湖南省長沙市鐵路第一中學2025屆高一數學第一學期期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）A. B.-C.2 D.2．若，則的可能值為（）A.0 B.0，1C.0，2 D.0，1，23．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.4．與終邊相同的角是A. B.C. D.5．設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6．函數的圖象大致是（）A. B.C. D.7．計算A.-2 B.-1C.0 D.18．如圖，一個半徑為3m的筒車按逆時針方向每分轉1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2.2m，設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數），若從盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t（單位：s）之間的關系為，則其中A，，K的值分別為（）A.6，，2.2 B.6，，2.2C.3，，2.2 D.3，，2.29．已知函數（其中為自然對數的底數，…），若實數滿足，則（）A. B.C. D.10．已知向量，則銳角等于A.30° B.45°C.60° D.75°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知（其中且為常數）有兩個零點，則實數的取值范圍是___________.12．在ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為AH的中點，若，則λ+μ=_________13．已知，則________14．已知函數，則的值等于______15．已知命題“，”是真命題，則實數的取值范圍為__________16．不等式tanx+三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量、、是同一平面內的三個向量，且.（1）若，且，求；（2）若，且與互相垂直，求.18．已知函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]時有最大值2，求a的值19．已知函數.（1）若函數在上至少有一個零點，求的取值范圍；（2）若函數在上的最大值為3，求的值.20．函數的最小值為.（1）求；（2）若，求a及此時的最大值.21．已知奇函數和偶函數滿足（1）求和的解析式；（2）存在，，使得成立，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角【詳解】解：如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角設，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角2、C【解析】根據，分，，討論求解.【詳解】因為，當時，集合為，不成立；當時，集合為，成立；當時，則（舍去）或，當時，集合為故選：C3、D【解析】與中間值1和2比較．【詳解】，，，所以故選：D.【點睛】本題考查冪與對數的大小比較，在比較對數和冪的大小時，能化為同底數的化為同底數，再利用函數的單調性比較，否則可借助中間值比較，如0，1，2等等．4、D【解析】與終邊相同的角是.當1時，故選D5、B【解析】分別求出兩個不等式的的取值范圍，根據的取值范圍判斷充分必要性.【詳解】等價于，解得：；等價于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B6、B【解析】根據函數的奇偶性和正負性，運用排除法進行判斷即可.【詳解】因為，所以函數是偶函數，其圖象關于縱軸對稱，故排除C、D兩個選項；顯然，故排除A，故選：B7、C【解析】.故選C.8、D【解析】根據實際含義分別求的值即可.【詳解】振幅即為半徑，即；因為逆時針方向每分轉1.5圈，所以；；故選：D.9、B【解析】化簡得到，得到，進而得到，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，可得，即，因為，所以.故選：B.10、B【解析】因為向量共線，則有，得,銳角等于45°，選B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】設，可轉化為有兩個正解，進而可得參數范圍.【詳解】設，由有兩個零點，即方程有兩個正解，所以，解得，即，故答案為：.12、##0.5【解析】根據題意，用表示出與，求出λ、μ的值即可【詳解】設，則=（1﹣k）+k=，∴故答案為：13、【解析】利用和的齊次分式，表示為表示的式子，即可求解.【詳解】.故答案為：14、2【解析】由分段函數可得，從而可得出答案.【詳解】解：由，得.故答案為：2.15、【解析】此題實質上是二次不等式的恒成立問題，因為，函數的圖象拋物線開口向上，所以只要判別式不大于0即可【詳解】解：因為命題“，”是真命題，所以不等式在上恒成立由函數的圖象是一條開口向上的拋物線可知，判別式即解得所以實數的取值范圍是故答案為：【點睛】本題主要考查全稱命題或存在性命題的真假及應用，解題要注意的范圍，如果，一定要注意數形結合；還應注意條件改為假命題，有時考慮它的否定是真命題，求出的范圍．本題是一道基礎題16、kπ,π4【解析】根據正切函數性質求解、【詳解】由正切函數性質，由tanx+π4≥1得所以kπ≤x<kπ+π4，故答案為：[kπ,kπ+π4三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2），【解析】（1）先設，根據題意有求解.（2）根據，，得，，然后根據與互相垂直求解.【詳解】（1）設，依題意得，解得或，即或.（2）因為，，因為與互相垂直，所以，即，所以，，解得或.【點睛】本題主要考查平面向量的向量表示和運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、a＝－1或a＝2【解析】函數的對稱軸是，根據與區間的關系分類討論得最大值，由最大值求得【詳解】函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對稱軸方程為x＝a（1）當a<0時，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1（2）當0≤a≤1時，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝(舍去)（3）當a>1時，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2綜上可知，a＝－1或a＝2【點睛】關鍵點點睛：本題考查二次函數最值問題．二次函數在區間最值問題，一般需要分類討論，分類標準是對稱軸與區間的關系，如果，求最小值時分三類：，，，求最大值只要分兩類：和，類似分類19、(1)；（2）或.【解析】（1）由函數在至少有一個零點，方程至少有一個實數根，，解出即可；（2）通過對區間端點與對稱軸頂點的橫坐標的大小比較，再利用二次函數的單調性即可得出函數在上的最大值，令其等于可得結果.試題解析：（1）由.（2）化簡得，當，即時，；當，即時，，，（舍）；當，即時，，綜上，或.20、（1）（2），的最大值5【解析】（1）通過配方得，再通過對范圍的討論，利用二次函數的單調性即可求得；（2）由于，對分與進行討論，即可求得的值及的最大值【小問1詳解】∵，∴，且，∴若，即，當時，；若，即，當時，；若，即，當時，.綜上所述，.【小問2詳解】∵，∴若，則有，得，與矛盾；若，則有，即，解得或（舍），∴時，，即，∵，∴當時，取得最大值5.21、（1），（2）【解析】（1）利用奇偶性得到方程組，求解和的解析式；（2）在第一問的基礎上，問題轉化為在上有