編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數學第二學期研發，供中等及以上學生使用。思路設計：重在培優訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎差的學生選做每種類型題的前4題；基礎中等的學生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題05解決問題之列方程（組）解應用題（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．受非洲豬瘟及供求關系影響，去年豬肉價格經過連續兩輪漲價，價格從40元/千克漲到90元/千克，若兩輪漲價的百分率相同，則這個百分率是（）A．20% B．30% C．40% D．50%【標準答案】D【思路指引】設兩輪漲價的百分率為x，根據漲價前及經過兩輪漲價后的豬肉價格，即可得出關于x的一元二次方程，解完取正值即可得出結論．【詳解詳析】解：設兩輪漲價的百分率為x，依題意，得：40（1+x）2＝90，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合題意，舍去）．故選：D．【名師指路】本題考查的知識點是一元二次方程的應用，找出題目中的等量關系式是解此題的關鍵．2．年月日，北京市正式實施《北京市生活垃圾管理條例》，生活垃圾按照廚余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾進行分類．小紅所住小區月和月的廚余垃圾分出量和其他三種垃圾的總量的相關信息如下表所示：類別月份月月廚余垃圾分出量（千克）其他三種垃圾的總量（千克）廚余垃圾分出量如果廚余垃圾分出率(生活垃圾總量廚余垃圾分出量其他三種垃圾的總量），且該小區月的廚余垃圾分出率約是月的廚余垃圾分出率的倍，那么下面列式正確的是（）A． B．C． D．【標準答案】B【思路指引】根據公式列出12月與5月廚余垃圾分出率，根據月的廚余垃圾分出率約是月的廚余垃圾分出率的倍列方程即可．【詳解詳析】5月份廚余垃圾分出率=，12月份廚余垃圾分出率=，∴由題意得，故選：B．【名師指路】此題考查分式方程的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵．3．定義：等腰三角形的一個底角與其頂角的度數的比值稱為這個等腰三角形的“優美比”．若在等腰三角形中，則它的優美比為（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】由已知可以寫出∠B和∠C，再根據三角形內角和定理可以得解．【詳解詳析】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，由三角形內角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故選B．【名師指路】本題考查等腰三角形的應用，熟練掌握等腰三角形的性質、三角形內角和定理及方程思想的應用是解題關鍵．4．要組織一次足球聯賽，賽制為雙循環形式（每兩隊之間都進行兩場比賽），共要比賽90場．設共有x個隊參加比賽，則x滿足的關系式為（）A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【標準答案】D【思路指引】設有x個隊參賽，根據參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場場比賽，共要比賽90場，可列出方程．【詳解詳析】解：設有x個隊參賽，則x（x﹣1）＝90．故選：D．【名師指路】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是根據總比賽場數做為等量關系列方程求解．5．某文具店購進，兩種款式的書包，其中種書包的單價比種書包的單價低．已知店主購進種書包用了元，購進種書包用了元，且所購進的種書包的數量比種書包多個．設文具店購進種款式的書包個，則所列方程正確的是（）A． B．C． D．【標準答案】B【思路指引】設文具店購進B種款式的筆袋x個，則購進A種款式的筆袋（x＋20）個，根據單價＝總價÷數量結合A種筆袋的單價比B種袋的單價低10%，即可得出關于x的分式方程．【詳解詳析】解：設文具店購進B種款式的筆袋x個，則購進A種款式的筆袋（x＋20）個，依題意，得：，故選：B．【名師指路】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．6．課本習題：“某超市的一種瓶裝飲料每箱售價為36元，五一期間對該瓶裝飲料進行促銷活動，買一箱送兩瓶，這相當于每瓶按原價九折銷售，求這家超市銷售這種飲料的原價每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下為四位同學列出的方程，正確的是（）A．甲、丁 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙【標準答案】B【思路指引】根據題意可設這種飲料的原價每瓶是元，則根據等量關系“九折購買的飲料數量比36元購買的一箱飲料的數量多2瓶”，或“一箱加2瓶的飲料九折后的價格是36元”；若設每箱有瓶，則根據“購買一箱加2瓶時，每瓶的價格和每瓶九折后的價格相等”分別列出方程即可【詳解詳析】設這種飲料的原價每瓶是元，則；設這種飲料的原價每瓶是元，則；設每箱有瓶，則故選B【名師指路】本題考查了分式方程的應用，一元一次方程的應用，根據題意找出等量關系是解題的關鍵．7．某鋼鐵廠一月份生產鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進操作技術，使得第一季度共生產鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少？若設二、三月份平均每月的增長率為x，則可得方程（）A． B．C． D．【標準答案】D【詳解詳析】第一個月是560，第二個月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度總計560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，選D.8．某市2017年國內生產總值（GDP）比2016年增長了12%，由于受到國際金融危機的影響，預計2018比2017年增長7%，若這兩年GDP年平均增長率為%，則%滿足的關系是A． B．C． D．【標準答案】D【詳解詳析】設2016年的國內生產總值為1，∵2017年國內生產總值（GDP）比2016年增長了12%，∴2017年的國內生產總值為1+12%；∵2018年比2017年增長7%，∴2018年的國內生產總值為（1+12%）（1+7%），∵這兩年GDP年平均增長率為x%，∴2018年的國內生產總值也可表示為：，∴可列方程為：（1+12%）（1+7%）=．故選D．9．一個矩形內放入兩個邊長分別為3cm和4cm的小正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為8cm2；按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為11cm2，若把兩張正方形紙片按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2【標準答案】C【思路指引】設矩形的長為xcm，寬為ycm，根據矩形的面積公式結合按圖①②兩種放置時未覆蓋部分的面積，即可得出關于x、y的方程組，利用(②①)3可得出x=y+1③，將③代入②中可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，進而得出x的值，再利用矩形面積公式得出圖③擺放位置時未覆蓋的面積即可得出答案．【詳解詳析】解：設矩形的長為xcm，寬為ycm根據題意可得，，將(②①)3可得出：yx+1=0，即x=y+1③，將③代入②中可得：y(y+1)=16+3(y4)+11，整理得：，解得：或（舍），則x=y+1=6，則矩形的寬為5cm，長為6cm，按照圖③放置的時候，未覆蓋的面積為：，故選：C．【名師指路】本題考查了二元一次方程組及一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．10．等邊三角形ABC的邊長為1，點P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB，其中Q，R，S為垂足，若SP＝，則AP的長是（）A． B． C． D．或【標準答案】D【思路指引】根據等邊三角形性質求出，求出，設則，，，，，當在上時，根據，代入求出即可；當在之間時，同理可求出．【詳解詳析】解：等邊三角形，，，，，，同理，，設則，，，，，當在上時，，，；當在之間時，同理可求出．故選：．【名師指路】本題主要考查對等邊三角形性質，含30度角的之間三角形，一元一次方程等知識點的理解和掌握，能求出、、是解此題的關鍵．二、填空題11．閱讀下列材料：①的解為x＝1，②的解為x＝2，③的解為x＝3．請你觀察上述方程與解得特征，寫出能反映上述方程一般規律的方程___，這個方程的解為___．【標準答案】【思路指引】根據觀察發現規律：方程的解是方程的最簡公分母為零時x值的平均數，可得答案．【詳解詳析】解：方程為：，解為，故填：，．【名師指路】此題考查了分式方程的解，弄清題中的規律是解本題的關鍵．12．某校去年租借了三架無人機A，B，C用于體育節航拍，無人機A，B，C飛行平均速度之比為1：8：3，飛行時間之比為2：1：2．今年繼續租借，但根據航拍需求，對三架無人機飛行平均速度和時間均作了調整．無人機B的平均速度比去年低了，無人機C的平均速度為去年的．A，C兩架無人機的飛行總路程增加，而無人機B飛行總路程減少．無人機C增加的路程是無人機A增加路程的2倍，且占今年三架無人機總路程的20%．無人機A增加的路程與無人機B減少的路程之比為7：15，則今年無人機B與無人機C的飛行時間之比為________．【標準答案】17：57【思路指引】設去年無人機A，B，C飛行平均速度之比為x，8x，3x，飛行時間之比為2t，t，2t，表示出去年無人機A，B，C飛行的路程分別為2xt，8xt，6xt，設今年無人機A增加路程為m，無人機B減少路程為n，則無人機C增加路程為2m，進而用代數式表示有關的路程和時間，表示出今年無人機B與無人機C的飛行時間，即可求出無人機B與無人機C的飛行時間之比．【詳解詳析】解：∵去年無人機A，B，C飛行平均速度之比為1：8：3，飛行時間之比為2：1：2，∴設去年無人機A，B，C飛行平均速度之比為x，8x，3x，飛行時間之比為2t，t，2t，∴去年無人機A，B，C飛行的路程分別為2xt，8xt，6xt，∵今年無人機B的平均速度比去年低了，無人機C的平均速度為去年的∴今年無人機B的平均速度為：（1﹣）×8x＝6x，無人機C的平均速度為：×3x＝4x，設今年無人機A增加路程為m，無人機B減少路程為n，則無人機C增加路程為2m，∴今年無人機A、B、C飛行的路程分別為2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m，∴今年無人機A、B、C飛行的時間分別為，，，∵無人機C增加的路程占今年三架無人機總路程的20%，∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m），整理得：16xt﹣7m﹣n＝0①，∵無人機A增加的路程與無人機B減少的路程之比為7：15，∴m：n＝7：15，∴m＝②，把②代入①得：16xt﹣7×﹣n＝0，∴xt＝，∴今年無人機B與無人機C的飛行時間之比為：，故答案為：17：57．【名師指路】本題考查了分式方程的應用，利用比例設未知數是解決本題的關鍵．13．對于三個數a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個數的平均數，用min{a，b，c}表示這三個數中最小的數．例如：M{－1，2，3}＝，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝_______.【標準答案】或【詳解詳析】【思路指引】根據題中的運算規則得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根據min{2，－x＋3，5x}的規則分情況討論即可得.【詳解詳析】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三種情況：①2x+1=2，x=，此時min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=2，成立；②2x+1=x+3，x=，此時min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=2，不成立；③2x+1=5x，x=，此時min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=，成立，∴x=或，故答案為或.【名師指路】本題考查了閱讀理解題，一元一次方程的應用，分類討論思想的運用等，解決問題的關鍵是讀懂題意，依題意分情況列出一元一次方程進行求解．14．近年來，網紅北京迎來了無數中外游客．除了游故宮、登長城、吃烤鴨以外，稻香村的傳統糕點成為了炙手可熱的伴手禮．根據消費者的喜好，現推出A、B兩種伴手禮禮盒，A禮盒裝有2個福字餅，2個祿字餅：B禮盒裝有1個福字餅，2個祿字餅，3個壽字餅，A、B兩種禮盒每盒成本價分別為盒中福祿壽三種糕點的成本價之和．已知A種禮盒每盒的售價為96元，利潤率為20%，每個祿字餅的成本價是壽字餅的成本價的3倍．國慶期間，由于客流量大，一天就賣出A、B兩種禮盒共計78盒，工作人員在核算當日賣出禮盒總成本的時候把福字餅和祿字餅的成本看反了，后面發現如果不看反，那么當日賣出禮盒的實際總成本比核算時的總成本少500元，則當日賣出禮盒的實際總成本為_____元．【標準答案】5740【思路指引】根據題意可得A禮盒的成本價格，進而可求出1個福字餅和1個祿字餅的成本和為40元，再設一個福字餅成本x元，一個祿字餅成本（40﹣x）元，A種禮盒m袋，B種禮盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日賣出禮盒的實際總成本即可．【詳解詳析】解：設A禮盒成本價格a元，根據題意，得96﹣a＝20%a，解得a＝80，∵A禮盒裝有2個福字餅，2個祿字餅，∴2個福字餅和2個祿字餅的成本價格為80元，∴1個福字餅和1個祿字餅的成本價格為40元，設個福字餅成本價x元，1個祿字餅成本價（40﹣x）元，則1個壽字餅成本價為（40﹣x）元，A種禮盒m袋，B種禮盒n袋，根據題意，得m+n＝7880m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）]∴xn＝20n+250設A、B兩種禮盒實際成本為w元，則有w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×（40﹣x）＝80（m+n）﹣500＝80×78﹣500＝5740．故答案為：5740．【名師指路】本題考查了一元二次方程的應用，解決本題的關鍵是求出A禮盒的成本．15．如圖，點O是鐘面的中心，射線正好落在3：00時針的位置．當時鐘從2：00走到3：00，則經過___________分鐘，時針，分針，與所在的三條射線中，其中一條射線是另外兩條射線所夾角的角平分線．【標準答案】6或【思路指引】分兩種情況討論：當時針為角平分線和OC為角平分線進行計算即可．【詳解詳析】設時針為OB，分針為OA．當時針為OB為角平分線時，如圖1所示：設經過x分鐘，OB為角平分線，則∠AOB=60゜6x゜+，∠BOC=30゜－，依題意得：606x+＝30－解得x=6；當時針為OC為角平分線時，如圖2所示：設經過x分鐘，OC為角平分線，則∠AOC=6x゜90゜，∠BOC=30゜－，依題意得：6x90＝30－解得x=；綜合上述可得：經過6分鐘或分鐘時，時針，分針，與所在的三條射線中，其中一條射線是另外兩條射線所夾角的角平分線．故答案為：6或．【名師指路】考查了一元一次方程的應用和角平分線的性質，解題關鍵是分兩種情況討論：當時針為角平分線和OC為角平分線和利用方程求得其角度．16．隨著我國疫情的有效控制，各地打造了眾多春游景點供市民休閑娛樂．某區特別打造了多彩植物園、親子游樂園、勞動體驗園吸引游客．月份多彩植物園、親子游樂園、勞動體驗園接待游客數量之比為．為增加游客數量，該地區通過發抖音、轉發朋友圈等多種方式加大宣傳力度，預計月份三個園區接待的游客總人數在月份的基礎上會增加．但因為多彩植物園中部分花期已過，多彩植物園的游客人數在3月份的基礎上將減少．這樣月份，多彩植物園接待的游客總人數占三個園區接待游客總人數的，而親子游樂園、勞動體驗園月份接待游客人數之比將達到，則親子游樂園新增的人數與月份這三個園區的總人數之比是___________【標準答案】【思路指引】設3月多彩植物園、親子游樂園、勞動體驗園接待游客數量分別為3a，3a，4a，求出4月多彩植物園的人數，得到4月接待總人數，設4月親子游樂園人數為m，根據4月親子游樂園、勞動體驗園4月份接待游客人數之比將達到3：2，得到，再根據題意求出比值．【詳解詳析】解：設3月多彩植物園、親子游樂園、勞動體驗園接待游客數量分別為3a，3a，4a，則4月多彩植物園的游客人數為3a（1）=2a，∴4月接待總人數為2a÷=14a，∴4月親子游樂園、勞動體驗園接待游客數量為12a，設4月親子游樂園人數為m，則勞動體驗園人數為12am，由題意可得：，解得：，∴4月親子游樂園新增的人數與4月份這三個園區的總人數之比為：=，故答案為：．【名師指路】本題考查了分式方程的實際應用，題干較長，解題時要細心認真讀題，理清題中的條件，用字母表示出相關量，再進行運算．17．從甲地到乙地有20站，并且任何相鄰兩站之間的距離相同．快車和慢車每小時從甲地各發一趟，快車整點發車，慢車發車時間晚半小時．快車每站車費5元，慢車每站車費2元，但快車的速度是慢車速度的2倍．快車從甲地到乙地共需2小時．上午九點半，一位只有70元錢的旅客在甲地乘車，若忽略車進出站上下乘客的時間，但旅客等車時間要計算在內，這位旅客從甲地到乙地所需的最短時間為__小時．【標準答案】3【思路指引】從甲地到乙地，快車整點出發，慢車晚半個小時，旅客9：30分上車必須坐慢車，從10：00點鐘后整點發車可以看一個追及相遇問題，計算出慢車與后面不同整點發出的快車相遇的站點，方可上快車才能節省時間，同時還考慮旅客只帶70元錢夠車費，方能到達終點的時間最短．【詳解詳析】解：∵從甲地到乙地有20站，快車共需2小時，∴快車從上一站點到下一站點的時間為，又∵快車的速度是慢車速度的2倍；∴從甲地到乙地有20站，慢車共需4小時，∴慢車從上一站點到下一站點的時間為．由題意可知：①當9：30旅客坐上慢車后，與第1輛10：00鐘發出的快車相遇于第x個站點，則有：，解得：x＝5；∴此刻10：00發出的快車行了小時，慢車行了1個小時；即相遇時刻為10：30分．②當10：30旅客坐慢車繼續前行，需過小時，快車將在11：00發出追及慢車相遇于第y個站點，則有：，解得：y＝10，∴此刻11：00發出的快車行了1小時，慢車行了2個小時；即相遇時刻為12：00分．③當12：00旅客坐慢車繼續前行，此刻甲地快車發出追及慢車相遇于第z個站點，則有：，解得：z＝20，∴此刻相遇剛好在終點．由上可知：旅客要從慢車坐上快車在第①和第②次相遇時坐上快車節省時間．（Ⅰ）第①種情況旅客坐慢車相遇快車后上快車，從甲地到乙地的總時間為：（小時）；又∵快車每站車費5元，慢車每站車費2元，∴此種方式的總費用：2×5+15×5＝75（元），又∵旅客只有70元錢，∴75＞70，即此時相遇后坐快車錢不夠，不合題意舍去．（Ⅱ）第②情況旅客坐慢車相遇快車后上快車，從甲地到乙地的總時間為：（小時）．此種方式的總費用：5×10+2×10＝70（元）即此種情況節約時間，旅客所帶的錢夠花．故答案為3．【名師指路】本題考查了分式方程的應用，理解題意列出方程，分類討論是解題的關鍵．18．某知名服裝品牌在北碚共有A、B、C三個實體店．由于疫情的影響，第一季度A、B、C三店的營業額之比為，隨著疫情得到有效的控制和緩解，預計第二季度這三個店的總營業額會增加，其中B店增加的營業額占總增加的營業額的，第二季度B店的營業額占總營業額的，為了使A店與C店在第二季度的營業額之比為5∶4，則第二季度A店增加的營業額與第二季度總營業額的比值為______________．【標準答案】【思路指引】設第一季度A、B、C三店的營業額分別為，第二季度A店、C店的營業額為、，根據題意求得與的關系，第二季度B店的營業額，第二季度總營業額為，則第二季度A店增加的營業額與第二季度總營業額的比值為，即可求解．【詳解詳析】解：∵第一季度A、B、C三店的營業額之比為∴設第一季度A、B、C三店的營業額分別為∵第二季度A店與C店在第二季度的營業額之比為5∶4∴設第二季度A店、C店的營業額為、，B店的營業額為∵第二季度B店的營業額占總營業額的，∴，解得∴第二季度總營業額為∵B店增加的營業額占總增加的營業額的∴，解得第二季度A店增加的營業額與第二季度總營業額的比值為【名師指路】此題考查了分式方程的應用，理解題意設合適的未知數，弄清楚題中的等量關系是解題的關鍵．19．小方同學設計了一個“魔法棒轉不?！背绦?，如圖所示，點，在直線上，第一步，繞點順時針旋轉度至；第二步，繞點順時針旋轉度至；第三步，繞點順時針旋轉度至，以此類推，在旋轉過程中若碰到直線則立即繞點反方向旋轉．當時，則等于______度．【標準答案】或或【思路指引】根據題意，由旋轉的性質和角度的變化規律，可對射線進行討論分析：①未反彈；②反彈后落在之間；③反彈后落在之間；④反彈后落在之間；分別求出每一種情況的答案，并結合實際情況，即可得到答案．【詳解詳析】解：根據題意，可對射線進行討論分析：①未反彈時，如圖：∵，∴，∴此時滿足題意；②反彈后落在之間，如圖：∴，，∴，∴，∴，此時，不符合題意，舍去；③反彈后落在之間，如圖：∴，，∴，∴此時，成立；④反彈后落在之間，如圖：∴，，∴，∴，∴，成立；∵，∴，∴射線不可能反彈；綜上所述，等于或或．故答案為：或或．【名師指路】本題考查了一元一次方程的應用，平角的定義，角度的和差關系，解題的關鍵是熟練掌握題意，掌握角度的規律探索，注意運用分類討論的思想進行分析．20．已知：如圖1，點是直線上一點，過點作射線，使，過點作射線，使．如圖2，繞點以每秒9°的速度順時針旋轉得，同時射線繞點以每秒3°的速度順時針旋轉得射線，當射線落在的反向延長線上時，射線和同時停止，在整個運動過程中，當______時，的某一邊平分（指不大于180°的角）．【標準答案】t=3或t=30或t=54【思路指引】本題分情況討論，當OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值，當ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此時分為兩種情況，第一種情況：ON'沒有旋轉完360°，第二種情況：ON'旋轉完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分別求出t的值即可．【詳解詳析】解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180°得：∠EOM=30°，∠EON=150°①OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'

∠MOE'=30+9t∠A'OE'=60+3t9t∴30+9t=60+3t9t解得t=3，②ON'平分∠A'OM，此時分為兩種情況，第一種情況：ON'沒有旋轉完360°，

∠MON'=∠A'ON'∠MON'=9t180∠A'ON'=90+(9t180)3t∴9t180=90+(9t180)3t解得t=30，第二種情況：ON'旋轉完了360°

∠MON'=∠A'ON'∠MON'=1809t+360，∠A'ON'=180(3t90)(1809t+360)1809t+360=180(3t90)(1809t+360)解得t=54，故答案為：t=3或t=30或t=54【名師指路】此題主要考查角的和差，角平分線的性質與一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系求解.三、解答題21．某商場第一次用元購進某款智能清潔機器人進行銷售，很快銷售一空，商家又用元第二次購進同款智能清潔機器人，所購進數量是第一次的倍，但單價比第一次貴了元．（1）該商家第一次購進智能清潔機器人多少臺？（2）若第二次購進的智能清潔機器人的銷售價格與第一次購進的智能清潔機器人的銷售價格相同，要求兩次全部銷售完畢的利潤率不低于（不考慮其它因素），那么每臺智能清潔機器人的銷售價格至少是多少元？【標準答案】（1）該商家第一次購進智能清潔機器人臺；（2）每臺智能清潔機器人的標價至少是元．【思路指引】（1）設該商家第一次購進智能清潔機器人臺，列分式方程求解即可；（2）設每臺智能清潔機器人的標價是元，列不等式解決問題.【詳解詳析】解：設該商家第一次購進智能清潔機器人臺，依題意得：，解得.經檢驗是所列方程的解，且符合題意.答：該商家第一次購進智能清潔機器人臺.設每臺智能清潔機器人的標價是元.則依題意得：，解得.答：每臺智能清潔機器人的標價至少是元.【名師指路】此題考查分式方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵.22．在落實“精準扶貧”戰略中，三峽庫區某駐村干部組織村民依托著名電商平臺“拼多多”組建了某土特產專賣店，專門將進貨自本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國各地．2020年10月份，該專賣店第一次購進A商品40件，B商品60件，進價合計8400元；第二次購進A商品50件，B商品30件，進價合計6900元．（1）求該專賣店10月份A、B兩款商品進貨單價分別為多少元？（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進的商品全部售出．由于季節原因，B商品缺貨，該專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進貨單價比10月份上漲了m元，進價合計49000元；12月份的進貨單價又比11月份上漲了0.5m元，進價合計61200元，12月份的進貨數量是11月份進貨數量的1.2倍．為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價不變，到2021年元旦節，該專賣店把剩下的50件A商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為多少元？【標準答案】（1）該店A、B兩款商品進貨單價分別為90元和80元；（2）該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元．【思路指引】（1）設每件A種商品的進價為x元，每件B種商品的進價為y元，根據“若購進A種商品40件，B種商品60件，需要8400元；若購進A種商品50件，B種商品30件，需要6900元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）根據題意，可以得到相應的分式方程，從而可以得到m的值，然后即可計算出商店銷售這兩批A商品的銷售總金額．【詳解詳析】（1）設10月份A商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，由題意得：，解得，，答：該店A、B兩款商品進貨單價分別為90元和80元；（2）由題意可得，，解得，m=8，經檢驗，m=8是原分式方程的解，故11月份購進的A商品數量為（件），12月份購進的A商品數量為500×1.2=600（件），（500+60050）×150+150×0.8×50=163500（元）．答：該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售總金額為163500元．【名師指路】本題考查了分式方程的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和分式方程，注意分式方程要檢驗．23．如果實數a，b滿足的形式，那么a和b就是“智慧數”，用表示．如：由于，所以是“智慧數”．（1）下列是“智慧數”的是（填序號）；①和，②和，③和．（2）如果是“智慧數”，那么“☆”的值為；（3）如果是“智慧數”，①y與x之間的關系式為；②當x＞0時，y的取值范圍是；③在②的條件下，y隨x的增大而（填“增大”，“減小”或“不變”）．【標準答案】（1）①，③；`（2）；（3）①（）；②；③增大【思路指引】（1）將三組數據逐一代入智慧數的式子可得出結論；（2）滿足新定義的等式，代入求出☆；（3）①將x和y代入智慧數的式子整理可得；②用x表示y，通過x＞0的條件可得出y的取值范圍；③將y=整理成1的形式可得．【詳解詳析】（1）①1.26=7.2=1.2×6，①是智慧數；②（3）=≠×（3），②不是智慧數；③（1）==×（1），③是智慧數．故答案為①，③；（2）∵是“智慧數”，∴3☆=3☆4☆=3☆=（3）①∵是“智慧數”，∴xy=xyx=xy+yx=y（x+1）y=（）．②用x表示y，y=x（1y）x=∵x＞0，∴＞0，y（1y）＞0，∴．③由①得，y==1，當x>0時，1+x>1，當x增大時，1+x隨x的增大而增大，隨x的增大而減小，1隨x的增大而增大，故答案為增大．【名師指路】本題主要考查了新定義下實數和分式方程的運算，熟練掌握實數運算和分式方程的性質是解題的關鍵．24．己知在數軸上有A，B兩點，點B表示的數為最大的負整數，點A在點B的右邊，且AB=24．若有一動點Р從數軸上點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿著數軸向右勻速運動，設Q運動時間為t秒．（1）若點Р和點Q同時出發，當秒時，寫出數軸上點P，Q所表示的數；（2）若點P，Q分別從A，B兩點出發，Р先出發2秒，然后Q才出發，問當t為何值點P與點相距3個單位長度；（3）若點О到點M，N兩點的距離之和為10，則稱點О是的“整十點”，設點C為線段AB上的點，且，點P，Q分別從A，B兩點同時出發，點P向左運動到C點時返回到A點時停止，動點Q一直向右運動到A點后停止運動，求當t為何值時，點C為的“整十點”．【標準答案】（1）點P表示的數為19，點Q表示的數為5；（2）當t為或時點P與點相距3個單位長度；（3）當t為或時，C為的“整十點”【思路指引】（1）先求出點A、B表示的數，再求出t=2時點P、Q運動的路程，即可求得點P、Q所表示的數；（2）先求出點P、Q表示的數，再根據PQ=3列出關于t的一元一次方程，解方程即可解答；（3）根據AC=10可求得點C表示的數，再分情況表示出點P表示的數，然后分0＜t≤、＜t≤5、5＜t≤8、8＜t≤10四種情況，根據點C為的“整十點”列出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解詳析】解：根據題意，點B表示的數為﹣1，點A表示的數為23，當t=2時，AP=2×2=4，BQ=3×2=6，則點P表示的數為23﹣4=19，點Q表示的數為﹣1+6=5；（2）當運動時間為t秒時，點P表示的數為23﹣2×2﹣2t=19﹣2t，點Q表示的數為﹣1+3t，由題意得：∣（19﹣2t）﹣（﹣1+3t）∣=3，即20﹣5t=3或5t﹣20=3，解得：t=或t=，答：當t為或時點P與點相距3個單位長度；（3）依題意，點C表示的數是13，點P運動到C點需10÷2=5秒，返回到A點需10秒，∴點P表示的數為，點Q運動到C點需要14÷3=秒，運動到A點需24÷3=8秒,∴點Q表示的數為﹣1+3t（0＜t≤8）當0＜t≤時，由CQ+CP=10得：13﹣（﹣1+3t）+23﹣2t﹣13=24﹣5t=10，解得：t=；當＜t≤5時，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+23﹣2t﹣13=t﹣4=10，解得：t=14＞5，不存在；當5＜t≤8時，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+3+2t﹣13=5t﹣24=10，解得：t=；當8＜t≤10時，由CQ+CP=10得：10+3+2t﹣13=10，解得：t=5＜8，不存在，綜上，當t為或時，C為的“整十點”．【名師指路】本題考查數軸、一元一次方程的應用，解答的關鍵是會表示數軸上的數，找準等量關系，利用分類討論思想列出對應的一元一次方程．25．2020年初，國家發展改革委、生態環境部印發了《關于進一步加強塑料污染治理的意見》，明確了加強塑料污染治理分階段的任務目標．某企業積極響應國家號召，加強對A型，B型可降解環保購物袋的研發生產和銷售，2020年第二季度，A型環保袋的銷量比B型銷量的2倍少40噸，其中B型環保袋每噸的利潤是A型的倍，該季度銷售A，B兩種環保袋分別獲得利潤50萬元和36萬元．（1）第二季度A型，B型環保袋的銷量分別為多少噸？（2）第三季度，該企業擴大了A，B兩種環保袋的生產銷售，A型增加的銷量是B型增加銷量的倍，該季度A型環保袋的銷量是B型的1.5倍．到了第四季度，為響應國家號召，該企業主動降低了兩種環保袋的售價，A型，B型環保袋每噸的利潤比第二季度分別降低了和，兩種環保袋的銷量卻比第三季度分別增加了和，第四季度A，B兩型環保袋的總利潤比第二季度增加了49萬元，求a的值．【標準答案】（1）A型環保袋的銷量為200噸，B型環保袋的銷量為120噸；（2）a的值為25．【思路指引】（1）設B型環保袋的銷量為x噸，A型的環保袋銷量為(2x40)噸，根據題意列出方程即可；（2）先設B型增加了b噸銷量，根據第三季度A型環保袋的銷量是B型的1.5倍列出方程求出b，再根據第四季度A，B兩型環保袋的總利潤比第二季度增加了49萬元列出關于a的方程即可求解．【詳解詳析】解：（1）設B型環保袋的銷量為x噸，A型的環保袋銷量為(2x40)噸，根據題意，得：，解此方程得，經檢驗，是原方程的根，∴（噸），所以，A型環保袋的銷量為200噸，B型環保袋的銷量為120噸；（2）設B型增加了b噸銷量，由題意得：200＋b＝1.5(120＋b)，解得b＝80，∴200＋b＝300（噸），120＋b＝200（噸）則A型銷量為300噸，B型銷量為200噸，由題意可得，第四季度A型環保袋的銷量為，B型環保袋的銷量為，由（1）可得，第二季度A型環保袋每噸的利潤為萬元，B型環保袋每噸的利潤為萬元，∴第四季度A型環保袋每噸的利潤為萬元，B型環保袋每噸的利潤為萬元，由題意得：，此方程可化為，解得（舍去），，∴a的值為25．【名師指路】本題考查了分式方程、一元一次方程及一元二次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，弄清數量關系，列出方程．26．（1）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=（）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（n，6），點C的坐標為（﹣2，0），且tan∠ACO=2．①求該反比例函數和一次函數的解析式；②求點B的坐標；③在x軸上求點E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點E的坐標）（2）某書店老板去圖書批發市場購買某種圖書．第一次用1200元購書若干本，并按該書定價7元出售，很快售完．由于該書暢銷，第二次購書時，每本書的批發價已比第一次提高了20%，他用1500元所購該書數量比第一次多10本．當按定價售出200本時，出現滯銷，便以定價的4折售完剩余的書．①求第一次購進圖書的進價是每本多少元？②該書店老板在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？【標準答案】（1）①，；②；③，；（2）①5元；②盈利了，共盈利了520元【思路指引】（1）①過點A作AD⊥x軸于D，根據A、C的坐標求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把點的坐標代入解析式即可求得反比例函數和一次函數解析式；②求出反比例函數和一次函數的另外一個交點即可；③分兩種情況：AE⊥x軸②EA⊥AC，分別寫出E的坐標即可．（2）①設第一次購書的單價為x元，根據第一次用1200元購書若干本，第二次購書時，每本書的批發價已比第一次提高了20%，他用1500元所購該書的數量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；②根據（1）先求出第一次和第二次購書數目，再根據賣書數目×（實際售價當次進價）求出二次賺的錢數，再分別相加即可得出答案．【詳解詳析】解：（1）①過點作軸于，的坐標為，的坐標為，，，，，解得：，經檢驗為原方程解；故，，反比例函數表達式為：，又點、在直線上，，解得：，一次函數的表達式為：；②由得：，解得：或，，；③分兩種情況：當軸時，即點與點重合，此時；當時，此時，則，，又的坐標為，．綜上所述，，．（2）①設第一次購書的單價為x元，根據題意得：，解得：x=5．經檢驗，x=5是原方程的解，答：第一次購書的進價是每本5元；②第一次購書為1200÷5=240（本），第二次購書為240+10=250（本），第一次盈利為240×（75）=480（元），第二次盈利為200×（75×1.2）+50×（7×0.45×1.2）=40（元），所以兩次共盈利480+40=520（元），答：該老板兩次售書總體上是盈利了，共盈利了520元．【名師指路】本題考查了反比例函數的綜合題，涉及了點的坐標的求法以及待定系數法求函數解析式的知識，同時考查了分式方程的應用，主要考查學生的計算能力和理解能力．27．接種疫苗是阻斷病毒傳播的有效途經，為了保障人民群眾的身體健康，我國目前正在開展新冠疫苗大規模接種工作．現有、兩個社區疫苗接種點，已知社區疫苗接種點每天接種的人數是社區疫苗接種點每天接種人數的1.2倍，社區疫苗接種點種完6000支疫苗的時間比社區疫苗接種點種完6000支疫苗的時間少1天．（1）求、兩個社區疫苗接種點每天各接種多少人？（2）一段時間后，社區接種點每天前來接種的人數比（1）中的人數減少了人，而社區疫苗接種點由于加大了宣傳力度，每天前來接種的人數增加到了（1）中社區疫苗接種點每天接種的人數，這樣社區接種點天與社區接種點天一共種完了69000支疫苗，求的值．【標準答案】（1）A社區疫苗接種點每天各接種1200人，B社區疫苗接種點每天各接種1000人；（2）m的值是10【思路指引】（1）設B社區疫苗接種點每天各接種x人，則A社區疫苗接種點每天各接種1.2x人，根據“A社區疫苗接種點種完6000支疫苗的時間比B社區疫苗接種點種完6000支疫苗的時間少1天”列出方程解答即可；

（2）根據“A社區接種點3m天與B社區接種點（m+20）天一共種完了69000支疫苗”列出方程解答即可．【詳解詳析】解：（1）設B社區疫苗接種點每天各接種x人，則A社區疫苗接種點每天各接種1.2x人，

根據題意，得：解得x=1000．

經檢驗x=1000是原方程的解，且符合題意．

所以1.2x=1200．

答：A社區疫苗接種點每天各接種1200人，B社區疫苗接種點每天各接種1000人；

（2）根據題意，得（120010m）?3m+1200（m+20）=69000，

整理，得m2160m+1500=0．

解得m1=150（舍去），m2=10，

答：m的值是10．【名師指路】本題主要考查了分式方程的應用和一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，列出方程并解答．28．某商場在一樓至二樓間安裝了一部自動扶梯，以勻速向上行駛甲、乙兩同學同時從扶梯上勻速走到二樓，且甲每分鐘走動的級數是乙的兩倍．已知甲走了24級到扶梯頂部，乙走了16級到扶梯頂部（甲、乙兩同學每次只跨一級臺階）．（1）扶梯露在外面的部分有多少級？（2）如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道，臺階數與扶梯級數相同，甲乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯，若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計，問甲第1次追上乙時是在扶梯上還是在樓梯上？他已經走動的級數是多少級？【標準答案】（1）扶梯露在外面的部分有48級；（2）在樓梯上，176級【思路指引】（1）如果扶梯露在外面的部分有x級，乙每分鐘走動的級數為a級，則甲每分鐘走動的級數為2a級，扶梯每分鐘向上運動b級．題中有兩個等量關系，甲走24級的時間等于扶梯走（2a＋b）級的時間；乙走16級的時間等于扶梯走（a＋b）級的時間，據此列出方程組，求出x的值即可；（2）如果設甲第一次追上乙時走過自動扶梯m遍，走過樓梯n遍，那么乙走過自動扶梯（m?1）遍、走過樓梯（n?1）遍．根據兩人所走的時間相等，列出方程．將（1）中求得的y與x的關系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知條件可知m、n中一定有一個是正整數，且0≤m?n≤1．通過試驗可以求出m，n的具體值，進而求出結果．【詳解詳析】解：（1）設扶梯露在外面的部分有x級，乙每分鐘走動的級數為a級，則甲每分鐘走動的級數為級，扶梯每分鐘向上運動級，由題意得：，①÷②得：，整理得：，代入②得．答：扶梯露在外面的部分有48級；（2）設追上乙時，甲扶梯走了遍，樓梯走了遍，則乙走扶梯遍，走樓梯遍．由題意得：，整理得：，這里，中必有一個是整數，且．①若為整數，則．∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合條件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）②若n為整數，，∴，，，…，這些均不符合要求，∴，此時，甲在樓梯上．∴（級）．【名師指路】本題考查分式方程在行程問題中的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．本題屬于競賽題型，有一定難度．難點在于自動扶梯在上升，具有一定的速度，同時甲、乙