第三章因式分解（單元重點綜合測試）（考試時間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題3分）（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．2．（本題3分）（2024上·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．3．（本題3分）（2024上·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，能用平方差公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．4．（本題3分）（2023上·山東淄博·八年級校考階段練習）下列因式分解中：①；②；③；④，正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（本題3分）（2024上·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考期末）因式分解，其中m、n都為整數(shù)，則m的值是（

）A． B． C． D．46．（本題3分）（2024上·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如果，那么的值是（

）A． B． C．1 D．07．（本題3分）（2023下·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習）小林是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，3，，，分別對應六個字：國，愛，我，數(shù)，學，祖，現(xiàn)將因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛數(shù)學 B．愛祖國 C．祖國數(shù)學 D．我愛祖國8．（本題3分）（2023上·河南南陽·八年級校考階段練習）在多項式上添加一個單項式，使得到的多項式可以用完全平方公式進行因式分解，則添加的單項式不可以是（）A． B． C． D．9．（本題3分）（2023上·陜西延安·八年級校聯(lián)考階段練習）若為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除10．（本題3分）（2024上·四川內(nèi)江·八年級校考期中）若，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（本題3分）（2024上·廣東肇慶·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．12．（本題3分）（2023上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）用提公因式法分解因式時，從多項式中提出的公因式為．13．（本題3分）（2024上·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）已知，，則．14．（本題3分）（2024上·重慶綦江·八年級統(tǒng)考期末）一個長為a，寬為b的長方形的周長為12，面積為7，則的值為．15．（本題3分）（2023下·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）若，則M與N的大小關系為．16．（本題3分）（2024上·重慶長壽·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正整數(shù)，所有形如的數(shù)的最大公約數(shù)是．17．（本題3分）（2019下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）計算：.18．（本題3分）（2021下·浙江·七年級期中）如圖，邊長為4的正方形ABCD中放置兩個長寬分別為a，b的長方形AEFG與長方形CHIJ，如圖陰影部分的面積之和記為，長方形AEFG的面積記為，若，，則長方形AEFG的周長為．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（本題6分）（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．20．（本題6分）（2023上·八年級課時練習）計算：(1)．(2)．21．（本題8分）（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）已知，求的值．22．（本題8分）（2021下·四川成都·七年級校考期中）如果，求代數(shù)式的值．23．（本題9分）（2018下·七年級單元測試）兩位同學將一個二次三項式分解因式，一位同學因看錯了一次項系數(shù)而分解成，另一位同學因看錯了常數(shù)項而分解成，求出原多項式．24．（本題9分）（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）我們知道幾個非負數(shù)的和等于0，只有這幾個數(shù)同時等于0才成立，如．因為都是非負數(shù)，則，可求得，可求得．應用上述知識解答下列各題：(1)若，求的值；(2)若，求的值．25．（本題10分）（2023上·山東日照·八年級校考階段練習）閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則______，______(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足．求的周長．(3)當a，b為何值時，多項式有最小值，并求出這個最小值．26．（本題10分）（2022下·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式的二次項的系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關于，的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列