08最值問題1．如圖，點P是的平分線上一點，于點E，點F為射線上一點．若，則長的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】解：∵點到直線垂線段最短，∴時長有最小值，∵點P是的平分線上一點，于點E，，∴時,故選：C．2．如圖：等腰的底邊長為，面積是，腰的垂直平分線分別交，邊于，點．若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，．是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點關于直線的對稱點為點，，，的長為的最小值，的周長的最小值為．故選：C．3．如圖，等邊三角形的邊長為2，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】解：連接交于點，，，共線，過點作直線，，與關于直線對稱，，，，，，，，關于直線對稱，當點與重合時，的值最小，最小值為線段的長，故選：B．4．如圖，中，，垂直平分，點為直線上一動點，則的最小值為（

）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】解：∵垂直平分，∴關于對稱，設交于，∴當和重合時，的值最小，最小值等于的長，的最小值是5.故選：B．5．如圖，在中，，，是的中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【詳解】解：垂直平分，，，當，，在同一直線上時，，即的長度的最小值，的最小值為12，故選：．6．如圖，在中，，，垂足為，點，分別為，上的動點，且，，則的最小值是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【詳解】解：過作于，交于，連接，則最小根據兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短，，，和關于直線對稱，，即，

∵，，∴，即，故選：B．7．如圖，在中，，，是的平分線，．若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】A【詳解】解：過點B作于點Q，交于點P，如圖所示：，是的平分線，，垂直平分，，要使取最小值，則當時，為最小值，，又，，，故選：A．8．如圖，在等邊中，為中點，點，分別為，上的點，，，在上有一動點，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【詳解】解：是等邊三角形，，∵在等邊三角形中，D為AC的中點，∴BD為的中線，，，，，如圖，作點關于的對稱點Q'，連接PQ'交于，連接，此時的值最小，最小值EQ'=PQ'，，，DQ'=2，∴CQ'=，=AQ'=7，，是等邊三角形，∴PQ'=，的最小值為7，故選：A．9．如圖，過邊長為2的等邊的頂點C作直線，然后作關于直線l對稱的，P為線段上一動點，連接，，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】解：如圖，連接，∵與關于直線l對稱，∴，∴，，∴，在和中，，，，∴，∴，∴，由兩點之間線段最短可知，當點P與點C重合，即點B，P，共線時，取得最小值，最小值為，即的最小值為4．故選：A．10．如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，作N關于的對稱點，連結，與交于點O，過C作于E，∵平分∴在上，且∴，∴根據兩點之間線段最短可得的最小值為，即C點到線段某點的連線，∴根據垂線段最短，的最小值為C點到的垂線段的長度，∵的面積為10∴∴故選B．11．如圖，在中，，是的中點，垂直平分，點是直線上一個動點，連接，．若，，則的最小值是（

）A．12 B．13 C．15 D．20【答案】B【詳解】解：連接，垂直平分，，，當、、三點在同一直線上，最短，最短距離為長．，，，即的最小值是13，故選：B．12．如圖，中，，，，平分，如果、分別為、上的動點，那么的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4 D．4.8【答案】A【詳解】過點作于，交于點，過點作于點，∵平分，∴，∴，∵中，，，，，，∵，∴，∴，即的最小值是故選A．13．如圖，在等腰中，，平分，平分，M、N分別為射線、上的動點，若，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．10【答案】C【詳解】過點C作，交的延長線于點F，則的最小值為，延長兩線交于點G，∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴的最小值為5，故選D．14．如圖，在中，，，，、、分別是邊、、上的動點，連接、、，則的最小值是______．【答案】【詳解】在中，∵，∴∵∴當點、與點重合，且點運動至時，值最小．∴∵∴∴．故答案為：．15．如圖，點為內部一定點，點、分別為邊、上動點，當周長最小值等于時，則_______．【答案】【詳解】如圖，作關于，的對稱點，連接．則當是與的交點時，的周長等于．又∴當周長最小值等于時，是等邊三角形，∴，根據對稱性可知故答案為：16．如圖，是等邊三角形，，在邊上，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接、，則的周長最小值是_____________．【答案】【詳解】解：∵線段繞點順時針旋轉得到線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周長為，∴當最小時，的周長最小，當，時，最小，過作于，∴，∴，∴的最小值為，∴的周長最小值是．故答案為：．17．如圖，等邊三角形中，是邊上的中線，F是邊上的動點，E是邊的中點．當的周長取得最小值時，的度數為________°．【答案】60【詳解】解：過E作，交于N，連接交于F，連接，∴，∵是等邊三角形，E是邊的中點．∴，∴，為等邊三角形，∴，∴，∵是邊上的中線，是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴E和M關于對稱，則此時的值最小，的周長最小，∵是等邊三角形，∴，∵，

∴，，∴由軸對稱的性質可得：，∴，故答案為：18．如圖，在等邊中，平分，為上一動點，為的中點，連接、，且的最小值為，則______．【答案】13【詳解】解：如圖，連接，，首先根據等邊三角形的性質得到垂直平分，然后根據垂直平分線的性質得到當點，，在一條直線上時，取值最小，最后根據等邊三角形的性質求解即可．∵是等邊三角形中的平分線，∴垂直平分，∴，∴，由兩點間線段距離最短可知，當點，，在一條直線上時，取值最小，最小值為，∵為等邊三角形，為的中點，∴．故答案為：13．19．如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是12，腰的垂直平分線分別交，邊于F，E點．若點D為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為______．【答案】8【詳解】解：連接，，∵腰的垂直平分線分別交，邊于F，E點∴∴的周長為∴周長的最小值為∵等腰三角形，點D為邊的中點∴，∵，即∴解得∴周長的最小值為．故答案為：8．20．有一個四邊形場地，則的最大值為_____．【答案】25【詳解】解：以為邊向外作等邊三角形，連接，如圖所示：則，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；當C、B、E三點共線時，最大，∴的最大值為25，故答案為：25．21．如圖，長方形中，，，E為邊上的動點，F為的中點，連接、，則的最小值為_____．【答案】15【詳解】作F關于的對稱點，連接，交于點E，則的長即為的最小值．【分析】解：作F關于的對稱點，連接，交于點E，則的長即為的最小值．∵長方形中，，F為的中點，∴，∴，∴，即的最小值為15．故答案為：15．22．如圖，在中，，，點是邊上的一個動點，連接，以為邊作，使，為的中點，連接，則線段的最小值為______．【答案】2【詳解】解：如圖，取中點，連接，，，點是中點，點是中點，∴，，，∴，∴，，，，在和中，，≌，∴，有最小值，也有最小值，當時，有最小值，，，，∴，線段的最小值為．故答案為：．23．如圖，中，，，，點在上，將沿折疊，點落在點處，與相交于點，則的最大值為________．【答案】【詳解】解：在中，，，，，，，當最小時，最大，當時最小，又，解得，的最小值為，的最大值為，故答案為：．24．如圖，在中，，，，，是的平分線．若，分別是和上的動點，則的最小值是________．【答案】【詳解】解：如圖，過點作，交于點，交于點，過點作于點，∵是的平分線，∴，則此時有最小值，最小值為的長，∵，，，，又∵，∴，∴的最小值是．故答案為：25．如圖，邊長為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個動點，連接，將線段繞點B逆時針旋轉得到，連接．則在點M運動過程中，線段長度的最小值是______．【答案】【詳解】解：如圖，取的中點G，連接，∵線段繞點逆時針旋轉得到，∴，又∵是等邊三角形，∴，即，∴，∵是等邊三角形的高，∴，∴，又∵旋轉到，∴，在和中，，∴（），∴，根據垂線段最短，當時，最短，即最短，此時，∴，∴，∴．∴線段長度的最小值是．故答案為：．26．如圖，將沿折疊，使頂點C恰好落在邊上的點M處，點D在上，點P在線段上移動，若，則周長的最小值為________．【答案】【詳解】解：如圖，連接，由翻折的性質可知，，垂直平分，∴，∵，，∴，，∴M點為上一個固定點，則長度固定，∴，∵周長，∴要使得周長最小，即使得最小，∵，∴滿足最小即可，當P、B、C三點共線時，滿足最小，此時，P點與D點重合，，∴周長最小值即為故答案為：12．27．如圖，在中，，，，點分別在邊上，且，則的最小值為__________．【答案】【詳解】解：過點作，截取，連接，過作，交的延長線于，則，∴，在和中，，∴，∴，∴的最小值，即為的長，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．28．如圖，A、B兩點在直線外的同側，A到的距離，B到的距離，點P在直線上運動，則的最大值等于___________．【答案】10【詳解】解：如圖，延長交于點，過點B作，∵，∴當點P運動到點時，最大，即為的長．∵，∴，∴，∴的最大值等于10．故答案為：10．29．如圖，在中，，．的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，當周長的最小值為7時，此時的面積是_____．【答案】10【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴A與B關于對稱，連接，交于點P，∵，∴，當A、P、F三點共線時，周長最小，∵周長的最小值為7，∴，∵F為邊的中點，，，∴，，∴，∴．故答案為：10．30．如圖，等腰的直角邊長為4，D、E分別為邊上兩個動點，且，則的最小值__________【答案】【詳解】解：由題意可得如圖所示：過點A作，且，連接，如圖所示，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當為最小時，即為最小，∴當點C、D、H三點共線時即為最小，連接，交于點M，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴∴CD+BE的最小值為；故答案為∶．31．(1)如圖，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距200米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），，，垂足分別為A，B，米，米，現在菜農要在上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短．請在圖中作出點P，保留作圖痕跡，并求出的最小值．(2)借助上面的思考過程，請直接寫出當時，代數式的最小值＝_____．【答案】(1)250米；(2)17【詳解】（1）作點C關于的對稱點F，連接交于點P，連接，點P即為所求；作交的延長線于E．在中，∵米，米，∴（米），∴的最小值為250米；（2）先作出點C關于的對稱點F，連接，作交的延長線于E．使，，，DF的長就是代數的最小值，∵∴代數式的最小值為17．故答案為：17．32．在中，，，，的中垂線交于D，交于點E．(1)如圖1，連接，請求出的長；(2)如圖2，延長交的延長線于點F，連接，請求出的長；(3)如圖3，點P為直線上一動點，點Q為直線上一動點，則的最小值為．【答案】(1)；(2)5；(3)【詳解】（1）∵是的中垂線，∴，設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即（2）∵是的中垂線，∴，設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長為5；（3）的最小值為理由：連接，過B作于M，交直線于，過作于，如圖3所示：∵是的中垂線，∴，∴，∵，，∴，則點M與關于對稱，此時，即的值最小＝，由（2）得，，∴，∵，∴的面積，∴即的最小值為故答案為：．33．如圖，在中，，的垂直平分線交于N，交于M，連接．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線與交于點D，與交于點E；(2)在（1）的條件下，若，求的度數；(3)若，，在直線上是否存在點P，使由P，B，C構成的的周長值最小？若存在，標出點P的位置并求的周長最小值；若不存在，說明理由．【答案】(1)見解析；(2)；(3)存在；的周長的最小值為14cm【詳解】（1）解：即為所求作的角平分線，如圖所示：（2）解：∵，，∴，∴，∵垂直平分，，∴，∵平分，∴，∴．（3）解：存在；的周長的最小值為14cm．∵垂直平分，，∴當點P與點M重合時，的周長最小，∵，，的周長的最小值為：．34．如圖，在中，，的垂直平分線與，分別相交于點E，D，連接．(1)若，則的度數為______；(2)若，的周長為14．①求的長；②在直線上是否存在點P