnx<x—1,等號成立當且僅當且x=l.

故(△)式成立只能a—e=l

即a=e—l.

【名師指點】將已知恒成立的不等式由等價原理把參數和變量分離開，轉化為一個已知函

數的最值問題處理，關鍵是搞清楚哪個是變量哪個是參數，一般遵循“知道誰的范圍，誰

是變量；求誰的范圍，誰是參數”的原則.常用方法有參變分離法和構造函數法.

【舉一反三】已知函數/'(x)=gx?+(a-l)lnx,?>1.

⑴求/(幻的單調區間；

⑵若g(x)=(2-a)x-lnx,于(x)>g(x)在區間[e,+8)恒成立,求a的取值范圍.

解析：(l)/(x)的定義域為(0,+oo).

.ci—1—CIX+ci-1(x—1)(%+1—4)z.

/(%)=%—[+——=-------------=-——---------,(i)若Q—1=1即〃=2,則

XXX

,(Y-1)2

f(x)=------故/(%)在(0,+8)單調增加.(ii)若〃一1<1,而故則當

'X

XG(6Z-1,1)時，/(X)<0；

當無￡(0,〃一1)或(1,+00)時，/(X)>0；故/(X)在(〃一1,1)單調減少，在

(0,a—1),(1,+8)單調增加.(iii)若a—1〉1,即a>2,同理可得/(x)在(1,a—1)單調減

少，在(0,1),(a—1,+8)單調遞增.(2)由題意得/(x)—g(x)=gd+ainx—2x20恒成

立.亍殳F(x)=/(x)-g(x)=工％2+ainx-2x,則F'(x)=x+q—222G-2>0，所

12x

以FQ0在區間［e,+8)上是增函數，只需F(e)=g/+a-2eN0即aN26-；/.

【精選名校模擬】

1.【山東省濟南市2018屆高三上學期期末考試數學】已知函數/(%)=依—lnx(a￡R).

(1)求函數/(%)的單調區間；

(2)若函數/(%)有兩個零點%,%2，證明----1----->2.

］叫lnx2

【解析】1)/,(x)=a--=^^(x>0)

XX

當aWO時，/'(尤)<0,所以“X)在(0,+8)上單調遞減；

當a〉0時，/'(尤)=0,得x=1

Vxe］o，￡|都有/'(x)<°，/(x)在'J上單調遞減；

Vxe^—,+oo^j/'(x)>0,/(x)在］,+oo］上單調遞增.

綜上：當aWO時，〃尤)在(0,+oo)上單調遞減，無單調遞增區間；

當a>0時，“X)在［。,￡|單調遞減，/(%)在［,+，|上單調遞增.

(2)函數/(%)有兩個零點分別為七,%2，不妨設％1<冗2則

1叫一ax1=0,lnx2-ax2=0

lnx2_1叫=Q(%2―芯)

要證：工+」-〉2

1叫h\x2

只需證：工+,〉2a只需證：五士三〉a

%x22玉％2

nf、十x,+xlnx-lux,

只需證：-~9->---9------1

2%々X2一玉

只需證：其二E>ln三

2X1X2%

設。⑺=1加一《"；［,則"⑺=^^<0,

即函數。⑺在（1,+00）單調遞減

則阿）<41）=0

即得」-+」_〉2

liLXjlnx2

2.【河南省周口市2018屆高三上學期期末抽測調研】已知函數

/（x）=x2-8x+Qln%（Q￡?

（I）當X=1時，/（%）取得極值，求。的值；

（II）當函數/（九）有兩個極值點玉,％&<々），且X戶1時，總有生匕〉（/〃—2）

］一再

（4+3%一年）成立，求加的取值范圍.

【解析】（I）/（x）=2x-8x+a（x〉o）,/⑴=o,則q=6

X

檢驗a=6時，/'(x)=^————^(x>0),

所以時，/'（%）>0,〃尤）為增函數;

%?1,3）時，/'（x）＜0,〃尤）為減函數，所以x=l為極大值點

（II）/（力定義域為（0,+8）,有兩個極值點和々（石＜/），則t（x）=2%2-8x+a=0

在（0,4。。）上有兩個不等正根

A=64-8〃>0

所以｛t(0)=a>0,所以0<a<8

x=2>0

x+x=4

129%2=4—西

｛玉九2=1.所以｛。=2%]%2=2不(4一Jr),所以0<玉<2

C0<x1<x29

0<x1<x2

這樣原問題即0＜石＜2且工尸1時，生也＞（加—2）（4+3%一才）成立

1X]

印2%(4—3)1叫

>(m-2)(4-x1)(x1+1)

即2xJ叫〉（加_2）（石+1）

1X]

叫（仙）

即私竺一（相—）（）〉即』-21+*2”I

L2%+10,>0

1%[1X]

0<玉(1時上。

且｛'

1<%<2時上＜0

1-再

m-2^x2-1

設=21nx+(0<x<2)

X

(加一2)%2+2x+(m-2)

〃(x)=(0<x<2)

x2

2

①m=2時，"＞0,

所以從九）在（0,2）上為增函數且〃⑴=0,

所以，1￡（1,2）時，/z（x）＞0不合題意舍去.

②相>2時，/z'(x)>0同①舍去

③m<2時

(i)A<0,即時可知”(％)K0,在(0,2)上網力為減函數且力⑴=0,

這樣0cx<1時，力(％)>0,1<%<2時力(%)<0,

r(m-2)(x2-1)

這樣一匚21n%+-----△----)-〉0成立

1-xx

(ii)A>0,即/<加<2時”(x)分子中的一元二次函數的對稱軸x=a^>l開口向下,

且1的函數值為2(刀—1)>0

令a=min{S—,21，則xe(l,a)時，/z'(%)>0,力⑴為增函數，A(l)=0

所以，可力>0故舍去

綜上可知：m<l

3.【廣西南寧市第二中學2018屆高三1月月考(期末)】已知函數/(x)=ln%+@-1,

aeR.

(1)若關于X的不等式1在［1,母)上恒成立，求。的取值范圍；

(2)設函數g(x)=〃^,若g(x)在［1］］上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值

X

的正負.

【解析】(I)由/(九)?；九一1,Wlnx+--l<^x-l.即QK—xlnx+g/在［I,+QO)上

恒成立

設函數冽(%)=一%1"+］%2,X>1.則m'(%)=-bu+x-l.

設〃(%)=-lnx+x-L則〃1犬)二----bl.易知當時，〃'(x)N0.

X

?"(%)在上單調遞增，且〃(%"〃(1)=0.即加(%)之初⑴=0對x?L+oo)恒

成立.

加(%)在［1,+8)上單調遞增.

二,當x￡[1,+8)時，m(x)>m(%)min=機⑴=g

a<—,即a的取值范圍是(一oo,工.

2I2」

(II)g(x)=^^+=-Lxe「l,e2］.

XX~XL」

.,/x_1-Inx12a_2x-xlnx-2a

??g(x)=----1—T—=------------；------

設/z(x)=2x-xl依一2a,則/z'(x)=2—(l+bix)=l—bix.

由”(九)=0,得％=6.

當lWX<e時，/:'(%)>0：當6<%<02時，/z'(%)<0.

/?)在［1,e)上單調遞增,在(e,e2］上單調遞減.

且/z(l)=2-2a,h(e)=e—2a,h^e2^=-2a.

顯然

結合函數圖象可知，若g(x)在［I4?］上存在極值,

Ae)>01>0

則｛J(或｛/2、

/1(1)<0h(e2)<Q

//(e)>0

(i)當｛,即時,

//(!)<02

則必定玉：］,%2使得人(玉)=入(々)=0,且1<%<e<々<e?.

當x變化時，h(x),g\x),g(x)的變化情況如下表:

X(1,石)再%(%,/)

/z(x)-0+0-

g1(x)-0+0-

g(x)極小值/極大值

.,.當l<a<"|時，g(x)在［l,e］上的極值為ga),g(%2)，且ga)<g(X2),

(%)=也+=一1_-xx+a

.g

王

設0(x)=xlm:-x+Q,其中l<x<e.

V^7,(x)=lnx>0,A0(x)在(l,e)上單調遞增，^(X)>^(1)=<7-1>0，當且僅當％=1

時取等號.

1<%!<e,?，?g(%)>0.

?,?當1<a<"I■時，g(%)在［1,/］上的極值g(%)>g(%)>0.

“1)20

(ii)當｛/；、，即0<〃01時，

h(e2)<0

則必定土：3￡0,/)，使得力(F)二。.

易知g(x)在(1,思)上單調遞增，在(0/］上單調遞減.

2

此時，g⑴在［11］上的極大值是g(%)，且g(X3)〉g(e2)=，^〉0.

.?.當0<a<l時，g(x)在［11］上的極值為正數.

綜上所述：當0<。<：時，g(x)在［142］上存在極值，且極值都為正數.

注：也可由g'(x)=0,^2a=2x-xlnx.令/z(x)=2x-xbu后再研究g(x)在［1,/］上

的極值問題.

4.【衡水金卷2018年普通高等學校招生全國統一考試模擬試卷】已知函數

/(%)=tz(x-l)2+lnx,aeR.

(1)當〃=2時，求函數y=/(x)在點尸(1,〃功處的切線方程；

(2)當〃二一1時，令函數g(x)=/(x)+lnx-2x+l+/n,若函數g(x)在區間—上

有兩個零點，求實數加的取值范圍.

【解析】⑴當a=2時，/(x)=2(x-l)2+lnx=2x2-4x+lnx+2.

當元=1時，f(l)=0,所以點尸(1,/(1))為尸(1,0),

又/'(X)=4X—4+L,因此左=/(l)=l.

因此所求切線方程為y—0=1x(%—l)ny=%—1.

(2)當〃二一1時，g(x)=21nx-x2+m,

則7(%)=―2%=」——△——<

xx

因為xe-,e,所以當g'(x)=0時，x=l,

且當一<x<l時，g'(x)>0；當l<x<e時，g'(x)<0；

故g(x)在x=1處取得極大值也即最大值g(l)=m-l.

又=加一2一±,g(^e)-m+2-e2,

g(e)-g[']=m+2—/―m+2+J=4-e2+<0,

則g(e)<g]]，所以g(x)在區間上的最小值為g(e),

故g(x)在區間：,e上有兩個零點的條件是

g⑴-m—\>0

g\-\=m-2——j-<0e1

所以實數機的取值范圍是2+J.

5.【湖北省武昌2018屆元月調研考試數學】已知。的實常數，函數/(九)=產一2—

(1)討論函數“X)的單調性；

(2)若函數/(龍)有兩個不同的零點石,々(為<々)，

(i)求實數a的取值范圍；

(ii)證明：%,+x2>2.

%—2

【解析】試題解析：(1)f'(x)=e—ci.

當aWO時，f(x)>0,函數在(—00,轉)上單調遞增；

當a>0時，由/一。=0,得l=2+lna.

若x>2+lna,則/'(x)>0,函數/(%)在(2+lna,+8)上單調遞增；

若x<2+lna,則/'(九)<0,函數/(%)在(-8,2+lna)上單調遞減.

(2)(i)由(1)知，當aWO時，/(尤)單調遞增，沒有兩個不同的零點.

當a>0時，“X)在x=2+lna處取得極小值.

由/(2+Ina)=e111"—a(2+Ina)<0,得a〉工.

所以a的取值范圍為+8)

(ii)由e*—2一。x=0,得x-2=ln(ax)=lna+lnx,即x-2-lnx=lna.

所以玉—2_1叫=x2-2-lnx2=Ina.

令g(%)=x—2-lnx,則g'(尤)=[——.

當x>l時，g'(x)>0；當0<x<l時，g'(x)<0.

所以g(x)在(0,1)遞減，在(1,+8)遞增,所以。<再<1<々.

要證石+%2>2，只需證％2>2-%>1.

因為g(x)在(1,+00)遞增，所以只需證g(%2)>g(2—%).

因為g(xj=g(%2)，只需證g(%)>g(2—匹)，即證g(石)一g(2—%)〉。.

令/?(%)=g(%)-g(2-x),0Vx<1,則/(x)=gr(x)-gr(2-x)=2-f—+—-—

\x2—x

因為工H---=—r%+-+^—|>2,所以〃(x)WO,即/z(x)在(0,1)上單調

x2-x2Lx2X/

遞減.

所以/z(x)>/z(l)=O,即g(%)_g(2_%)>0,

所以石+x2>2成立.

6.【山西省呂梁市2018屆高三上學期第一次模擬考試】已知函數/(x)=J-a(x-In%).

(1)當aWO時，試求/(%)的單調區間；

(2)若“力在(0,1)內有極值，試求a的取值范圍.

,、e'

【解析】(I)/'(%)=—

當aWO時，對于\/xe(0,+c。)，e云-av>。恒成立，

所以/'(尤)>0=x>l；/'(尤)<0=0<x<10.

所以單調增區間為(L+8)，單調減區間為(0,1).

(II)若“力在(0,1)內有極值，則/'(X)在％w(0,1)內有解.

e-cue

令廣(力==0=^>e%—cix=Q=a=—

x

設g(x)=Jxe(o,l),

X

所以g.x)=e(I),當尤?0,l)時，g'(x)<0恒成立,

所以g(x)單調遞減.

又因為且編=6,又當X-0時，g(尤)—七?,

即g(x)在上的值域為(e,y),

e-ax

所以當a〉e時，_f(x)==0有解.

設H(x)=e'--依，則H'^=ex-a<0xe(0,l),

所以H(x)在xe(O,l)單調遞減.

因為H(0)=l>0,H(l)=e—a<0,

所以=e"-?在xe(0,1)有唯一解x0.

所以有：

X(0,%)(知1)

H(x)+0—

/(-<)—0+

f(x)極小值/

所以當a〉e時，/(x)在(0,1)內有極值且唯一.

當aKe時，當xe(O,l)時，/'(力20恒成立，〃尤)單調遞增，不成立.

綜上，a的取值范圍為(e,+8).

7.【四川省2017-2018年度高三“聯測促改”活動理科數學試題】已知函數/(%)="+lnx.

(1)求函數y=/'(尤)在XG[1,ZQ)上的最小值；

(2)若對任意xe[l,+co)恒有/(x)>e+m(x-l),求實數m的取值范圍.

【解析】

(1)由于丁=丸(力=廣(力=/+!，則"(x)=/—4，

XX

則當X￡(l,+8)時，eX>仇4<1,

所以"(力>0,即力⑴在(1,+00)上是增函數，

于是y在[1,+00)上的最小值為/z(l)=e+l.

(2)考慮函數g(x)=/(x)-即為g(x)20對任意xe[L+°0)恒成立,

且發現g⑴=0,于是g'(x)=L+e-%,

X

由⑴知：當根Ve+1時，g*(x)>0,

此時g(x)單調增，于是g(x)?g⑴=0,成立；

若m>e+l,貝ij存在fe(l,+oo)使得：

當xe(lj)時g'(x)<0,當xe時g'(x)>0,

此時g,加；g(f)<0,矛盾，綜上，m<e+l.

8.【2018廣西賀州桂梧高中聯考】已知函數=2X)1IU-|X2+4X.

(1)若/(力在(a,a+l)上遞增，求a的取值范圍；

(2)證明：—4%.

【答案】(1)a=0或a'e(2)詳見解析

【解析】試題分析：⑴要使“力在(a,a+1)上遞增，只需/'(%)20,且不恒等于0,

所以先求得函數的增區間，(a,a+1)是增區間的子區間。(2)當x〉g時，2—4x<0,

|/'(%)|>2-4x顯然成立.當0<x<g時，即證明

|/'(x)|-(2-4x)=(2x-2)(lnx-l)-2+4x>0,令

=(2x-2)(lnr-l)-2+4x(0<x<g),即求g⑴疝/。，由導數可證。

試題解析：(1)

/'(%)=(2x-2)liu+^x2-2%)--3x+4=(2x-2)lnx+2-2x=(2x-2)(liu-l),

X

令/'(%)=。,得芭=1，x2=e,

令/'(力>。,得。<%vl,或e'???/(x)在(0,1),(e,+8)上遞增,

??"(x)在("M+1)上遞增,1?〃=。或

(2)證明：當x〉g時，2—4xv0,>2-4x顯然成立.

當0<時，g(x)=7(x)]-(2-4x)=(2%一2)(lnx-l)-2+4x,

g[x)=2hw—2+4在上遞增，且g[g[=21n；—4+4=—21n2<0,

g'(x)<0,從而g(x)在(0,；上遞減，,8⑺皿=g[]=l+ln2〉0，

Ag(x)>0,即|r(x)|>2-4%.

綜上，|/f(x)|>2-4x.

9.12018安徽馬鞍山聯考】已知函數/(%)=絲X-21皿的圖象在x=l處的切線過點

(0,2—2〃),々,/?￡尺.

Q

⑴若〃+b=],求函數/(%)的極值點；

(2)設司,工2(%1W%2)是函數/(%)的兩個極值點，若，<芯<1，證明：

|/(x2)-/(x1)|<l.(提示/?7.40)

【答案】(1)!或2；(2)證明見解析.

2

【解析】試題分析：

由題意結合導函數與原函數切線的關系可得。=6

(1)由題意可得a=Z；=g,利用導函數研究函數的極值可得了(光)的極值點為;或

2.

(2)由導函數的性質可得/(七)是函數〃尤)的極大值，是函數外力的極小

值，據此構造函數h(t}=^--lnt=l----lnt,據此可知

1—+12t+12

，則函數五⑺在上單調遞減，據此可得

/(x1)-/(x2)<4A^=-i^<l.

試題解析：

...,(X)=ax-2x+b^_/，⑴=q+萬—2,

X

又/⑴=7,曲線y=〃x)在％=1處的切線過點(0,2-2辦

a—b—(2—2a).

------------------=a+Z?-2,ci—b.

C1);a+b=—，:.a=b=一,

55

令r(x)=O,得2/—5x+2=0,

解得x=g或2,.?./(x)的極值點為:或2.

（2）是方程r（x）=〃—=0的兩個根,

X

"X,=1,4==一=一^,

玉+x2玉+1

???/（七）是函數“X）的極大值，“尤2）是函數/（尤）的極小值，

二要證|/(尤2)—只需/(%)—/(/)<1,

/、、

f(玉)—f(%)=-------21nxi—cix2-------Zlnx?-2ax1---21nxl

x

、再、X27\\?

=4-IwC1=4

W+1國2+121)

7\

令,=%：,則與</<J,

e

S＜。，函數g）在

^h(t)=--^--—lnt=l——-——Lint,貝！Jhf(t)-

'一+12t+12v7

上單調遞減,

2

"⑺<h

er+l，

8

二/（芯）-/（々）＜4/2<1.

e2+l

10.12018安徽馬鞍山聯考】已知函數〃x）=2（x—1）/.

（1）若函數/（可在區間（a,+8）上單調遞增，求/（a）的取值范圍；

（2）設函數g（x）=e*-％+0，若存在/e[l,e],使不等式g（%）2/成立，求

實數P的取值范圍.

【答案】(1)[―2,+co)；(2)[―e,+co).

【解析】試題分析：

⑴由函數的解析式可得〃尤)在(0,+8)上單調遞增，則/(a)的取值范圍是

[-2,+8)；

(2)原問題等價于存在九°e[Le],使不等式p?(2x0-3)*成立.構造新函數

/i(x)=(2x-3)e"結合函數網對的性質可得實數p的取值范圍為[-e,+8).

試題解析：

(1)由/'(x)=2xe*>0得x>0,

/(x)在(0,+co)上單調遞增，a>0,.,./(?)>/(0)=-2,

/(a)的取值范圍是[-2,+00).

(2)?.?存在使不等式且(左0)22(而-1)*-二成立,

二存在％e[l,e],使不等式/?>(2%0-3)^成立.

令/z(x)=(2x-3)e*,從而p>h^x^mjn(xe[1,e]),

〃(x)=(2x-l)e*,

1.1x>1,2x-1>1,ex>0,h(x)>0,

人(%)=(2%-1"”在[l,e]上單調遞增，

實數p的取值范圍為[-e,+8).

11.【山東省泰安市2018屆學年高三上學期期末考試】已知函數/(x)=2ahw,

g(x)=/(x)+x-L

X

(1)當a=l時，求函數/(%)的曲線上點(e,/(e))處的切線方程；

(2)當aWl時，求g(x)的單調區間;

(3)若g(x)有兩個極值點X1,吃，其中X]e[o,g,求g(xj-g(x2)的最小值一

9

【解析】⑴當a=l時，/(%)=23所以尸(耳=—(]>0),

X

又〃e)=2

過切點(e,/(e))的切線方程為

y=_(尤_0)+2

目n2

即：y=-x

e

(2)由題意得：g(尤)=2alnx+%——,x>0

x

,/>,2a,1x2+2ax+1

(%)=一+1+下=-----2—

XXX

令A=4Q2—4

當一1<〃<1時，g\x)>0,g(x)在(0,8)上單調遞增.

②當〃〈一1時，令g'(x)>0,解得：0〈X〈-〃--1或+

令g'(x)<。,解得：-CL-y/a2-1<xv—a+J/一1

綜上，當-IV。VI時，g(x)的單調增區間為(0,十動，

當av—1時，單調增區間為伙—J4一]),(—Cl+Ja2—1,+00)

單調減區間為^—(2—J4—d+_])

(3)由(2)知，g(x)=---------，x>0

由題意知，%，/是方程1+2笈+1=0的兩根

%?%=1，%+%2=X2=~

2〃=一再----，??g(%)—g(%2)=g(再)—g—，=2Xj-----x1H—IrtV]

石L%Ixij_

令H(x)=2%---^x+—^Inx//'(x)=2(e_])]nx=2(l+x1(l_'^-\nx

當xe〔O,；時，

.-.H(x)在上單調遞減，...”(XL="￡]=201n「6

即g(%)—g(々)的最小值為2SRT6

12.12018河南漠河三模】已知函數〃x)=e*—依—1(。為常數)，曲線y=/(力在與y

軸的交點A處的切線斜率為-1.

(1)求。的值及函數y=/(x)的單調區間；

(2)若石(In2,x，ln2,且/(%)=/(羽)，試證明：xr+x2<21n2.

【答案】(1)a=2,單調遞減區間為(fo』n2),單調遞增區間為(ln2,+?).(2)見解析

【解析】試題分析：⑴求出函數的，f,Cx)^ex-a,由曲線y=/(x)在與y軸的焦點

A處的切線斜率為—1,解得a=2.通過/'(%)=靖-2>0,即可求解函數/(%)在區間

(-00,歷2)上單調遞減，在(物2,+8)上單調遞增.

(2)設x>質2,構造函數g(x)=/(x)—/(2歷2—左)，分別根據函數的單調性，以及

x1<ln2,x2>ln2,且/'(%)=/(々)即可證明.

試題解析：⑴由/(x)=e'—雙—1,nf'(x)=ex-a,

因為曲線丁=/(x)在與y軸的焦點A處的切線斜率為-1,

所以/<0)=1—a=—l,所以a=2,

所以/(x)=e，-2x-10廣(力=產-2,

由/〈1)=產一2>0,得x>ln2,

由/，(%)=產一2<0,得x<ln2,

所以函數y="%)的單調遞減區間為(-oo,ln2),單調遞增區間為(ln2,+oo).

(2)證明：設1>ln2,所以21n2—x<ln2,

f(21n2-x)=e21112r_2(21n2-x)-l=4+2x041n2-1,

4

令g(x)=y=ex——--4x+41n2(x>In2)

所以/(力=/+4"x—420,

當且僅當x=ln2時，等號成立，

所以g(%)=/(%)—/(21n2—x)在(ln2,-H?)上單調遞增，

又g(ln2)=0,所以當x>ln2時，g(x)=/(x)-/(21n2-x)>g(ln2)=0,

即/(x)>g(21n2-x),所以/(x2)>g(21n2-x2),

又因為/(玉)=/(%)，所以/(%)>/(21n2—%)，

由于々>ln2,所以21n2-犬2<ln2,

因為Xi<ln2,由⑴知函數y=/(%)在區間(fo,ln2)上單調遞增，

所以玉<21n2-x2,即再+/<21n2.

13.【北京市東城二十二中2018屆高三上學期期中試卷】已知函數

/(%)=(2Y-4ov)lnx+f(a>0).

(1)當4=1時，求此函數對應的曲線在處的切線方程.

(2)求函數/(%)的單調區間.

(3)對VXE[1,+8),不等式(2x-4a)lnx>-4恒成立，求Q的取值范圍.

【解析】(1)當”=1時，/(x)=(2f-4x)lnx+%2(%>0),

/(1)=1,/(%)=(4x-4)lnx+————+2x,

/'(l)=0,...切線方程y=l.

2x2-4axc

(2)/'(%)=(4x-4(2)