2022年新高考數學名校地市選填壓軸題好題匯編（二）一．選擇題（共27小題）1．（2021?岳陽二模）已知，，若存在，，使得，則稱函數與互為“度零點函數“，若與互為“1度零點函數“，則實數的取值范圍為A．， B．， C．， D．，2．（2021?山東）基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間（單位：天）的變化規律，指數增長率與，近似滿足．有學者基于已有數據估計出，．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天3．（2021秋?城關區校級月考）已知函數有兩個極值點，則的取值范圍是A． B．， C．， D．，4．（2021秋?沙坪壩區校級月考）當函數的圖象經過的象限個數最多時，實數的取值范圍為A． B． C． D．，5．（2021秋?黃山期末）形如的函數因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動地稱為“囧函數”．若函數有最小值，則當，時的“囧函數”與函數的圖象交點個數為個．A．1 B．2 C．4 D．66．（2021?南開區模擬）函數，的圖象如圖，把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到函數的圖象，下列結論中：①；②函數的最小正周期為；③函數在區間上單調遞增；④函數關于點中心對稱．其中正確結論的個數是A．4 B．3 C．2 D．17．（2021?孝感模擬）已知集合，2，，，2，3，，定義函數．若點，（1），，（2），，（3），的外接圓圓心為，且，則滿足條件的函數有A．6個 B．10個 C．12個 D．16個8．（2021?衡水一模）設函數，是公差為的等差數列，，則A．0 B． C． D．9．（2021秋?湖北月考）普林斯頓大學的康威教授發現了一類有趣的數列并命名為“外觀數列”，該數列的后一項由前一項的外觀產生．以1為首項的“外觀數列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，，即第一項為1，外觀上看是1個1，因此第二項為11；第二項外觀上看是2個1，因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2，1個1，因此第四項為1211，，按照相同的規則可得其它項，例如為3，13，1113，3113，132113，若；的第項記作，的第項記作，其中，，，若，則的前項和為A． B． C． D．10．（2021秋?湖北月考）已知，，，則，，的大小關系是A． B． C． D．11．（2021?海淀區校級模擬）如圖所示，在正方體中，過對角線的一個平面交于，交于，給出下面幾個命題：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④設與的延長線交于，與的延長線交于，則、、三點共線；⑤四棱錐的體積為定值．以上命題中真命題的個數為A．2 B．3 C．4 D．512．（2021秋?海淀區校級月考）設函數的定義域為，如果對任意，都存在唯一的，使得為常數）成立，那么稱函數在上具有性質．現有函數：①；②；③；④．其中，在其定義域上具有性質的函數的個數是A．1 B．2 C．3 D．413．（2021秋?寶山區校級月考）已知實數同時滿足：（1），其中是邊延長線上一點；（2）關于的方程在，上恰有兩解，則實數的取值范圍是A．或 B． C． D．或14．（2021?海南校級模擬）設為坐標原點，第一象限內的點的坐標滿足約束條件，，若的最大值為40，的最小值為A． B． C．1 D．415．（2021秋?洮南市校級月考）下列函數中，既是奇函數，又是上的單調函數的是A． B． C． D．16．（2021秋?洮南市校級月考）已知函數在，上恰有7個零點，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，17．（2021秋?鄭州月考）關于的不等式的解集可能是A．或 B． C． D．18．（2021?北辰區二模）已知定義在上的偶函數滿足，且當時，，，若方程恰有兩個根，則的取值范圍是A． B． C． D．19．（2021秋?修文縣校級月考）已知函數是定義在上的奇函數，滿足，當，時，，則A． B．0 C． D．202120．（2021?九模擬）已知函數，，的部分圖象如圖所示，則下列關于函數說法正確的是A．最小正周期為 B． C． D．21．（2021?新課標Ⅰ）平面過正方體的頂點，平面，平面，平面，則、所成角的正弦值為A． B． C． D．22．（2021?麗水一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，為雙曲線右支上一點，直線與圓相切，且，則該雙曲線的離心率是A． B． C． D．23．（2021?新課標Ⅰ）函數在單調遞減，且為奇函數．若（1），則滿足的的取值范圍是A．， B．， C．， D．，24．（2021春?延慶縣期末）已知是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A．，， B．，， C．，， D．，，25．（2021秋?西城區校級月考）已知有限集，，定義集合，且，表示集合中的元素個數．若，2，3，，，4，，則A．3 B．4 C．5 D．626．（2021秋?海淀區期末）聲音的等級（單位：與聲音強度（單位：滿足．噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為；一般說話時，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的A．倍 B．倍 C．倍 D．倍27．（2021秋?河北月考）已知函數的導函數是奇函數．若當時，關于的不等式有解，則的最小值為A．1 B． C． D．二．多選題（共6小題）28．（2021秋?沙坪壩區校級月考）函數，滿足，且在，上單調，若在，上存在最大值和最小值，則實數可以是A． B． C． D．29．（2021秋?沙坪壩區校級月考）已知函數，其中是自然對數的底數，則下列說法正確的是A．是奇函數 B．是的周期 C．在上單調遞減 D．在上有2個極值點30．（2021?天心區校級模擬）已知函數，則下列結論正確的是A．函數存在兩個不同的零點 B．函數既存在極大值又存在極小值 C．當時，方程有且只有兩個實根 D．若，時，，則的最小值為231．（2021?深圳模擬）摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如深圳前海的“灣區之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度128米，轉盤直徑為120米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉分鐘，當時，游客隨艙旋轉至距離地面最遠處．以下關于摩天輪的說法中，正確的為A．摩天輪離地面最近的距離為4米 B．若旋轉分鐘后，游客距離地面的高度為米，則 C．若在，時刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為30 D．ヨ，，，使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米32．（2021秋?湖北月考）如圖，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱，交于，兩點，設，，，以下說法中正確的是A．平面平面 B．四邊形的面積最小值為1 C．四邊形周長的取值范圍是， D．四棱錐的體積為定值33．（2021秋?湖北月考）在平面直角坐標系中，是坐標原點，，是圓上兩個不同的動點，是，的中點，且滿足．設，到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是A．向量與向量所成角為 B． C． D．若，則數列的前項和為三．填空題（共27小題）34．（2021秋?西城區校級月考）已知只有50項的數列滿足下列三個條件：①，0，，；②；③．對所有滿足上述條件的數列，共有個不同的值，則．35．（2021秋?城關區校級月考）關于函數有如下四個命題：①的圖象關于原點對稱；②在，上單調遞增；③函數共有6個極值點；④方程共有6個實根．其中所有真命題的序號是．36．（2021秋?沙坪壩區校級月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則的取值范圍是．37．（2021?深圳模擬）著名的費馬問題是法國數學家皮埃爾德費馬于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”費馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當的三個內角均小于時，則使得的點即為費馬點．已知點為的費馬點，且，若，則實數的最小值為．38．（2021春?和平區校級期末）若函數在區間，有三個不同的零點，則實數的取值范圍是．39．（2021?河西區校級模擬）已知，則的最小值為．40．（2021?天津）已知函數的圖象與函數的圖象恰有兩個交點，則實數的取值范圍是．41．（2021秋?西城區校級期中）設是含數1的有限實數集，是定義在上的函數．（1）若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則（1）（填是或否）可能為1．（2）若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則（1）可能取值只能是．①②③④042．（2021秋?東城區校級月考）定義在，上的函數滿足：當時，；當時，．若方程在區間，上恰有3個不同的實根，則的所有可能取值集合是．43．（2021秋?湖北月考）已知，若存在實數，使不等式成立成立，則的最大值為．44．（2021?海淀區校級模擬）將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數填入如圖所示的正方形網格中，每個數填一次，每個小方格中填一個數．考慮每行從左到右，每列從上到下，兩條對角線從上到下這8個數列，給出下列四個結論：①這8個數列有可能均為等差數列；②這8個數列中最多有3個等比數列；③若中間一行、中間一列、兩條對角線均為等差數列，則中心數必為5；④若第一行、第一列均為等比數列，則其余6個數列中至多有1個等差數列．其中所有正確結論的序號是．45．（2021春?朝陽區期末）若函數的導數存在導數，記的導數為．如果對任意，都有成立，則有如下性質：．其中，，，，．若，則；根據上述性質推斷：當且，，時，根據上述性質推斷：的最大值為．46．（2021秋?越城區校級期中）已知，不等式在，上恒成立，則的取值范圍是．47．（2021?北京）已知點，，．若平面區域由所有滿足的點組成，則的面積為．48．（2021秋?黃浦區校級期中）已知等差數列中公差，，若，，成等比數列，且，，，，，，，成等比數列，若對任意，恒有，則．49．（2021秋?洮南市校級月考）已知函數，若對任意的，，均存在使得，則實數的取值范圍是．50．（2021秋?洮南市校級月考）以下四個結論，正確結論的序號是．①存在，使；②在其定義域內為增函數；③最小正周期為；④既有最大、最小值，又是偶函數．51．（2010秋?臨沂期中）設函數是定義在上的偶函數，且對于任意的恒有，已知當，時，．則①2是的周期；②函數在上是增函數；③函數的最大值為1，最小值為0；④直線是函數圖象的一條對稱軸．其中所有正確命題的序號是．52．（2021秋?鄭州月考）若函數是定義域為的奇函數，（2），且在上單調遞增，則滿足的的取值范圍是．53．（2021秋?修文縣校級月考）高斯被譽為歷史上最偉大的數學家之一，與阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名，高斯函數也被應用于生活、生產的各個領域．高斯函數也叫取整函數，其符號表示不超過的最大整數，如：，．若函數，則的值域為．54．（2021秋?修文縣校級月考）已知函數，若，，則的最小值為．55．（2021秋?貴溪市校級月考）甲同學一次投籃命中的概率為，乙同學一次投籃命中的概率為，假設兩人投籃命中與否互不影響，則甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人命中的概率是．（判斷對錯）56．（2006?上海）如果一條直線與一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是．57．（2021?浙江模擬）四棱錐中，平面，，，，已知為四邊形內部一點，且二面角的平面角大小為，若動點的軌跡將四邊形分成面積為，的兩部分，則．58．（2021?麗水一模）已知正項等比數列的公比為，其前項和為，若對一切都有，則的取值范圍是．59．（2021秋?韓城市校級月考）有下列說法：①是第一象限角；②函數的圖象恒過的定點是；③若為第三象限角，則終邊在二四象限；④終邊在軸上的角的集合是．其中，正確的說法是．60．（2021秋?西城區校級月考）已知函數，函數．（1）若，則函數與函數的圖像有個交點；（2）若函數與函數的圖像有6個交點，則．2022年新高考數學名校地市選填壓軸題好題匯編（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共27小題）1．（2021?岳陽二模）已知，，若存在，，使得，則稱函數與互為“度零點函數“，若與互為“1度零點函數“，則實數的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：由，解得，由，解得，設其解為，與互為“1度零點函數“，，解得，，，設，則，，當時，，是增函數，當時，，是減函數，（2），（1），（3），實數的取值范圍為，．故選：．【點評】本題考查實數取值范圍的求法，考查函數性質、構造法、導數性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．2．（2021?山東）基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間（單位：天）的變化規律，指數增長率與，近似滿足．有學者基于已有數據估計出，．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【解答】解：把，代入，可得，，當時，，則，兩邊取對數得，解得．故選：．【點評】本題考查函數模型的實際運用，考查學生閱讀理解能力，計算能力，屬于中檔題．3．（2021秋?城關區校級月考）已知函數有兩個極值點，則的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解答】解：，，令，得，有2個極值點，故方程有2個不同的實根，即與的圖象有2個交點，畫出函數與的圖象，如圖示：當即時，直線與的圖象相切，由圖可知當，即時，與的圖象有兩個交點，即的范圍是，．故選：．【點評】本題考查了函數的零點問題，考查圖象的交點問題，考查轉化思想，數形結合思想，是一道常規題．4．（2021秋?沙坪壩區校級月考）當函數的圖象經過的象限個數最多時，實數的取值范圍為A． B． C． D．，【解答】解：設，則的定義域為，，可得為奇函數，當時，遞增，所以在上遞增，且時，；時，．設，若，則，函數的圖象只經過兩個象限；若，時，，，可得，即時，的圖象只經過第四象限，不符題意；所以，由的導數為，可得的極值點0，，且在遞減，在，，遞增，可得在處取得極大值，在處取得極小值，由題意可得的圖象經過四個象限，所以，，解得，故選：．【點評】本題考查導數的運用：求單調性和極值，以及函數的奇偶性和圖象特征，考查構造法和運算能力、推理能力，屬于難題．5．（2021秋?黃山期末）形如的函數因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動地稱為“囧函數”．若函數有最小值，則當，時的“囧函數”與函數的圖象交點個數為個．A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：由題意的函數，此函數是偶函數，當時，則，畫出這個函數的圖象，如圖綠色的曲線，有最小值，又，再畫出函數的圖象（黑色的曲線），當，時的“囧函數”與函數的圖象交點個數為4個．故選：．【點評】本題考查根的存在性及根的個數判斷，函數的圖象的應用，函數的基本性質的應用，考查數形結合思想．6．（2021?南開區模擬）函數，的圖象如圖，把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到函數的圖象，下列結論中：①；②函數的最小正周期為；③函數在區間上單調遞增；④函數關于點中心對稱．其中正確結論的個數是A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：根據函數，的圖象，可得，且，，．把代入，可得，，或．再把根據圖象經過最高點，，可得，．當時，，，求得，不滿足條件，，故，故錯誤．此時，由，，求得，令，可得，滿足條件，，故．把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到函數的圖象，故的最小正周期為，故正確．當，，，，故單調遞增，故正確．令，求得，故的圖象不關于點，中心對稱，故錯誤，可得其中正確結論的個數是2．故選：．【點評】本題主要考查由函數的部分圖象求解析式，由周期求出的值，由最高點的坐標求出，函數的圖象變換規律，正弦函數的性質，屬于中檔題．7．（2021?孝感模擬）已知集合，2，，，2，3，，定義函數．若點，（1），，（2），，（3），的外接圓圓心為，且，則滿足條件的函數有A．6個 B．10個 C．12個 D．16個【解答】解：由，分析可得是等腰三角形，且，必有（1）（3），（1）（2）；點，（1）、當（1）（3）時（2）、3、4，三種情況．（1）（3）；（2）、3、4，有三種．（1）（3）；（2）、1、4，有三種．（1）（3）；（2）、3、1，有三種．因而滿足條件的函數有12種．故選：．【點評】本題考查分類計數原理的應用，涉及向量加法的意義和函數的定義，關鍵是正確理解函數的意義．8．（2021?衡水一模）設函數，是公差為的等差數列，，則A．0 B． C． D．【解答】解：，，是公差為的等差數列，，由和差化積公式可得，，則的結果不含，又，，故．．故選：．【點評】本題考查等差數列的通項公式與性質的應用，考查兩角和與差的余弦，求得是關鍵，考查轉化思想與綜合運算能力，屬于難題．9．（2021秋?湖北月考）普林斯頓大學的康威教授發現了一類有趣的數列并命名為“外觀數列”，該數列的后一項由前一項的外觀產生．以1為首項的“外觀數列”記作，其中為1，11，21，1211，111221，，即第一項為1，外觀上看是1個1，因此第二項為11；第二項外觀上看是2個1，因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2，1個1，因此第四項為1211，，按照相同的規則可得其它項，例如為3，13，1113，3113，132113，若；的第項記作，的第項記作，其中，，，若，則的前項和為A． B． C． D．【解答】解：由題意得，，，，，，；，，，，，；由遞推可知，隨著的增大，和每一項除了最后一位不同外，其余各位數都相同，所以，所以的前項和為，故選：．【點評】本題考查數列的求和，考查學生的觀察能力和計算能力，屬中檔題．10．（2021秋?湖北月考）已知，，，則，，的大小關系是A． B． C． D．【解答】解：令，，可得函數在上單調遞減．，，．同理可得：，，，．．故選：．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性、對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．11．（2021?海淀區校級模擬）如圖所示，在正方體中，過對角線的一個平面交于，交于，給出下面幾個命題：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④設與的延長線交于，與的延長線交于，則、、三點共線；⑤四棱錐的體積為定值．以上命題中真命題的個數為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因為平面與平面平行，截面與它們交于，，可得，同樣可得，所以四邊形是一個平行四邊形，故①正確；如果是正方形，則，因為，所以平面，又平面，與重合，此時不是正方形，故②錯誤；當兩條棱上的交點是中點時，四邊形為菱形，平面，此時四邊形垂直于平面，故③正確；由與的延長線交于，可得，且，又因為平面，平面，所以平面，平面，又因為平面，平面，所以平面平面，同理平面平面，所以，都是平面與平面的交線，所以，，三點共線，故④正確；由于，平面，則，到平面的距離相等，且為正方體的棱長，三角形的面積為定值，所以四棱錐的體積為定值，故⑤正確．故選：．【點評】本題考查命題的真假判斷和運用，以及空間中線線、線面和面面的位置關系，考查推理能力，屬于中檔題．12．（2021秋?海淀區校級月考）設函數的定義域為，如果對任意，都存在唯一的，使得為常數）成立，那么稱函數在上具有性質．現有函數：①；②；③；④．其中，在其定義域上具有性質的函數的個數是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由函數在上具有性質的定義可知，若，任意的任意，存在，使得，故，即唯一存在；若，任意的任意，，此時可能不存在；若，任意的任意，，此時，即唯一存在；若，任意的任意，，即，對于正切函數，一個函數值會對應多個自變量，故不唯一，故①③是具有性質的函數；故選：．【點評】本題考查了學生的邏輯推理能力，數學運算能力，屬于基礎題．13．（2021秋?寶山區校級月考）已知實數同時滿足：（1），其中是邊延長線上一點；（2）關于的方程在，上恰有兩解，則實數的取值范圍是A．或 B． C． D．或【解答】解：，又，，是邊延長線上一點，，關于的方程在，上恰有兩解，令，由正弦函數的圖象可知，方程在上有唯一解，或，解得或（舍或，．故選：．【點評】此題考查了向量變換，換元法，二次方程的根等，綜合性較強，難度較大．14．（2021?海南校級模擬）設為坐標原點，第一象限內的點的坐標滿足約束條件，，若的最大值為40，的最小值為A． B． C．1 D．4【解答】解：，設，則的最大值為40．作出不等式組的對應的平面區域如圖：（陰影部分）由，得，由圖象可知當直線，經過點時，直線的截距最大，此時最大，由，解得，即，代入，得，即，，當且僅當，即，時取等號，的最小值為，故選：．【點評】本題主要考查線性規劃和基本不等式的基本應用，利用的幾何意義是解決線性規劃的關鍵，注意利用數形結合來解決．15．（2021秋?洮南市校級月考）下列函數中，既是奇函數，又是上的單調函數的是A． B． C． D．【解答】解：為偶函數，不符合題意；在上不單調，不符合題意；的圖形如圖所示，結合圖像可知，符合題意；的圖形如圖所示，結合圖像可知，函數在上不單調，不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了基本初等函數的單調性及奇偶性的判斷，體現了數形結合思想的應用．16．（2021秋?洮南市校級月考）已知函數在，上恰有7個零點，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：函數，因為，，則，令，，因為函數在，上恰有7個零點，即函數與的圖象有7個交點，所以，則，所以的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查了函數的零點與方程的根的綜合應用，解決函數零點或方程根的問題，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數的零點）；（2）圖象法（直接畫出函數的圖象分析得解）；（3）方程圖象法（令函數為零，再重新構造兩個函數，數形結合分析得解）．屬于中檔題．17．（2021秋?鄭州月考）關于的不等式的解集可能是A．或 B． C． D．【解答】解：不等式中，，△，關于的不等式對應的方程有兩個不等的實數根，不妨設為，，且；關于的不等式的解集為或；故該不等式的解集可能是．故選：．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題目．18．（2021?北辰區二模）已知定義在上的偶函數滿足，且當時，，，若方程恰有兩個根，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：當時，，解得，故，又因為函數為偶函數，其圖象關于軸對稱，且周期為4，若方程恰有兩個根，即函數與的圖象有兩個交點，如圖，當時，，，當直線過點時，此時直線的斜率為，由圖象可知，要使函數與的圖象有兩個交點，只需滿足，解得或．故選：．【點評】本題考查函數與方程應用，重點考查數形結合分析問題的能力，屬于中檔題型，本題的關鍵是正確畫出函數的圖象，并能運用臨界分析的思想求參數的取值范圍．19．（2021秋?修文縣校級月考）已知函數是定義在上的奇函數，滿足，當，時，，則A． B．0 C． D．2021【解答】解：，，又是奇函數，所以，，，則函數的周期是4，是定義在上的奇函數，，當，時，，，解得，當，時，，（1）．故選：．【點評】本題主要考查奇函數的性質，函數的周期性，以及解析式的求法，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．20．（2021?九模擬）已知函數，，的部分圖象如圖所示，則下列關于函數說法正確的是A．最小正周期為 B． C． D．【解答】解：由圖象知，函數的最小正周期，所以，因為點，在函數圖象上，所以，即，又因為，所以，則，即，又點在函數圖象上，所以，解得，綜上，選項，，錯誤．故選：．【點評】本題考查三角函數的圖象與性質，考查運算求解能力、數形結合思想，屬于中檔題．21．（2021?新課標Ⅰ）平面過正方體的頂點，平面，平面，平面，則、所成角的正弦值為A． B． C． D．【解答】解：如圖：平面，平面，平面，可知：，，△是正三角形．、所成角就是．則、所成角的正弦值為：．故選：．【點評】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．22．（2021?麗水一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，為雙曲線右支上一點，直線與圓相切，且，則該雙曲線的離心率是A． B． C． D．【解答】解：設直線與圓相切于點，則，，取的中點，連接，由于，則，，由，則，即有，由雙曲線的定義可得，即，即，，即，，即，則．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質，考查離心率的求法，運用中位線定理和雙曲線的定義是解題的關鍵．23．（2021?新課標Ⅰ）函數在單調遞減，且為奇函數．若（1），則滿足的的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：函數為奇函數．若（1），則，又函數在單調遞減，，（1），，解得：，，故選：．【點評】本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數的單調性，函數的奇偶性，難度中檔．24．（2021春?延慶縣期末）已知是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：由題意設，則當時，有，當時，，函數在上為增函數，函數是奇函數，，函數為定義域上的偶函數，在上遞減，由得，，不等式，或，即或，即有或，使得成立的的取值范圍是：，，，故選：．【點評】本題考查利用導數判斷函數的單調性，由函數的奇偶性、單調性解不等式，考查構造函數法，轉化思想和數形結合思想，屬于綜合題．25．（2021秋?西城區校級月考）已知有限集，，定義集合，且，表示集合中的元素個數．若，2，3，，，4，，則A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：，2，3，，，4，，，，，故，2，，故，故選：．【點評】本題考查了集合的運算及學習能力、轉化能力，是中檔題．26．（2021秋?海淀區期末）聲音的等級（單位：與聲音強度（單位：滿足．噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為；一般說話時，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【解答】解：噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為，，解得，又一般說話時，聲音的等級約為，，解得，噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，故選：．【點評】本題主要考查了對數的運算性質，是基礎題．27．（2021秋?河北月考）已知函數的導函數是奇函數．若當時，關于的不等式有解，則的最小值為A．1 B． C． D．【解答】解：因為函數的導函數是奇函數，所以函數為偶函數，所以，即，所以，整理得，所以，解得或，因為且，所以，所以，由復合函數的單調性可知在上單調遞減，因為，，所以由得，即有解，所以，令，，在，上單調遞增，而（1），所以，所以的最小值為1．故選：．【點評】本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合，考查導數的應用，考查轉化思想與運算求解能力，屬于難題．二．多選題（共6小題）28．（2021秋?沙坪壩區校級月考）函數，滿足，且在，上單調，若在，上存在最大值和最小值，則實數可以是A． B． C． D．【解答】解：因為函數在，上單調，所以，解得，因為，又，所以，則，，所以，，故當時，，當，時，，，因為在，上存在最大值和最小值，所以，解得．根據選項可知符合題意．故選：．【點評】本題考查了三角函數性質的綜合應用，考查了三角函數的單調性、對稱性、最值等，此類問題一般會運用整體代換的思想進行求解，考查了運算能力，屬于中檔題．29．（2021秋?沙坪壩區校級月考）已知函數，其中是自然對數的底數，則下列說法正確的是A．是奇函數 B．是的周期 C．在上單調遞減 D．在上有2個極值點【解答】解：該函數定義域為，對于，，故是奇函數，故正確；對于，顯然，，故錯誤；對于，，因為，故在存在包含的單調遞增區間，故錯誤；對于，的變號根即為的極值點，即的變號根，顯然不是根，令，，，又因為，顯然，故，所以恒成立，所以在，單調遞減；時，當時，，此時，，當時，，，，結合為奇函數，可畫出與在區間的圖像：可知，與在上有兩個交點，故在上有兩個極值點，故正確．故選：．【點評】本題考查導數研究函數的極值情況以及函數奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．30．（2021?天心區校級模擬）已知函數，則下列結論正確的是A．函數存在兩個不同的零點 B．函數既存在極大值又存在極小值 C．當時，方程有且只有兩個實根 D．若，時，，則的最小值為2【解答】解：，令，解得或，當或時，，故函數在，上單調遞減，當時，，故函數在上單調遞增，且函數有極小值，有極大值，當時，，當時，，故作函數草圖如下，由圖可知，選項正確，選項錯誤．故選：．【點評】本題主要考查導數在函數問題中的運用，考查數形結合思想，屬于基礎題．31．（2021?深圳模擬）摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如深圳前海的“灣區之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度128米，轉盤直徑為120米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉分鐘，當時，游客隨艙旋轉至距離地面最遠處．以下關于摩天輪的說法中，正確的為A．摩天輪離地面最近的距離為4米 B．若旋轉分鐘后，游客距離地面的高度為米，則 C．若在，時刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為30 D．ヨ，，，使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米【解答】解：對于，最高點離地面高度128米，轉盤直徑為120米，所以摩天輪離地面最近的距離為（米，選項錯誤；對于，以軸心為原點，與底面平行的直線為軸，建立直角坐標系，設分鐘時，游客位于點，以為終邊的角為，分鐘時，旋轉角度為，所以周期，角速度為，在轉動一周的過程中，高度關于時間的函數解析式是：，選項正確；對于，在，時刻，游客距離地面的高度相等，在，時恒成立，的最小值是30，選項正確；對于，，令，解得，令，解得，則在，上單調遞增，在，上單調遞減，當時，，當時，，當時，，故在，只有一個解，選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了三角函數模型應用問題，也考查了運算求解能力與轉化應用能力，是中檔題．32．（2021秋?湖北月考）如圖，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱，交于，兩點，設，，，以下說法中正確的是A．平面平面 B．四邊形的面積最小值為1 C．四邊形周長的取值范圍是， D．四棱錐的體積為定值【解答】解：對于選項：連接，，，，如圖所示，由正方體的性質，可知平面，又，分別是棱，的中點，，平面，又平面，平面平面，故選項正確，對于選項：由選項可知，，四邊形的面積為，當，分別是棱，的中點時，取得最小值，四邊形的面積的最小值為1，故選項正確，對于選項：由面面平行的性質可知，，四邊形為菱形，四邊形周長，又，，，，故選項錯誤，對于選項，為定值，故選項正確，故選：．【點評】本題主要考查了立體幾何中的面面垂直關系以及空間幾何體的體積公式，考查了學生轉化思想和運算求解能力，屬于中檔題．33．（2021秋?湖北月考）在平面直角坐標系中，是坐標原點，，是圓上兩個不同的動點，是，的中點，且滿足．設，到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是A．向量與向量所成角為 B． C． D．若，則數列的前項和為【解答】解：因為是，的中點，所以，因為，所以，即，解得，所以，故正確；，故錯誤；由可得點在圓上，，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離，所以，故正確；若，則，所以數列的前項和為，故正確．故選：．【點評】本題主要考查數列的求和，向量的數量積運算，點到直線的距離公式的應用，考查運算求解能力，屬于難題．三．填空題（共27小題）34．（2021秋?西城區校級月考）已知只有50項的數列滿足下列三個條件：①，0，，；②；③．對所有滿足上述條件的數列，共有個不同的值，則6．【解答】解：設，，，中有項取值0，由條件（2）知，取值1的項數為，取值的項數為，再由條件（3）得，解得，又易知必為奇數，故，9，11，13，15，17，它們對應6個不同值．故答案為：6．【點評】本題考查歸納推理，屬于基礎題型．35．（2021秋?城關區校級月考）關于函數有如下四個命題：①的圖象關于原點對稱；②在，上單調遞增；③函數共有6個極值點；④方程共有6個實根．其中所有真命題的序號是①②④．【解答】解：對于①，的定義域為，，故是奇函數，的圖象關于原點對稱，故①正確；對于②，，故當時，，在，上單調遞增，故②正確；對于③，令可得，故在和，上單調遞增，在，上單調遞減，令可得或，作出的函數圖象，由圖象可知只有5個極值點，故③錯誤；對于④，是奇函數，故是偶函數，的極大值為，有6個根，故④正確．故答案為：①②④【點評】本題考查函數奇偶性，單調性判斷，考查函數極值計算，函數圖象變換，屬于中檔題．36．（2021秋?沙坪壩區校級月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則的取值范圍是．【解答】解：由，可得，即，，由即，由恒等式，得，即．【點評】本題考查余弦定理及余弦定理的應用，再由正切公式的結論即可得的結論，屬于中檔題．37．（2021?深圳模擬）著名的費馬問題是法國數學家皮埃爾德費馬于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。辟M馬問題中的所求點稱為費馬點，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當的三個內角均小于時，則使得的點即為費馬點．已知點為的費馬點，且，若，則實數的最小值為．【解答】解：設，，，其中，，，由余弦定理可得，，，因為，所以，即，因為，，所以，即，當且僅當時，取得等號．因為，所以，所以，解得或（舍去），當且僅當時，取得等號．所以的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查費馬點的理解和運用，以及三角形的余弦定理和基本不等式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．38．（2021春?和平區校級期末）若函數在區間，有三個不同的零點，則實數的取值范圍是．【解答】解：，當，，時，；當時，；在，，，上單調遞增，在上單調遞減，又，由在區間，有三個不同的零點，得其大致圖象如下圖所示：，解得，即實數的取值范圍為．【點評】本題考查函數零點的判定，考查利用導數研究函數的單調性，考查數形結合思想，是中檔題．39．（2021?河西區校級模擬）已知，則的最小值為．【解答】解：因為，所以，，且，所以，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了“1”的代換，利用基本不等式求解最值，考查了轉化思想，屬于中檔題．40．（2021?天津）已知函數的圖象與函數的圖象恰有兩個交點，則實數的取值范圍是，，．【解答】解：函數，如圖所示：故當一次函數的斜率滿足或時，直線與函數的圖象相交于兩點，故答案為，，．【點評】本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．41．（2021秋?西城區校級期中）設是含數1的有限實數集，是定義在上的函數．（1）若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則（1）是（填是或否）可能為1．（2）若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則（1）可能取值只能是．①②③④0【解答】解：（1）由題意得到：問題相當于圓上由4個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當（1）（2）通過代入，當（1），，0時此時得到的圓心角為，，0，然而此時或者時，都有2個與之對應，而我們知道函數的定義就是要求一個只能對應一個，因此只有當，此時旋轉，此時滿足一個只會對應一個，因此答案就選：②．故答案為：1；②．【點評】本題考查的知識要點：定義性函數的應用．42．（2021秋?東城區校級月考）定義在，上的函數滿足：當時，；當時，．若方程在區間，上恰有3個不同的實根，則的所有可能取值集合是．【解答】解：當，時，，當，時，，，，當，時，，，，當，時，，，，當，時，，，．由方程在區間，上恰有3個不同的實根，可知直線與的圖象在，上恰有3個交點．作出函數在，上的圖象，如下圖所示，①函數在，的最高點為，過作斜率為1的直線，該直線與軸交于點，且，此時直線與只有1個交點；②將直線向下平移，直至與第一次相切，此時直線記為，設切點為，，易知，求導得，則，可得，即切點為，此時為，由，可知與在，上有2個交點，在上無交點，即與在，上有3個交點，符合題意；③將直線向下平移，直至與第二次相切前，在此過程中，直線始終與在，上有3個交點，當直線第二次與相切，記直線為，設切點為，，易知，求導得，則，可得，，由，則切點為，所以為，與在，上有4個交點，從到的平移過程中，滿足題意的；④將向下平移，直至過點，此時直線記為，方程為，在此過程中直線與的交點始終超過3個，都不符合題意；⑤將向下平移，直至過點，此時直線記為，方程為，在此過程中直線與的交點都是3個（不包含和，滿足題意的；⑥將向下平移，都不符合題意．綜上，的所有可能取值集合是．【點評】本題考查函數圖象的應用，考查根據方程解的個數求參數，考查轉化思想，考查學生的推理能力與計算求解能力，屬于中等題．43．（2021秋?湖北月考）已知，若存在實數，使不等式成立成立，則的最大值為．【解答】解：依題意，存在實數，使不等式成立，即，亦即，，令，，則存在實數，使不等式，即成立，作出和的圖象如圖所示，結合圖象可知，取得最大值時，和相切，由于和關于直線對稱，所以取得最大值時，與的相切于直線（切點相同），如圖所示，由可知，設切點為，則斜率為，故①，由可知，設切點為，則斜率為，則，解得，將代入①得，即，所以，解得．故答案為：．【點評】本題考查函數與導數的綜合運用，考查不等式的恒成立問題，考查轉化思想及數形結合思想，屬于難題．44．（2021?海淀區校級模擬）將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數填入如圖所示的正方形網格中，每個數填一次，每個小方格中填一個數．考慮每行從左到右，每列從上到下，兩條對角線從上到下這8個數列，給出下列四個結論：①這8個數列有可能均為等差數列；②這8個數列中最多有3個等比數列；③若中間一行、中間一列、兩條對角線均為等差數列，則中心數必為5；④若第一行、第一列均為等比數列，則其余6個數列中至多有1個等差數列．其中所有正確結論的序號是①②③．【解答】解：①如圖將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數依次填入網格中，則這8個數列均為等差數列，故①正確．②在1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數中，等比數列有：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．由于1，2，4和2，4，8這兩個等比數列不可能在網格中不可能在同一列，同行或對角線上，所以這8個數列中最多有3個等比數列，例如如圖滿足有3個等比數列故②正確③若三個數，，成等差數列，則，根據題意要有4組數成等差數列，且中間的數相同，則只能是由，則中間一行、中間一列、兩條對角線四列的數分別為：1，5，9；2，5，8；3，5，7；4，5，6時滿足條件；中心數為其他數時，不滿足條件，故③正確．④若第一行為1，2，4；第一列為1，3，9，滿足第一行、第一列均為等比數列，第二行為3，5，7，第二列為2，5，8，則第二行，第二列為等差數列，此時有兩個等差數列．故④不正確，故答案為：①②③．【點評】本題主要考查等差數列和等比數列的應用，根據數字之間的關系，結合等比數列和等差數列的定義分別進行討論是解決本題的關鍵，是中檔題．45．（2021春?朝陽區期末）若函數的導數存在導數，記的導數為．如果對任意，都有成立，則有如下性質：．其中，，，，．若，則；根據上述性質推斷：當且，，時，根據上述性質推斷：的最大值為．【解答】解：設，，則，則，，有如下性質：．則，的最大值為，故答案為：，．【點評】本題考查函數的性質，考查正弦函數的性質，考查轉化思想，屬于中檔題．46．（2021秋?越城區校級期中）已知，不等式在，上恒成立，則的取值范圍是．【解答】解：作出分段函數的圖象如圖，要使不等式在，上恒成立，則在，上恒成立，即在，上恒成立，，解得：．故答案為：．【點評】本題考查了恒成立問題，考查了分段函數的應用，解答此題的關鍵是把恒成立問題轉化為含的不等式，是中檔題．47．（2021?北京）已知點，，．若平面區域由所有滿足的點組成，則的面積為3．【解答】解：設的坐標為，則，，，，，解之得，，點坐標滿足不等式組作出不等式組對應的平面區域，得到如圖的平行四邊形及其內部其中，，，，點到直線的距離為平行四邊形的面積為，即動點構成的平面區域的面積為3故答案為：3【點評】本題在平面坐標系內給出向量等式，求滿足條件的點構成的平面區域的面積．著重考查了平面向量的坐標運算、二元一次不等式組表示的平面區域和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．48．（2021秋?黃浦區校級期中）已知等差數列中公差，，若，，成等比數列，且，，，，，，，成等比數列，若對任意，恒有，則1或2．【解答】解：根據題意，等差數列中，，，成等比數列，，，解得．．，，，，，，成等比數列，首項為1，公比為3．．由，得，．對任意，恒有，即恒成立，令，則．當或時，最大，當時，為減函數，則要使對任意，恒有，則或2．故答案為：1或2．【點評】本題考查數列遞推式，考查了等比數列的性質，考查數列的函數特性，是中檔題．49．（2021秋?洮南市校級月考）已知函數，若對任意的，，均存在使得，則實數的取值范圍是，．【解答】解：當時，，的值域為，，又對任意的，，均存在使得，當時，的值域包含，，對稱軸為，當時，△，解得，即，當時，△且，解得，解得，綜上所述，的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題主要考查分段函數的應用，需要學生掌握分類討論的思想，屬于中檔題．50．（2021秋?洮南市校級月考）以下四個結論，正確結論的序號是③④．①存在，使；②在其定義域內為增函數；③最小正周期為；④既有最大、最小值，又是偶函數．【解答】解：對于①，當時，，故①錯誤；對于②，應該是在每一個區間上為增函數，而不是定義域內為增函數，故②錯誤；對于③，的最小正周期為，則，，故③正確；對于④，原函數可化為，顯然，故該函數為偶函數，令，，函數化為，當時，，時，，故④正確．故答案為：③④．【點評】本題考查命題真假的判斷以及三角函數的有關概念、性質和方法，屬于中檔題．51．（2021秋?臨沂期中）設函數是定義在上的偶函數，且對于任意的恒有，已知當，時，．則①2是的周期；②函數在上是增函數；③函數的最大值為1，最小值為0；④直線是函數圖象的一條對稱軸．其中所有正確命題的序號是①②④．【解答】解：對于任意的恒有，，是函數的周期，即①正確；設，則，當，時，，函數單調遞增，2是函數的周期，函數在上是增函數，即②正確；，時，，，時，函數的最大值為3，最小值為1，結合①②可知，③不正確；函數是定義在上的偶函數，2是函數的周期，直線是函數圖象的一條對稱軸，即④正確．故答案為①②④．