第四章相交線與平行線（單元重點綜合測試）（考試時間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題3分）（22-23七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）下列圖形中，和是對頂角的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了對頂角定義，根據對頂角的定義逐項分析判斷即可．【詳解】解：A、兩個角沒有共頂點，不是對頂角，不符合題意；B、兩個角有共頂點并且任一個角的對應邊在各自的反向延長線上，是對頂角，符合題意；C、兩個角由共頂點但兩角的對應邊不在各自的反向延長線上，不是對頂角，不符合題意；D、兩個角沒有共頂點且有一條對應邊不在各自的反向延長線上，不是對頂角，不符合題意；故選：B．2．（本題3分）（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）以下生活現象最能體現“垂線段最短”這一道理的是（

）A．將彎曲的河道改直 B．測跳遠成績C．木工師傅用角尺畫平行線 D．握緊剪刀的把手剪開物體【答案】B【分析】本題考查了兩點之間，線段最短、垂線段最短、平行線的判定；根據兩點之間，線段最短、垂線段最短、平行線的判定、杠桿原理等逐項分析即可求解．【詳解】解：A、將彎曲的河道改直，可以縮短航程，可用“兩點之間，線段最短”來解釋，故A選項不符合題意；B、測跳遠成績，可用“垂線段最短”來解釋，故B選項根據題意；C、木工師傅用角尺畫平行線，可以用“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行”來解釋，故C選項不符合題意；D、握緊剪刀的把手剪開物體，可以用杠桿原理來解釋，故D選項不符合題意；故選：B．3．（本題3分）（22-23七年級下·湖北襄陽·期中）如圖，下列推理不正確的是(

)A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴【答案】A【分析】根據平行線的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】A.∵，∴，故該選項不正確，符合題意；B.∵，∴，故該選項正確，不符合題意；C.∵，∴，故該選項正確，不符合題意；D.∵，∴，故該選項正確，不符合題意；故選：A．4．（本題3分）（22-23七年級下·內蒙古烏海·期中）如圖，將周長為8的沿方向平移1個單位得到，則四邊形的周長為（）A．6 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】本題考查平移的性質．根據平移的性質得出,即可得出答案．【詳解】解：由題意可得，，，，∴，∵，∴四邊形的周長為：,故選：B．5．（本題3分）（22-23七年級下·廣西河池·期中）如圖，將直尺與含角的三角尺疊放在一起，角的頂點落在直尺的一邊上，其兩邊與直尺相交，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，三角板中角度的計算，根據兩直線平行，同旁內角互補得出，即可求出的度數，結合含角的三角尺即可求出的度數．【詳解】解：如圖，

，，，，由題意得，，故選：B．6．（本題3分）（22-23七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）下列命題：①內錯角相等，兩直線平行；②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；④兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；⑤直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離．其中真命題有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了命題真假的判斷，平行線的性質和判定，平行線公理，垂線的性質，點到直線的距離，根據平行線的性質和判定，平行線公理，垂線的性質，點到直線的距離逐項判斷即可．【詳解】解：①內錯角相等，兩直線平行，正確，是真命題；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是假命題；③經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，正確，是真命題；④兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原命題是假命題；⑤直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，原命題是假命題，綜上所述，真命題有2個，故選：B．7．（本題3分）（2024八年級下·全國·專題練習）已知直線在同一平面內，且，與之間的距離為，與之間的距離為，則與之間的距離是（）A． B．C．或 D．以上都不對【答案】C【分析】本題考查平行線的距離，關鍵是要分兩種情況討論．分兩種情況，當直線在直線之間時，當直線在直線外時，即可解決問題．【詳解】解：如圖①，與之間的距離為；如圖②，與之間的距離為；∴與之間的距離為或．故選：C．8．（本題3分）（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，直線，相交于點O，．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是垂直的定義，角的和差運算，對頂角的性質，熟練的運用幾何圖形中角的和差關系是解本題的關鍵．先求解，結合，求解，再利用對頂角的性質可得答案．【詳解】解：，，，故選C9．（本題3分）（22-23七年級下·浙江溫州·期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進一步求即可．【詳解】解：如圖所示，過點，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．10．（本題3分）（20-21七年級下·重慶北碚·期末）如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區域，下列結論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質以及已知即可證明；②利用角平分線的性質以及平行線的性質得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結合①的結論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結合①的結論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結合①的結論即可證明．【詳解】解：①過點F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（本題3分）（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）如圖，想在河的兩岸搭建一座橋，搭建方式最短的是，理由是．

【答案】垂線段最短【分析】本題考查了垂線段的性質，根據垂線段最短的性質填寫即可，掌握垂線段最短是解題的關鍵．【詳解】解：由題知，，∴由垂線段最短可知是最短的，故答案為：垂線段最短．12．（本題3分）（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）在同一平面內，和的兩邊分別互相平行，且比的3倍少，則．【答案】10或50【分析】本題考查了平行線的性質等知識．根據題意畫出圖形，依據平行線的性質得到或，據此列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設，則．如圖1，∵，∴，∵，∴，∴．∴，∴；如圖2，∵，∴，∵，∴，∴．∴，∴．故答案為：10或5013．（本題3分）（23-24七年級下·福建漳州·階段練習）如圖，，，為垂足，若，則．【答案】【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，垂直的定義，先由垂直的定義得到，再求出，即可得到．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．14．（本題3分）（23-24七年級下·安徽阜陽·階段練習）如圖，，平分，交于點，若，則的度數為．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質和角平分線定義，根據，得出，再根據角平分線定義即可求解，熟練掌握平行線的性質和角平分線定義是解題的關鍵．【詳解】∵，∴，∵，∴∵平分，∴，故答案為：．15．（本題3分）（2024·遼寧鞍山·一模）如圖，，將沿方向平移的長度得到，已知．則圖中陰影部分的面積．【答案】【分析】本題主要考查了平移的性質，先根據平移的性質得到即，再根據再證明，最后根據梯形的面積公式計算即可．【詳解】解：∵將沿方向平移的長度得到，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．故答案為：．16．（本題3分）（2024七年級下·全國·專題練習）如圖，若，則．【答案】/85度【分析】本題考查了平行線的判定和性質；作，可得，根據平行線的性質求出和，進而計算即可．【詳解】解：如圖，作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．17．（本題3分）（22-23七年級下·江西宜春·期末）已知，點P，Q分別在上，如圖，射線按順時針方向以每秒的速度旋轉至便立即回轉，并不斷往返旋轉；射線按順時針方向以每秒的速度旋轉至便停止，此時射線也停止旋轉．若射線先旋轉45秒，射線才開始轉動，當射線旋轉時間為秒時，．（為旋轉后對應的射線．）

【答案】或或【分析】由題意可知，射線再旋轉45秒后到達，射線在此過程中旋轉．作出，分類討論旋轉度數為和的情況，以及兩射線分別與重合時，即可求解．【詳解】解：①若旋轉度數為，即，如圖所示：

，，，，，解得：；②若旋轉度數為，即，如圖所示：

由①得：，，，解得：，③當時，與重合，與重合，此時，綜上所述：或或；故答案為：或或．18．（本題3分）（23-24七年級上·四川宜賓·期末）如圖，已知直線，點M，N分別在直線，上，點E為，之間一點，且點E在線段的右側，．若與的平分線相交于點，與的平分線相交于點，與的平分線相交于點，……以此類推，若，則n的值是．【答案】5【分析】本題考查了平行線的性質、平行公理的應用，探索圖形規律、角平分線的定義等知識點，正確的識別圖形、歸納圖形規律是解答本題的關鍵．作則，根據平行線的性質得出，同理，，可歸納規律，依此建立方程，再求解即可解答．【詳解】解：如圖：作，∵，∴，∴，，∴，∵與的平分線相交于點，∴，∴，同理：作可證明：作可證明：，，…歸納可得：由題意得：，解得．故答案為：5．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題6分）（23-24七年級下·河北保定·階段練習）如圖，E點為上的點，B為上的點，，．試說明：．【答案】見解析【分析】本題考查平行線的性質和判定，以及對頂角的性質，根據對頂角的性質和等量代換，證明，推出，即可證明．【詳解】證明：，，，，，，，．20．（本題6分）（23-24七年級下·江蘇南京·階段練習）如圖，已知，，垂足分別為G、D，，求證：．請你將小明的證明過程補充完整．證明：∵，，垂足分別為G、D（已知）∴（______），∴（______）．∵（已證）∴（______），又∵（已知），∴______，（______），∴______，（______），∴（______），【答案】垂直定義，同位角相等；兩直線平行，兩直線平行；同位角相等；，等量代換；；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．【分析】本題考查了平行線的判定與性質，屬于基礎題，關鍵是正確利用平行線的性質與判定定理證明．根據同位角相等兩直線平行證得，然后根據兩直線平行同位角相等得出，根據已知進一步得出，即可證得，得出．【詳解】證明：，，垂足分別為，（已知）（垂直定義）．（同位角相等，兩直線平行），（已證），（兩直線平行，同位角相等），又（已知），（等量代換），（內錯角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同旁內角互補），故答案為：垂直定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；，等量代換；；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．21．（本題8分）（23-24七年級下·全國·課后作業）如圖，直線交于點，．平分，，試求的度數．【答案】【分析】本題考查了對頂角相等、利用鄰補角求度數、利用角平分線的定義進行計算，由對頂角的定義得出，利用鄰補角求出，再由角平分線的定義計算即可得出答案．【詳解】解：直線交于點，與互為對頂角，．，，．平分，．22．（本題8分）（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在凸四邊形中，，平分，平分．

(1)若，求的度數．(2)判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查平行線的判定，角平分線的定義，多邊形的內角和定理：（1）先根據多邊形的內角和得出，再根據三角形內角和定理得出，最后根據角平分線的定義得出答案；（2）先得出，再根據角平分線的定義得出，，再得出，進而可得出結論．【詳解】（1）解：凸四邊形，，，；，，平分，．（2），理由如下：凸四邊形，，，，平分平分，，，，，在中有，，．23．（本題9分）（23-24七年級下·河北保定·階段練習）如圖，，(1)欲使，與需要滿足什么條件？說明理由；(2)在（1）的情況下，若是的平分線，，求的度數．【答案】(1)當時，，理由見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義：（1）要使，則有，由平行線的性質可得，因此當，即可推出；（2）先由平行線的性質得到，再由角平分線的定義得到，最后根據進行求解即可．【詳解】（1）解：當時，，理由如下：，，，，．（2）解：，，是的平分線，，，．24．（本題9分）（23-24七年級下·河南·階段練習）如圖，直線相交于點．(1)若，判斷和的關系，并說明理由；(2)若，求的度數．【答案】(1)，理由見解析；(2)．【分析】本題考查的是垂直的含義，互余的含義，角的和差運算，對頂角的性質，熟練的利用角的和差關系進行計算是解本題的關鍵．（1）由垂直定義可得，，從而可得結論；（2）由垂直定義，，由，則，可求，進而．【詳解】（1）；理由：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．25．（本題10分）（23-24七年級上·浙江金華·期末）如圖，三角尺的直角頂點P在直線上，其中，．

(1)如圖①，若，求的度數．(