專題13結構不良題（三角函數與解三角形）結構不良題型是新課改地區新增加的題型，所謂結構不良題型就是給出一些條件，另外的條件題目中給出三個，學生可以從中選擇1個或者2個作為條件，進行解題。一、題型選講題型一、研究三角形是否存在的問題例1、【2020年新高考全國Ⅰ卷】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．例2、（2021年徐州聯考）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角，，的對邊分別為，，，且，______________，？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．題型二、運用正余弦定理研究邊、角及面積例3、【2020年高考北京】在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．例4、（2020屆山東省日照市高三上期末聯考）在①面積，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.例5、（湖北黃岡高三聯考）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內角，，所對的邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長的最小值，并求出此時的面積.例6、（2021年南京金陵中學聯考）現給出兩個條件：①2c－eq\r(3)b＝2acosB，②(2b－eq\r(,3)c)cosA＝eq\r(,3)acosC，從中選出一個條件補充在下面的問題中，并以此為依據求解問題．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，eq\o(,________)．(1)求A；(2)若a＝eq\r(,3)－1，求△ABC周長的最大值．例7、（2020·全國高三專題練習（文））在中，，，分別為內角，，的對邊，且滿.（1）求的大小；（2）再在①，②，③這三個條件中，選出兩個使唯一確定的條件補充在下面的問題中，并解答問題.若________，________，求的面積.題型三、考查三角函數的圖像與性質例8、（2020屆山東省泰安市高三上期末）在①函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，圖象關于原點對稱；②向量，；③函數這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知_________，函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為．（1）若且，求的值；（2）求函數在上的單調遞減區間．二、達標訓練,②;請在上述兩個條件中任選一個，補充在下面題目中，然后解答補充完整的題目．在銳角△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=eq\r(7),b+c=5,且滿足 ．(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面積．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）2、（2021年泰州高三期中）在①a=2,②S=C2cosB，③C=π3這三個條件中任選-一個，補充在下面問題中，并對問題:在?ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S，3bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求c的值.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。3、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）在①，，②，，③，三個條件中任選一個補充在下面問題中，并加以解答.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，______，求的面積S.4、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）在條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.在中，角的對邊分別為，，，.求的面積.5、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知，，分別為內角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應的面積.（若所選條件出現多種可能，則按計算的第一種可能計分）6、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.7、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）在①;②這兩個條件中任選-一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題.在中，角的對邊分別為，已知，.(1)求;(2)如圖，為邊上一點，，求的面積專題13結構不良題（三角函數與解三角形）結構不良題型是新課改地區新增加的題型，所謂結構不良題型就是給出一些條件，另外的條件題目中給出三個，學生可以從中選擇1個或者2個作為條件，進行解題。一、題型選講題型一、研究三角形是否存在的問題例1、【2020年新高考全國Ⅰ卷】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】方案一：選條件①．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由①，解得．因此，選條件①時問題中的三角形存在，此時．方案二：選條件②．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得，，．由②，所以．因此，選條件②時問題中的三角形存在，此時．方案三：選條件③．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由③，與矛盾．因此，選條件③時問題中的三角形不存在．例2、（2021年徐州聯考）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角，，的對邊分別為，，，且，______________，？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】選擇①：由余弦定理可知，，……4分由正弦定理得，，又，所以，…6分所以是直角三角形，則，所以的面積.10分選擇②：由正弦定理得，，即，又，所以，所以，即，又，所以．……………4分由正弦定理得，，…………………6分所以的面積.10分選擇③：因為，所以，又，所以，所以，即．…4分由正弦定理得，，…………………6分所以的面積.10分題型二、運用正余弦定理研究邊、角及面積例3、【2020年高考北京】在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解析】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）例4、（2020屆山東省日照市高三上期末聯考）在①面積，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【解析】選擇①：所以；由余弦定理可得所以選擇②設，則，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.例5、（湖北黃岡高三聯考）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內角，，所對的邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長的最小值，并求出此時的面積.【解析】（1）選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.··········································5分選②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.·················································5分選③，∵，由已知結合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.·················································5分（2）∵，即，∴，解得，當且僅當時取等號，∴，周長的最小值為6，此時的面積.··········10分例6、（2021年南京金陵中學聯考）現給出兩個條件：①2c－eq\r(3)b＝2acosB，②(2b－eq\r(,3)c)cosA＝eq\r(,3)acosC，從中選出一個條件補充在下面的問題中，并以此為依據求解問題．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，eq\o(,________)．(1)求A；(2)若a＝eq\r(,3)－1，求△ABC周長的最大值．【解析】若選擇條件①2c－eq\r(,3)b＝2acosB．(1)由余弦定理可得2c－eq\r(,3)b＝2acosB＝2a·eq\s\do1(\f(a2＋c2－b2,2ac))，整理得c2＋b2－a2＝eq\r(,3)bc，………2分可得cosA＝eq\s\do1(\f(b2＋c2－a2,2bc))＝eq\s\do1(\f(\r(,3)bc,2bc))＝eq\s\do1(\f(\r(,3),2))．…………………3分因為A∈(0，π)，所以A＝eq\s\do1(\f(π,6))．…………5分(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(eq\r(,3)－1)2＝b2＋c2－2bc·eq\s\do1(\f(\r(,3),2))，………6分即4－2eq\r(,3)＝b2＋c2－eq\r(,3)bc＝(b＋c)2－(2＋eq\r(,3))bc，亦即(2＋eq\r(,3))bc＝(b＋c)2－(4－2eq\r(,3))，因為bc≤eq\s\do1(\f((b＋c)2,4))，當且僅當b＝c時取等號，所以(b＋c)2－(4－2eq\r(,3))≤(2＋eq\r(,3))×eq\s\do1(\f((b＋c)2,4))，解得b＋c≤2eq\r(2)，…………8分當且僅當b＝c＝eq\r(2)時取等號．所以a＋b＋c≤2eq\r(2)＋eq\r(3)－1，即△ABC周長的最大值為2eq\r(2)＋eq\r(3)－1．…………………10分若選擇條件②(2b－eq\r(,3)c)cosA＝eq\r(,3)acosC．(1)由條件得2bcosA＝eq\r(,3)acosC＋eq\r(,3)ccosA，由正弦定理得2sinBcosA＝eq\r(,3)(sinAcosC＋sinCcosA)＝eq\r(,3)sin(A＋C)＝eq\r(,3)sinB．………2分因為sinB≠0，所以cosA＝eq\s\do1(\f(\r(,3),2))，…………………3分因為A∈(0，π)，所以A＝eq\s\do1(\f(π,6))．(2)同上例7、（2020·全國高三專題練習（文））在中，，，分別為內角，，的對邊，且滿.（1）求的大小；（2）再在①，②，③這三個條件中，選出兩個使唯一確定的條件補充在下面的問題中，并解答問題.若________，________，求的面積.【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）因為，又由正弦定理，得，即，所以，因為，所以.（2）方案一：選條件①和②.由正弦定理，得.由余弦定理，得，解得.所以的面積.方案二：選條件①和③.由余弦定理，得，則，所以.所以，所以的面積.題型三、考查三角函數的圖像與性質例8、（2020屆山東省泰安市高三上期末）在①函數的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，圖象關于原點對稱；②向量，；③函數這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知_________，函數的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為．（1）若且，求的值；（2）求函數在上的單調遞減區間．【解析】解：方案一：選條件①由題意可知，，，，又函數圖象關于原點對稱，，，，，（1），，；（2）由，得，令，得，令，得，函數在上的單調遞減區間為．方案二：選條件②，，又，，，（1），，；（2）由，得，令，得，令，得，函數在上的單調遞減區間為．方案三：選條件③，又，，，（1），，；（2）由，得，令，得，令，得.函數在上的單調遞減區間為．二、達標訓練,②;請在上述兩個條件中任選一個，補充在下面題目中，然后解答補充完整的題目．在銳角△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=eq\r(7),b+c=5,且滿足 ．(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面積．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）【解析】（1）選擇條件①,…………………1分法1：由正弦定理得,………2分所以,………3分因為,所以………………4分又,…5分所以.………6分法2：由余弦定理得，……2分化簡得………3分則，………………4分又,……5分所以.………………6分（1）選擇條件②………1分法3：因為，所以……………2分因為，所以…………3分化簡得，解得,………4分又,………5分所以.……………………6分（2）由余弦定理,……………7分得，…………………8分所以，……………10分于是的面積．………12分2、（2021年泰州高三期中）在①a=2,②S=C2cosB，③C=π3這三個條件中任選-一個，補充在下面問題中，并對問題:在?ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S，3bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求c的值.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。【解析】在中，因為，所以根據正弦定理得………2分所以,因為，所以………5分選擇①，由余弦定理得，解得………10分選擇②，，所以所以，即，解得………10分選擇③，，因為，所以由得………10分3、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）在①，，②，，③，三個條件中任選一個補充在下面問題中，并加以解答.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，______，求的面積S.【解析】選①∵，，∴，，∴，由正弦定理得，∴.選②∵，∴由正弦定理得.∵，∴.又∵，∴，∴，∴.選③∵，，∴由余弦定理得，即，解得或（舍去）.，∴的面積.故答案為：選①為；選②為；選③為.4、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）在條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.在中，角的對邊分別為，，，.求的面積.【解析】若選①：由正弦定理得，即，所以，因為，所以.又，，，所以，所以.若選②：由正弦定理得.因為，所以，，化簡得，即，因為，所以.又因為，所以，即，所以.若選③：由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以，因為，，所以，，，所以.又，，，所以，所以.5、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知，，分別為內角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）