24.4弧長和扇形面積（第1課時）（作業）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·全國·九年級課時練習）若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為（

）A． B．6 C．12 D．【答案】B【分析】根據弧長公式可以求得該扇形的半徑的長度．【詳解】解：根據弧長的公式，知=6，即該扇形的半徑為6．故選：B．【點睛】本題考查了弧長的計算．解題時，主要是根據弧長公式列出關于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值．2．（2022·全國·九年級課時練習）如果一弧長是其所在圓周長的，那么這條弧長所對的圓心角為（

）A．15度 B．16度 C．20度 D．24度【答案】C【分析】根據弧長公式和圓的周長公式的關系即可得出答案【詳解】解：∵一弧長是其所在圓周長的，∴∴∴這條弧長所對的圓心角為故選：C【點睛】本題考查了弧長的計算，掌握弧長公式是解題的關鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖是邊長為1的正方形組成的網格，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°，則頂點B所經過的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據勾股定理計算出BC=，頂點B所經過的路徑為弧，根據旋轉的性質得弧所對的圓心角為60°，然后根據弧長公式求解．【詳解】解：BC==，所以頂點B所經過的路徑長=．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了弧長公式．4．（2022·全國·九年級課時練習）已知扇形的半徑為6，圓心角為20°，則扇形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據扇形的面積公式即可得．【詳解】解：扇形的半徑為6，圓心角為，扇形的面積為，故選：D．【點睛】本題考查了扇形的面積，熟記公式是解題關鍵．5．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中點O為坐標原點、AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標系中，將△ABC繞點B順時針旋轉，使點A旋轉至y軸正半軸上的處，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝2，進一步求得旋轉角為60°，由即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝2AO＝2OB＝AC＝2，∵△ABC繞點B順時針旋轉，使點A旋轉至y軸正半軸上的處，∴△ABC≌，∴，∴，即sin，∴，∴，即旋轉角為60°，，故選：C【點睛】此題考查了扇形面積、旋轉的性質、等腰直角三角形的判定和性質、特殊角的三角函數等知識點，推導出是解題的關鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在扇形中，∠，，則陰影部分的面積是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用陰影部分的面積等于扇形面積減去的面積即可求解.【詳解】=故選D【點睛】本題主要考查扇形面積和三角形面積，掌握扇形面積公式是解題的關鍵.7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，正方形中，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可知，樹葉形圖案的面積是兩個圓心角為90°，且半徑為a的扇形的面積與正方形的面積的差，可據此求出樹葉形圖案的面積．【詳解】解：樹葉形圖案的面積為：．故選：B．【點睛】本題利用了扇形的面積公式，正方形的面積公式求解，得出樹葉形圖案的面積等于是解題的關鍵．8．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性質得出∠A的度數，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數，再利用弧長公式求出答案．【詳解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的長為：π．故選：B．【點睛】此題主要考查了弧長公式應用以及圓周角定理，正確得出∠BOC的度數是解題關鍵．9．（2022·全國·九年級課時練習）75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【分析】根據弧長公式計算即可．【詳解】解：∵75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，由弧長公式l，∴2.5π，解得：r＝6，故選：A．【點睛】本題考查了由弧長求半徑，熟練掌握和靈活運用弧長公式為解題的關鍵，弧長公式l．10．（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖，△ABC中，AB=2，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△AB1C1，AB1恰好經過點C．則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據旋轉的性質可知，由此可得，根據扇形面積公式即可得出結論．【詳解】由旋轉得：∠B1AB＝60°，∵，∴＝＝．故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質以及扇形的面積公式，解決本題的的關鍵根據旋轉的性質找出陰影部分的面積等于扇形的面積．11．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，若⊙O的半徑為，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接AD，連接OE，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，根據等腰三角形的性質得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：連接AD，連接OE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中點，∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∴∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，∵AO=4，∴OH=AO=2，∴AH=OH=6，∴AE=2AH=12，∴S陰影=S扇形AOES△AOE=．故選：A．【點睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當的輔助線，數形結合是解答此題的關鍵．二、填空題12．（2022·全國·九年級課時練習）已知扇形的半徑為，面積是，則扇形的弧長是___．【答案】##【分析】直接利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：由S扇=lr可得：=l×2．解得：l=．故答案為．【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，牢記扇形的面積公式S扇=lr是解答本題的關鍵．13．（2022·全國·九年級課時練習）一個扇形的弧長是3π，面積是12π，則此扇形的半徑是___________．【答案】8【分析】根據扇形的面積公式S扇形=lR即可得出答案．【詳解】解：∵S扇形=lR，∴R==8．故答案為：8．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，比較簡單，解答本題的關鍵是熟練掌握扇形面積的計算公式．14．（2022·全國·九年級課時練習）若一個扇形的弧長是，面積是，則扇形的圓心角是__________度．【答案】60【分析】根據扇形的面積公式求出半徑，然后根據弧長公式求出圓心角即可．【詳解】解：扇形的面積==6π，解得：r=6，又∵=2π，∴n=60．故答案為：60．【點睛】此題考查了扇形的面積和弧長公式，解題的關鍵是掌握運算方法．15．（2022·全國·九年級課時練習）在活動課上，“雄鷹組”用含30°角的直角三角尺設計風車．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，將直角三角尺繞點A逆時針旋轉得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，以此方法做下去……則B點通過一次旋轉至B′所經過的路徑長為_____．（結果保留π）【答案】【分析】根據題意，點B所經過的路徑是圓弧，根據直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，易知AB=4，結合旋轉的性質可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圓弧的長度即可．【詳解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，由旋轉的性質得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，∴B點通過一次旋轉至B′所經過的路徑長為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了直角三角形30°角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉的性質，以及圓弧的求法，熟練地掌握相關內容是解題的關鍵．16．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，則=__________；線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為__________．【答案】

##【分析】根據弧長公式可求得的長；根據圖形可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABCS扇形BCB′S△A′B′C，由旋轉的性質就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′S扇形BCB′求出其值即可．【詳解】解：∵△ABC繞點C旋轉120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的長為:2π；∵AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′+S△ABCS扇形BCB′S△A′B′C，∴AB掃過的圖形的面積=S扇形ACA′S扇形BCB′，∴AB掃過的圖形的面積=．故答案為：2π；．【點睛】本題考查了旋轉的性質的運用，全等三角形的性質的運用，弧長公式以及扇形的面積公式的運用，解答時根據旋轉的性質求解是關鍵．17．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，與軸相切，與軸相交于點，．（1）的半徑______；（2）扇形的面積為______．【答案】

2；

##【分析】作AF⊥BC，假設⊙A與x軸相切于E點，連接AE，做BD⊥AE，利用垂徑定理的內容得出BF=CF，進而得出AD與半徑的關系，從而得出△ABC為等邊三角形，然后計算半徑，再利用扇形面積公式求出即可．【詳解】解：作AF⊥BC，假設⊙A與x軸相切于E點，連接AE，BD⊥AE，假設AE=x，圖象與y軸相交于點B（0，1）、C（0，3），∴OB=DE=1，AD=x1，∵AC=AB，AF⊥BC，∴BF=CF=1，∴AD=BF=1=x1，解得：x=2，∴AB=BC=AC=2，△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴扇形BAC的面積=，故答案為：2；．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識，利用已知得出BF=AD是解決問題的關鍵．18．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，點A，B，C，在半徑為6的圓上，∠ACB=45°，則圖中陰影部分的面積為_________（結果保留）．【答案】9π18##18+9π【分析】根據圓周角定理求出∠BOA，根據扇形面積公式計算即可．【詳解】解：連接OA、OB，由圓周角定理得，∠BOA=2∠ACB=90°，∴△BOA為等腰直角三角形，則圖中陰影部分的面積=×6×6=9π18，故答案為：9π18．【點睛】本題考查的是扇形面積計算、圓周角定理，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．三、解答題19．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是邊AC上的點，以OC為半徑的圓分別交邊BC、AC于點D、E，過點D作DF⊥AB于點F．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的長．【答案】（1）詳見解析；（2）π．【分析】（1）連結OD，根據等腰三角形的性質得到OD∥AB，根據平行線的性質得到∠ODF＝90°，根據切線的判定定理證明；（2）根據平行線的性質得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根據弧長公式計算即可．【詳解】證明：如圖，連結OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD為半徑，∴直線DF是⊙O的切線；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的長為．【點睛】本題主要考查了切線的判定及弧長的計算，熟練掌握切線的判定定理及弧長的計算公式是解題的關鍵.20．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，點A，B，C在直徑為2的⊙O上，∠BAC＝45°．(1)求弧BC的長度；(2)求圖中陰影部分的面積．（結果中保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OB，OC．根據∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根據⊙O的直徑為2，可得OB＝OC＝1，即利用弧長公式即可求解答案；（2）根據∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根據OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面積和扇形OBC的面積，再根據S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．（1）如圖，連接OB，OC．∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴；（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面積為，∵，即S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．【點睛】本題考查了圓周角定理、弧長公式、扇形面積公式等知識，掌握圓周角定理證明出∠BOC＝90°是解答本題的關鍵．21．（2022·全國·九年級課時練習）如圖所示，有一直徑為的圓形紙片，要從中剪去一個最大的圓心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的陰影部分的面積；(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）連結BC，根據∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根據，即可求解；（2）設圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，從而得到，即可求解．（1）解：如圖，連結BC，∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：設圓錐底面半徑為r，則的長為2πr，∴，∴．【點睛】本題主要考查了求扇形面積，圓錐的底面半徑，勾股定理，熟練掌握扇形面積公式，勾股定理是解題的關鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，從一張腰長為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側面（不計損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【分析】作出等腰三角形底邊上的高線OE，首先根據直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出等腰三角形底邊上的高線OE的長度，即得到扇形OCD所在的圓的半徑R，然后根據弧長公式求出的長度，的長度即為圓錐底面圓的周長，最后根據周長求出半徑即可．【詳解】如圖，過點O作OE⊥AB，垂足為E，∵△OAB為頂角為120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，設圓錐的底面圓半徑為rcm，根據題意得，，解得，所以該圓錐的底面圓的半徑為15cm，故選A．【點睛】本題考查了直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半、扇形的弧長公式、圓的周長公式，準確將扇形的弧長轉化為底面圓的周長是解決本題的關鍵．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，扇形OBA中，點C在弧AB上，連接BC，P為BC中點．若，，則點C沿弧從點B運動到點A的過程中，點P所經過的路徑長為（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】連接OC、OP，易得∠OPB=90°，點P是在以OB的中點D為圓心，BD為半徑的圓上運動，求即可．【詳解】連接OC、OP，∵OB=OC，∴△BOC為等腰三角形，∵P為BC中點，∴OP⊥BC（三線合一），即∠OPB=90°，∴點P是在以OB的中點D為圓心，BD為半徑的圓上運動，如圖所示，當點C運動到點A時，點P到達位置，點P所經過的路徑長為，連接，∵D為OB中點，為AB中點，∴∥OA，∴=，BD=OA=3，∴，即點P所經過的路徑長為，故選：B．【點睛】本題考查動點的運動軌跡問題，根據定弦定角確定圓的所在位置，以及等腰三角形的性質、中位線的性質、弧長公式，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖．將扇形翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CO，且直線l與AO交于點D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面積，再算出的面積，即可求出陰影部分面積．【詳解】連接CO，且直線l與AO交于點D，如圖所示，∵扇形中，，∴，∵點A與圓心O重合，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∵，，∴，故選：B．【點睛】此題考查求不規則圖形的面積，扇形面積公式，添加輔助線是本題的關鍵．4．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，AC為對角線，，，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點M，交BC于點N，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BM，過M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等邊三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：連接BM，過M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等邊三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S陰=S△BCMS扇形BMN==，故選：A．【點睛】本題考查扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質，扇形的面積公式等知識，明確S陰=S△BCMS扇形BMN是解題的關鍵．5．（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據S陰影=S扇形AODS扇形BOC求解即可．【詳解】解：S陰影=S扇形AODS扇形BOC====2.25π（m2）故選：D．【點睛】本題考查扇形面積，不規則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖是一張圓心為O，半徑為4cm的圓形紙片，沿弦AC所在直線折疊，使得經過點O，將紙片展平后，作半徑，則圖中陰影部分的面積等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作OD⊥AC交圓于點D、交AC于點E，根據垂徑定理，OD平分和，又因為AC是對折線，所以OD與AC互相垂直平分，所以ODCO組成的圖形面積是與組成的圖形面積的一半，也就等于ADCEA組成圖形面積，此部分面積可用扇形OAC的面積減去△OAC面積求出，再用求出的面積減去扇形ODB的面積即得陰影部分面積．【詳解】作OD⊥AC交圓于點D，交AC于點E，連接OC，如圖，∴OD垂直平分弦AC，平分和，∵AC是向圓內的折線，且弦AC折疊后經過點O，∴點O是點D關于AC的對稱點，即OD與AC互相垂直平分，∴OE=DE=OD設與弦AC構成的圖形面積為SADC，與構成的圖形面積為SADCO，與和線段OD構成的圖形面積為SODC，則SADC=SADCO，SODC=SADCO，∴SODC=SADC，∵OD、OA都是圓O的半徑，半徑為4cm，∴OE=OD=OA=，∴∠OAE=30°，∴∠AOE=90°30°=60°，∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，∴S扇形OAC==(cm2)，∵AC=2AE=cm，∴S△OAC=(cm2)，∴SADC=S扇形OACS△OAC=（）(cm2)，∴SODC=（）(cm2)，∵OB⊥OA，∠AOE=60°，∴∠BOD=∠AOB∠AOE=90°60°=30°，∴S扇形OBD=(cm2)，∴S陰影=SODCS扇形OBD==（）(cm2)，故選A．【點睛】本題考查了求扇形和弓形面積、垂徑定理、折疊問題及三角形的知識，解題的關鍵是要能通過對稱看出SODC=SADC=SADCO，以及S陰影=SODCS扇形OBD，再分別求出各部分面積就能求解．7．（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖，邊長為的正方形內接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正方形的性質以及切線的性質，求得的長，勾股定理求得的長，進而根據即可求解．【詳解】如圖，連接,，邊長為的正方形內接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點和點，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點睛】本題考查了圓的切線的性質，正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．二、填空題8．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若，AB＝4，則的長度為_____．【答案】【分析】由同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等可得，因此．結合AB是的直徑，可得所對的圓心角的度數．再利用弧長公式計算的長即可．【詳解】∵、、、所在的圓是等圓又∵、、所對的圓周角都是∴==

又∵=∴===

又∵+++=∴=∴又∵AB是的直徑∴所對的圓心角為

∴的長=故答案為【點睛】本題主要考查了圓周角定理，弧長的計算，翻折變換．求所對的圓心角的度數是解題的關鍵．9．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在扇形ODE中，，，是扇形的內接三角形，其中A、B、C分別在弧DE和半徑OE、OD上，，，則線段AC的最小值為______．【答案】【分析】取BC的中點M，連接AM，OM，AO．AM+OM≥OA，當且僅當A、M、O三點共線時等號成立，這樣問題迎刃而解．【詳解】解：取BC的中點M，連接AM，OM，AO．∵AC：BC=3：8，∴可以假設AC=3k，BC=8k，則CM=BM=4k，∵∠ACB=∠COB=90°，∴∵AM+OM≥OA，∴5k+4k≥5，∴k≥，∴k的最小值為，∴AC的最小值為，故答案為．【點睛】本題是屬于動點問題，難點是A、B、C三點都是動點，關鍵是找出與AC關聯的兩條線段OM、AM，通過添三條輔助線，將問題轉化到一個斜三角形中，這是一般學生很難想到的．在圖中，學生可能還會想到斜三角形AOC，但是OC與AC不關聯，問題也會陷入困境，因此構造合適的斜三角形至關重要．10．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點M，N分別從點A，C同時出發，以相同的速度分別沿AB，CD向終點B，D移動，當點M到達點B時，運動停止．過點B作直線MN的垂線BG，垂足為點G，則G點運動的路徑長為_______cm【答案】【分析】連接BD，AC相交于O，在運動過程中，，得到點G的軌跡為以OB為直徑的半圓，G點軌跡長度等于半圓弧長，即可算出．【詳解】解：連接BD，AC相交于O在運動過程中，故點G的軌跡為以OB為直徑的半圓G點軌跡長度等于半圓弧長，即：故答案為：．【點睛】本題考查動點問題，得到G點軌跡是以OB為直徑的半圓是解題關鍵．11．（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖，的半徑為2cm，正六邊形內接于，則圖中陰影部分面積為______．【答案】【分析】如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，證明△OBC的面積=△ABC的面積，可得圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，再利用扇形的面積公式進行計算即可．【詳解】解：如圖，連接BO，CO，OA．由題意得，△OBC，△AOB都是等邊三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴，∴△OBC的面積=△ABC的面積，∴圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積=．故答案為：【點睛】本題考查正多邊形與圓、扇形的面積公式、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的扇形思考問題，屬于中考常考題型．12．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，邊長為4的正方形ABCD的對角線交于點O，以OC為半徑的扇形的圓心角．則圖中陰影部分面積是_____．【答案】【分析】證明△OCG≌△OBE，經過觀察易得出結論：陰影部分面積=扇形面積正方形面積的．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圓心角，∴∠BOC∠COE=∠FOH∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG，OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形邊長為4，∴AC=，∴OC=∵，===故答案為：【點睛】本題主要考查了正方形的性質，三角形的全等以及扇形面積的計算；掌握正方形的性質，熟練地進行三角形全等的判定，將不規則圖形的面積轉化為常見圖形的面積是解題的關鍵．13．（2022·江蘇·九年級課時練習）如圖，，，，把繞點O順時針旋轉60°得，則AB掃過的面積（圖中陰影部分）為________．【答案】【分析】根據勾股定理得到OA，然后根據扇形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：連接OA、OC，∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==2，∵AB掃過的面積=S扇形OAC+S△CODS△AOBS扇形OBD，∵S△COD=S△AOB∴邊AB掃過的面積=S扇形OACS扇形OBD==故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，勾股定理，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關鍵．14．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在中，，，，將三角形繞點按逆時針方向旋轉（）后得到三角形，點經過的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積是_________．【答案】【分析】把△ADE順時針方向旋轉60°到△ABC，要求的陰影部分的面積就是邊長為5，角為60°的扇形面積．【詳解】圓形面積==25π扇形的面積==【點睛】此題考查了求陰影部分的面積，解題關鍵是把陰影的面積變成求扇形的面積．15．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，若，CB＝2，則陰影部分的面積是______．【答案】【分析】連接OC，設CD與AB的交點為E，利用垂徑定理、勾股定理判定△OBC是等邊三角形，運用扇形的面積減去△OBC的面積即可．【詳解】連接OC，設CD與AB的交點為E，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，，CB＝2，∴，，∴∠ECB=30°，∠CBE=60°，∵CO=BO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=2，∴=，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握垂徑定理，扇形的面積公式是解題的關鍵．16．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，等腰中，，以A為圓心，以AB為半徑作﹔以BC為直徑作．則圖中陰影部分的面積是______．（結果保留）【答案】【分析】由圖可知：陰影部分的面積＝半圓CAB的面積△ABC的面積+扇形ABC的面積△ABC的面積，可根據各自的面積計算方法求出面積即可．【詳解】解：∵等腰中，∴BC=2∴S扇形ACB，S半圓CABπ×（1）2，S△ABC=1；所以陰影部分的面積＝S半圓CABS△ABC+S扇形ACBS△ABC．故答案是：．【點睛】本題主要考查了扇形和三角形的面積計算方法．不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差．三、解答題17．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC內接于⊙O，交⊙O于點D，交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．(1)求證：AC＝AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結論；（2）連接OA，OC,根據等腰三角形的性質求出，由圓周角定理可得最后由弧長公式可求出結論．（1）∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，圓周角定理、等腰三角形的性質、弧長公式等知識，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．18．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在⊙O中，AB是直徑，半徑為R，弧AC=R.求：（1）∠AOC的度數.（2）若D為劣弧BC上的一動點，且弦AD與半徑OC交于E點.試探求△AEC≌△DEO時，D點的位置.【答案】(1)∠AOC=60°；(2)D的位置，只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點其中一條.【分析】（1）根據弧AC=R和弧長公式，即可求得弧所對的圓心角的度數；（2）根據全等三角形的性質得到對應角相等，再根據內錯角相等，兩條直線平行，即可得到AC∥OD，或者結合（1）的結論發現等邊三角形AOC，從而證明點D只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點即可．【詳解】解：（1）設∠AOC=n°,∵AC=R，∴R，∴n=60°,∴∠AOC=60°；（2）∵∠AOC=60°,OA=OC,∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO=∠AOC=60°.∵△AEC≌△DEO，∴∠CAO=∠DOB=∠C=60°，∴AC∥OD,∴∠BOD=∠CAO=60°,∠COD=∠C=60°,∴D是劣弧BC的中點，∴D的位置，只要滿足∠DOB=60°，或AC∥OD或劣弧BC的中點即可．【點睛】本題考查了弧長的計算公式，熟記弧長計算公式是解答本題的關鍵，如果扇形的圓心角是no，扇形的半徑是R，則扇形的弧長l的計算公式為：.本題也考查了等邊三角形的判定與性質，平行線的判定與性質.19．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，邊長為的等邊△ABC內接于⊙O，D為劣弧上一點，過點B作BE⊥OD于點E，當點D從點B沿劣弧運動到點C時，求點E經過的路徑長．【答案】【分析】如圖，以OB為直徑畫⊙K交AB于T，連接TK，圖中的