第2章測量誤差及數據處理

1誤差的基本概念2誤差的估計和處理3測量不確定度4最小二乘法處理（自學）§1誤差的基本概念1.1誤差的定義測量的目的:獲得被測量的真值。真值:在一定的時間和空間環境條件下，被測量本身所具有的真實數值。測量誤差:“測不準原理”：所有測量都有誤差1.2誤差的來源

儀器誤差：儀器設計、制造、檢定等不完善，儀器使用過程中老化、磨損、疲勞。影響誤差：環境（溫度、濕度、振動、電源、電磁場等）變化引起。理論/方法誤差：測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。人身誤差：測量人員感官的分辨能力、反應速度、視覺疲勞、固有習慣、操作不當等引起的。測量對象變化誤差：測量過程中測量對象變化而使得測量值不準確，引起動態誤差等。1.3誤差的表示方法絕對誤差、相對誤差1.絕對誤差（1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差實際應用中常用實際值A（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值）來代替真值。（2）修正值修正值可以通過上一級標準的檢定給出，可以是數值表格、曲線或函數表達式等形式。2.相對誤差測量準確程度，不僅與絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關。（1）相對真誤差：與真值之比（2）實際相對誤差：實際值之比（3）示值（標稱）相對誤差：用測量值之比（4）滿度相對誤差（引用相對誤差）：

一個量程范圍內的最大絕對誤差與該量程值（上限值－下限值）之比滿度相對誤差應用電工儀表就是按引用誤差進行分級的。是儀表在工作條件下不應超過的最大引用相對誤差我國電工儀表共分七級：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級，則說明該儀表的最大引用誤差不超過S%測量點的最大相對誤差在使用這類儀表測量時，應選擇適當的量程，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉在不小于滿度值2/3以上的區域。某待測電流約為100mA，現有0.5級量程為0～400mA和1.5級量程為0～100mA的兩個電流表，問用哪一個電流表測量較好？用1.5級量程為0～100mA電流表測量100mA時的最大相對誤差為解：用0.5級量程為0～400mA電流表測100mA時，最大相對誤差為分貝誤差——相對誤差的對數表示用對數形式表示的誤差，單位：dB。電壓增益的測得值為誤差為用對數表示為增益測得值的分貝值增益的分貝誤差絕對誤差？相對誤差？1.4誤差的分類1.隨機誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規律變化等。隨機誤差（續）例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規律，但多次測量的總體卻服從統計規律。可通過數理統計的方法來處理,即求算術平均值隨機誤差大小：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差2.系統誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規律變化的誤差例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。主要原因:儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數習慣等。系統誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越小，測量就越準確。在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。即系差和隨差之間在一定條件下可以相互轉化3.粗大誤差粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。 產生原因：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內阻電源的開路電壓③測量環境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數據處理時，應剔除掉。1.5測量結果的表征準確度:系統誤差。系統誤差越小，則準確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度:隨機誤差。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素使測量值呈現分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度:系統誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統誤差和隨機誤差都小。射擊誤差示意圖1.6有效數字的處理（自學）1.數字修約規則由于測量數據和測量結果均是近似數，其位數各不相同。為了使測量結果的表示準確唯一，計算簡便，在數據處理時，需對測量數據和所用常數進行修約處理。數據修約規則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數——當末位是偶數，末位不變；末位是奇數，在末位增1（將末位湊為偶數）。舍入應一次到位，不能逐位舍入。如0.69499→0.69，錯誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。2有效數字若截取得到的近似數其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數末位的半個單位，則該近似數從左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字，稱之為有效數字。例如：3.142 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數字，極限誤差≤0.005中間的0和末尾的0都是有效數字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數字。科學計數法，如a×10n，a的位數由有效數字的位數所決定。測量結果（或讀數）的有效位數應由該測量的不確定度來確定，即測量結果的最末一位應與不確定度的位數對齊。例如，某物理量的測量結果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結果表示為63.4±0.4。3.近似運算法則保留的位數原則上取決于各數中準確度最差的那一項。加法運算

以小數點后位數最少的為準（各項無小數點則以有效位數最少者為準），其余各數可多取一位。例如：

減法運算：當兩數相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導致相近兩數相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數字。

近似運算法則（續）乘除法運算

以有效數字位數最少的數為準，其余參與運算的數字及結果中的有效數字位數與之相等。例如：

→也可以比有效數字位數最少者多保留一位有效數字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結果為35.5。乘方、開方運算

運算結果比原數多保留一位有效數字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104§2誤差的估計和處理隨機誤差不可避免。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統計規律。用數理統計的方法處理測量數據，減少隨機誤差的影響。2.1隨機誤差的統計特性及減少方法

1.隨機誤差的性質和特點隨機誤差的特點（殘差）

①對稱性②單峰性③有界性④抵償性古典誤差理論認為隨機誤差服從正態分布理論依據：中心極限定理【假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態分布】

隨機誤差的性質和特點——正態分布高爾頓釘板2.隨機誤差的數字特征

數學期望定義:

離散型隨機變量：連續型隨機變量：物理意義:以正態分布為例數學期望描述隨機變量在數軸上的位置。隨機變量的所有可能值都圍繞數學期望擺動，當需要用一個數值來表征隨機變量大小時，該值就是數學期望！方差和標準偏差描述隨機變量與其數學期望的分散程度

D(X)=E(X－E(X))2與隨機變量有相同量綱。方差是最小的二階矩二階矩：隨機變量與任一常數A的偏離程度。隨機變量關于其數學期望的偏離程度比其它任何值都小。這說明數學期望是被測量的最可信賴的值（概然值）。

標準偏差的物理意義標準偏差是代表測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數據越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數據越分散。以正態分布為例：3.

數學期望和標準偏差的估計求被測量的數字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發生的頻度代替事件發生的概率，當則令n個不相同的測試數據xi(i=1.2…,n)

次數都計為1,當時，則（1）數學期望的估計——算術平均值被測量X的數學期望，就是當測量次數時，各次測量值的算術平均值算術平均值(續）當測量次數有限時，算術平均值作為測量真值的估計值是否可以？如果算術平均值是數學期望的無偏估計值（或一致估計值、最大似然估計值），就可以用算術平均值來估計測量真值。作為無偏估計，就要證明估計值的數學期望正好等于未知參量（真值）！（2）算術平均值的標準偏差算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。隨機誤差的抵償性。圖2-9、2-10

*用算術平均值作為估計值的精度問題!（3）標準偏差的估計實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：實驗方差是標準方差的無偏估計！但實驗標準偏差是標準偏差的有偏估計，其無偏估計要帶一個修偏系數。算術平均值標準偏差的估計值：標準偏差是以“真誤差”來計算的。有限次測量只能得到“殘差”,如何根據“殘差”估計標準偏差?

①平均值

②殘差用公式計算列于上表中③實驗偏差標準偏差數學期望和標準偏差計算舉例用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。4.測量結果的置信度算術平均值數學期望的估計值 實驗標準偏差分布離散程度的估計值

——估計的可靠程度有多大？測量結果的置信度問題 估計值落在某一數值區間的概率有多大？

——數理統計中的區間估計問題

（1）置信概率與置信區間

置信概率:置信區間內包含真值的概率

置信限：

置信系數（置信因子）:k置信概率（2）正態分布的置信概率當分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997的意義：我們可以有68.27%的把握認為測量誤差不超出（3）t分布的置信概率給定置信概率和測量次數n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1當v很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態分布有更大的置信區間。正態分布是t分布極限。n>20以上，t分布趨于正態分布。t分布:學生分布算術平均值的分布測量次數較小時（4）非正態分布及其置信因子當組成隨機誤差的因素中有一個或幾個因素具有突出影響時，誤差分布會偏離正態性。均勻分布，如儀器最小分辨力誤差。常見的非正態分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:2.2系統誤差的判斷及消除方法1.系統誤差的特征在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規律變化。

多次測量求平均不能減少系差。2.系統誤差的發現方法不變系差：校準、修正和實驗比對。變化系差：①

殘差觀察法，適用于系統誤差比隨機誤差大的情況 將所測數據及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數據的殘差值的大小和符號的變化。

存在線性變化的系統誤差無明顯系統誤差系統誤差的發現方法

（續）②馬林科夫判據：若有累進性系差，D值應明顯異于零。

n為偶數n為奇數

③阿貝赫梅特判據：檢驗周期性系差

排除累進性系差的前提下使用3.系統誤差的削弱或消除方法

（1）從產生系統誤差根源上采取措施減小系統誤差①

從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。②

測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。③注意環境對測量的影響，特別是溫度的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統誤差。（2）用修正方法減少系統誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值）實際值＝測量值＋修正值（3）采用一些專門的測量方法如替代法、交換法、對稱測量法、減小周期性系差的半周期法

系差忽略不計的準則：系差或殘差代數和的絕對值不超過測量結果擴展不確定度的最后一位有效數字的一半。減少系差的測量方法（復合式比較）（1）零示法與微差法在零示法中，要仔細調節標準量S使之與未知量x相等，這通常很費時間，有時甚至不可能做到，微差法進行測量時，測量誤差公式：測量儀器的誤差對測量的影響被大大地削弱優點：測量速度快和測量準確度高。

(2)替代法

用已知的標準量去替代未知的被測量，通過調整標準量而保持替代前后儀器示值不變，于是標準量的值等于被測量值。(3)交換法通過交換被測量和標準量的位置，從前后兩次換位測量結果的處理中，削弱或消除系統誤差。特別適用于平衡對稱結構的測量裝置。消除不等臂誤差！消除R1，R2不準確帶來的誤差！2.3粗大誤差及其判斷準則

1.粗大誤差產生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產生原因

①測量人員的主觀原因②客觀外界條件的原因消除粗大誤差的方法：大誤差出現的概率很小，列出可疑數據，分析是否是粗大誤差，若是則將對應的測量值剔除。檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統一的規定。當偏離正態分布和測量次數少時檢驗不一定可靠。若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區間，應逐個剔除。2.

粗大誤差的判別準則統計學方法的基本思想：給定置信概率，確定相應的置信區間，超過置信區間的誤差就認為是粗大誤差，逐個予以剔除。萊特準則：萊特準則基于測量次數無窮大，測量測數較小時不可靠。格拉布斯準則基本思想：從樣本極大/小值的分布出發進行統計檢驗。G按重復測量次數n、置信概率Pc共同確定（剔除數據的寬嚴：數據量越大，誤差較大的數據越可能出現！）解：①計算得s=0.033 計算殘差填入表3－7，最大，是可疑數據。②用萊特檢驗法3·s=3×0.033=0.099故可判斷是粗大誤差，應予剔除。再對剔除后的數據計算得：s′=0.016 3·s′=0.048各測量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個數據都為正常數據。【例】對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得結果列于表3－7，試檢查測量數據中有無粗大誤差。2.4測量數據的處理1.等精度測量數據的處理

在相同的測量條件下在短時間內進行的重復測量。對測量值進行系統誤差修正，將數據依次列成表格；求出算術平均值列出殘差，并驗證按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值按萊特準則，或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差；判斷有無系統誤差。如有系統誤差，應查明原因，修正或消除系統誤差后重新測量；計算算術平均值的標準偏差寫出最后結果的表達式（單位，置信度）。【例】對某電壓進行了16次等精度測量，測量數據中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內的測量結果表達式。2.非等精度測量數據的處理（不作要求）在測量條件不同時進行的測量，測量結果的精密度將不同。權：各測量結果相對的可信賴程度，測量結果越可靠，其“權”越大。可靠性大的測量結果在最后結果中所占的比重大。“權”是一個相對的概念,與標準偏差的平方成反比加權平均值：精度高的儀器測得的數據作為測量結果最佳么？以多組重復測量為例說明加權平均值的標準偏差：證明思路:誤差合成原理等精度測量為特例§3測量不確定度

3.1不確定度的概念不確定度：測量結果可能的分散程度的參數。用標準偏差或標準偏差的倍數或置信區間的半寬度表示。標準不確定度：用標準偏差表示的不確定度①A類標準不確定度：統計方法②B類標準不確定度：非統計方法合成標準不確定度：由不確定度分量合成的標準不確定度。（因為測量結果是受若干因素聯合影響）擴展不確定度用合成標準不確定度的倍數表示。包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。不確定度的分類

不確定度與誤差的關系定義 誤差以約定真值為中心，理想概念 不確定度以估計值為中心，反映認識不足程度分類 誤差按性質分類，但各類誤差之間不存在絕對界限 不確定度按評定方法分類，按實際情況的選用。不論“出身”、只認“結果”聯系 不確定度以誤差分析為基礎，是經典誤差理論的補充， 還有待進一步完善1.A類評定（統計方法）

3.2不確定度的評定方法

自由度：數值越大，說明測量不確定度越可信。2.B類評定（非統計方法）主要信息來源是以前測量的數據、生產廠的技術證明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。確定測量值的誤差區間（α,-α），并假設被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k（通常在2～3之間），則B類標準不確定度uB為分布三角梯形均勻反正弦

k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.5763表3－9正態分布時概率與置信因子的關系表3－10幾種非正態分布的置信因子k

3.3合成標準不確定度1、誤差傳遞與合成（1）誤差傳遞理論測量函數為和、差關系時，求絕對誤差較方便測量函數為積、商、開方、乘方關系時，求相對誤差較方便（2）標準偏差的合成相關系數、協方差2、標準不確定度的合成各不確定度分量不相關，不能寫出函數關系的：①

所有的輸入量都相關，且相關系數ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1②Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不相關③，且X1,X2,…,XN不相關

例:電功率P=IV則不確定度傳播律公式的幾種簡化公式3.4擴展不確定度擴展不確定度U由合成標準不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到U＝k·uC

測量結果表示為Y＝ｙ±U，即Y=y±kuc

y是被測量Y的最佳估計值,k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布（正態、均勻、t分布等）確定。包含因子k選取方法:(A)無法得到合成標準不確定度的自由度，且測量值接近正態分布時，則一般取ｋ的典型值為2或3。(B)根據測量值分布規律和所要求的置信水平選取ｋ值。例如，假設為均勻分布時，置信水平P＝0.95，查表得k＝1.65。P﹪k57.741951.65991.711001.73均勻分布時置信概率與置信因子k的關系自由度：測量不確定度的不確定度A類不確定度分量的自由度

B類不確定度分量的自由度合成不確定度的自由度Ci——靈敏度系數CiU(xi)=Ui(y)3.5應用實例對測量設備進行校準或檢定后，要出具校準或檢定證書；對某個被測量進行測量后也要報告測量結果，并說明測量不確定度。①明確被測量的定義和數學模型及測量條件，明確測量原理、方法，以及測量標準、測量設備等；②分析不確定度來源；③分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時要剔除異常數據；④計算合成標準不確定度；⑤計算擴展不確定度；⑥報告測量結果。Y=y±kuc【例】用電壓表直接測量一個標稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻承受的功率。測量所用的電壓的技術指標由使用說明書得知，其最大允許誤差為±1％，經計量鑒定合格，證書指出它的自由度為10。(當證書上沒有有關自由度的信息時，就認為自由度是無窮大。)標稱值為200Ω的電阻經校準，校準證書給出其校準值為199.99Ω，校準值的擴展不確定度為0.02Ω（包含因子k為2）。用電壓表對該電阻在同一條件下重復測量5次，測量值分別為：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。測量時溫度變化對測量結果的影響可忽略不計。求功率的測量結果及其擴展不確定度。電壓的B類不確定度電阻的B類不確定度電壓的A類不確定度解：（1）數學模型（2）測量結果的最佳估計值（3）標準不確定度分量的評定①電壓測量引入的標準不確定度電壓表不準引入的標準不確定度分量u1-（V），B類評定a1=2.32V×1%=0.023V(b)電壓測量重復性引入的標準不確定度分量u2-（V），A類評定電壓不確定度:電壓的自由度：

②電阻不準引入的標準不確定度分量u（R）