江蘇省泰安市長城中學2025屆高二上數學期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某機構通過抽樣調查，利用列聯表和統計量研究患肺病是否與吸煙有關，計算得，經查對臨界值表知，，現給出四個結論，其中正確的是（）A.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關"B.因為，故有95%把握認為“患肺病與吸煙有關”C.因為，故有90%的把握認為“患肺病與吸煙無關”D.因為，故有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關”2．已知是和的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.或2C. D.或3．在中，內角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.4．已知的展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.75．直線在y軸上的截距為（）A. B.C. D.6．在中，內角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.7．設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．中國歷法推測遵循以測為輔，以算為主的原則.例如《周髀算經》里對二十四節氣的晷影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節氣的晷影長則是按照等差數列的規律計算得出的.二十四節氣中，從冬至到夏至的十三個節氣依次為：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至.已知《周髀算經》中記錄某年的冬至的晷影長為13尺，夏至的晷影長是1.48尺，按照上述規律，那么《周髀算經》中所記錄的立夏的晷影長應為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺9．甲乙兩個雷達獨立工作，它們發現飛行目標的概率分別是0.9和0.8，飛行目標被雷達發現的概率為（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.9810．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數分別為和，標準差分別為和，則（）AB.C.D.11．若數列的前項和，則此數列是（）A.等差數列 B.等比數列C.等差數列或等比數列 D.以上說法均不對12．設等差數列，前n項和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若是等腰三角形，且，則的面積為___________.14．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，P是其一條漸近線上的一點，且以為直徑的圓經過點P，則的面積為___________.15．牛頓迭代法又稱牛頓－拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設r是函數y＝f(x)的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，作曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線l1，設l1與x軸交點的橫坐標為x1，并稱x1為r的1次近似值；作曲線y＝f(x)在點(x1，f(x1))處的切線l2，設l2與x軸交點的橫坐標為x2，并稱x2為r的2次近似值．一般的，作曲線y＝f(x)在點(xn，f(xn))(n∈N)處的切線ln＋1，記ln＋1與x軸交點的橫坐標為xn＋1，并稱xn＋1為r的n＋1次近似值．設f(x)＝x3＋x－1的零點為r，取x0＝0，則r的2次近似值為________16．拋物線C：的焦點F，其準線過（-3，3），過焦點F傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則p=___________；弦AB的長為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）若在上單調遞減，求實數a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實數根，證明：18．（12分）已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值19．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結論.20．（12分）設正項數列的前項和為，已知，（1）求數列的通項公式；（2）數列滿足，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍21．（12分）如圖，正三棱柱的側棱長為，底面邊長為，點為的中點，點在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值22．（10分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數據，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據給定條件利用獨立性檢驗的知識直接判斷作答.【詳解】因，且，由臨界值表知，，，所以有90%的把握認為“患肺病與吸煙有關”，則A正確，C不正確；.因臨界值3.841>3.305，則不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關”，也不能確定有95%的把握認為“患肺病與吸煙無關”，即B，D都不正確.故選：A2、B【解析】由等比中項的性質可得，分別計算曲線的離心率.【詳解】由是和的等比中項，可得，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的橢圓，離心率，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.3、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.4、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項系數的和以及二項式系數的和，利用比值為，列出關于的方程，解方程.【詳解】二項式的各項系數的和為，二項式的各項二項式系數的和為，因為各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，所以，.故選：C.5、D【解析】將代入直線方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線在y軸上的截距為.故選：D6、A【解析】因為，那么結合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題.7、B【解析】求出不等式的等價形式，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】由得或，由得，因為或推不出，但能推出或成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B8、B【解析】根據等差數列定義求得公差，再求解立夏的晷影長在數列中所對應的項即可【詳解】設從冬至到夏至的十三個節氣依次為等差數列的前13項，則所以公差為，則立夏的晷影長應為(尺)故選：B9、D【解析】利用對立事件的概率求法求飛行目標被雷達發現的概率.【詳解】由題設，飛行目標不被甲、乙發現的概率分別為、，所以飛行目標被雷達發現的概率為.故選：D10、B【解析】直接根據圖表得到答案.【詳解】根據圖表：樣本數據均小于等于10，樣本數據均大于等于10，故；樣本數據波動大于樣本數據，故.故選：B.11、D【解析】利用數列通項與前n項和的關系和等差數列及等比數列的定義判斷.【詳解】當時，，當時，，當時，，所以是等差數列；當時，為非等差數列，非等比數列’當時，，所以是等比數列，故選：D12、B【解析】根據等差數列的性質和求和公式變形求解即可【詳解】因為等差數列，的前n項和分別是，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意可知，，再結合，即可求出各邊，從而求出的面積【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為故答案為：14、【解析】先得出漸近線方程和圓的方程，然后解出點P的縱坐標，進而求出面積.【詳解】由題意，漸近線方程為：，，圓的方程為：，聯立：，所以.故答案為：.15、##【解析】利用導數的幾何意義根據r的2次近似值的定義求解即可【詳解】由，得，取，，所以過點作曲線的切線的斜率為1，所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標為1，即，因為，所以過點作曲線的切線的斜率為4，所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標為，即，故答案為：16、①.6；②.48.【解析】先通過準線求出p，寫出拋物線方程和直線方程，聯立得出，進而求出弦AB的長.【詳解】由知準線方程為，又準線過（-3，3），可得，；焦點坐標為，故直線方程為，和拋物線方程聯立，，得，故，又.故答案為：6；48.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數的導數，結合函數的導數與函數單調性的關系，參變分離后，轉化為求函數的最值，即可求得實數的取值范圍；（2）將方程的實數根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉化為證明，通過換元，構造函數，轉化為利用導數證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調遞減，在上恒成立，即，即在，設，，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以函數的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實數根，即又2個不同實數根，且，，得，即，所以，不妨設，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數，所以，所以函數在上單調遞減，當時，，所以，，所以，即，即得【點睛】本題考查利用導數的單調性求參數的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導數中的雙變量問題，往往采用分析法，轉化為函數與不等式的關系，通過構造函數，結合函數的導數，即可證明.18、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設直線方程后與橢圓方程聯立，由韋達定理表示弦長，將面積轉化為函數后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設的方程為，聯立方程得，設，，則由根與系數關系有，所以，根據橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數性質可知：當且僅當，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．19、（1）；（2）詳見解析【解析】設正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點F，使.事實上，如圖所示，分別取和CD的中點F，G，連結.因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F，G分別為和CD的中點，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用的關系求的通項公式；（2）由（1）得，應用錯位相減法求，根據不等式，討論n的奇偶性求參數范圍即可.【小問1詳解】由題設，當時，則，整理得，，則，當時，，又得：，故，所以數列是首項、公差均為2的等差數列，故.【小問2詳解】由（1），，所以，，兩式相減得，故，所以令，易知：單調遞增，若為偶數，則，所以；若為奇數，則，所以，即綜上，21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得結果.【小問1詳解】證明：正中，點為的中點，，因為平面，平面，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問2詳解】解：因為，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因為，，故平面，所以，平面的一個法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.22、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關；（2）【解析】（1