解答題精準限時訓練3（全國甲乙卷版）(建議用時60-70分鐘）三、解答題：共70分．解答應寫出交字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．（2022·河北·高三專題練習）己知數列的前項和為，且，_______.請在①；②；成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上而題干中，并解答下面問題.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在五面體中，平面平面，，，且，.（1）求證：平面平面；（2）已知是線段上點，滿足，求二面角的余弦值.19．（2022·全國·高三專題練習）公元1651年，法國一位著名的統計學家德梅赫向另一位著名的數學家帕斯卡提請了一個問題，帕斯卡和費馬討論了這個問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優秀的科學家都給出了正確的解答該問題如下：設兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數學家給出的答案是：如果出現無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.（1）甲、乙賭博意外終止，若，則甲應分得多少賭注？（2）記事件為“賭博繼續進行下去乙贏得全部賭注”，試求當時賭博繼續進行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當時，事件是否為小概率事件，并說明理由.規定：若隨機事件發生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件.20．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的面積為，上頂點為，右頂點為，直線與圓相切，且橢圓的面積是圓面積的倍.（1）求橢圓的標準方程.（2）為圓上任意一點，過作圓的切線與橢圓交于，兩點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.21．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，其中為正實數．（1）試討論函數的單調性；（2）設，若存在，，使得不等式成立，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）22．（2022·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的極坐標方程；（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值.[選修4-5：不等式選講]（10分）23．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數（）.（1）當時，解關于的不等式；（2）設關于的不等式的解集為，，如果，求實數的取值范圍.解答題精準限時訓練3（全國甲乙卷版）(建議用時60-70分鐘）三、解答題：共70分．解答應寫出交字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．（2022·河北·高三專題練習）己知數列的前項和為，且，_______.請在①；②；成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上而題干中，并解答下面問題.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】因為，所以，即，所以數列是首項為，公差為1的等差數列，其公差.（1）選①.由，得，即，所以，解得.所以，即數列的通項公式為.選②.由，成等比數列，得，則，所以，所以.選③.因為，所以，所以，所以.（2）由題可知，所以，所以，兩式相減，得，所以.18．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在五面體中，平面平面，，，且，.（1）求證：平面平面；（2）已知是線段上點，滿足，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（1）如圖，設中點為，過作，令交AB于M，連接EM.，所以,且OM//AC由已知DE//AC,且.所以DE//OM,且DE=OM所以ODEM為平行四邊形，所以OD//EM.因為為等邊三角形，則有，又平面平面，所以平面，所以平面ABC又平面AEB所以平面平面ABC.（2）由（1）知、、三條直線兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，依題意可得，，，，，設平面的法向量，則有取由BC=3BF，BC=2得：，則，，設平面的法向量，則有取.易知二面角的大小與向量、的夾角大小一致所以二面角的余弦值等于19．（2022·全國·高三專題練習）公元1651年，法國一位著名的統計學家德梅赫向另一位著名的數學家帕斯卡提請了一個問題，帕斯卡和費馬討論了這個問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優秀的科學家都給出了正確的解答該問題如下：設兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數學家給出的答案是：如果出現無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.（1）甲、乙賭博意外終止，若，則甲應分得多少賭注？（2）記事件為“賭博繼續進行下去乙贏得全部賭注”，試求當時賭博繼續進行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當時，事件是否為小概率事件，并說明理由.規定：若隨機事件發生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件.【答案】（1）216元；（2），是，理由見解析.【詳解】（1）設賭博再繼續進行局甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，由題意知，最多再進行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，當時，甲以贏，所以，當時，甲以贏，所以，當時，甲以贏，所以，于是得甲贏得全部賭注的概率為，所以，甲應分得的賭注為元.（2）設賭博繼續進行Y局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，當時，乙以贏，，當時，乙以贏，，從而得乙贏得全部賭注的概率為，于是甲贏得全部賭注的概率，對求導得，因，即，從而有在上單調遞增，于是得，乙贏的概率最大值為，所以事件是小概率事件.20．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的面積為，上頂點為，右頂點為，直線與圓相切，且橢圓的面積是圓面積的倍.（1）求橢圓的標準方程.（2）為圓上任意一點，過作圓的切線與橢圓交于，兩點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為（1）因為，，所以直線的方程為.因為直線與圓O相切，所以，即.因為橢圓的面積是圓O面積的倍，所以，.即.故橢圓的標準方程為.（2）當過的切線的斜率不存在時，切線方程為，此時，所以.當過的切線的斜率存在時，設切線方程為，則，所以.設，，則，得，所以，.因為，且，.所以.因為，所以，所以，所以，即為定值，且.21．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，其中為正實數．（1）試討論函數的單調性；（2）設，若存在，，使得不等式成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．【詳解】解：（1）根據題意，，，，或，所以①當時，，則有，或；，此時可得，在，上單調遞增，在上單調遞減．②當時，，則有，或；，此時可得，在，，上單調遞增，在上單調遞減．③當時，恒有，此時函數在上單調遞增．綜上可得，①當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．②當時，在，，上單調遞增，在上單調遞減．③當時，函數在上單調遞增．（2）根據題意，由（1）可得，，若存在，，使得不等式成立，則需使，，由（1）可知，①當時，，則有，或；，此時可得，在，上單調遞增，在上單調遞減，即得在，上單調遞增，故有；②當時，，則有，或；，此時可得，在，，上單調遞增，在上單調遞減．當時，即時，在，上單調遞減，則有，不合題意；當時，即時，在，上單調遞減，在，則有，此時令，則，即得此時在上單調遞增，所以（1）恒成立，即恒成立，不合題意；綜上可得，．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）22．（2022·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的極坐標方程；（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.（1）設點P的極坐標為，點M的極坐標，依題意，，由得：，即，所以點P的軌跡的極坐標方程為.（2）設點B的極坐標為，由題設知，點A在曲線上，點B與點A不重合時，面積而，因此，，當時，S取得最大值，所以面積的最大值為.[