9/9專題11圓錐曲線點差法與第三定義【預備知識一】中點弦模型（圓錐曲線中的垂徑定理） 橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓上任意2點，且弦不平行軸，M為線段AB中點，則有證明（點差法）：設，，則中點，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標得① ②兩式相減得： ，整理得 ∴【思考】①橢圓焦點在軸上時，結論是否仍然成立？；②在雙曲線中是否有類似的性質？設，，則，仍有，，注：拋物線中同樣存在類似性質：【鞏固練習一】例1人教A版（2019）選擇性必修第一冊習題3.1P14（拓展探索）已知橢圓,一組平行直線的斜率是.(1)這組直線何時與橢圓相交?(2)當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.例2橢圓，求以為中點的弦所在的在直線的方程。例3：給定雙曲線，過點能否作直線m，使m與所給的雙曲線相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點．這樣的直線如果存在，求出它的方程，如果不存在．說明理由。【補充】，可以理解為AB兩點無限接近（極限思想），也可以用橢圓切線方程得到 【預備知識二】第三定義 那么點差法是不是只能解決同時與中點和斜率有關的問題呢?其實不然．其實點差法的內核還是“設而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點橫縱坐標和差之間的聯系，這其實也是第三定義的體現.第三定義：平面內與兩個定點，的斜率乘積等于常數的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個頂點)．其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點．當常數大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數大于0時為雙曲線，此時．【第三定義推廣】：平面內與兩個關于原點對稱的點，的斜率乘積等于常數的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當常數大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數大于0時為雙曲線，此時．

【情景練習】是橢圓上的一組對稱點，P為橢圓上任意點，則有 證明（點差法）：設，，，法二：通過橢圓的垂徑定理轉換【思考1】在雙曲線中是否有類似的性質？設，，，，，法二：雙曲線垂徑定理設，

【鞏固練習二】例1課本習題設，兩點的坐標分別為，．直線，相交于點.（1）如圖，若直線與的斜率之積是，求點的軌跡方程．（2）若直線與的斜率之積是，求點的軌跡方程例22019全國二卷21題(節選)已知點，動點滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G，證明：△PQG是直角三角形．

【鞏固練習三】定比點差法【預備知識一】定比分點若則稱點P為線段AB的分點，點P分有向線段AB的比為，當點P在線段AB上時，點P為內分點，點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，點P為外分點(其中AB，AP，PB均為有向線段).例1若，，且，表示出P點坐標.【解】則有，∴定比分點公式：令，，，且點P分有向線段的比為，即.則，

例2已知橢圓，過橢圓的左焦點F且斜率的直線l與橢圓交A，B兩點(A點在B點的上方)，若有，則橢圓的離心率為．策略一韋達定理令直線，，由，得：(則由得，則即，整理得：，得：所以策略二定比點差法令，，則有因為,則有，即代入A,B坐標，有：① ②①－4×②得：，則有，又代入橢圓方程得：解得或（舍）.即1/11專題11圓錐曲線點差法與第三定義【預備知識一】中點弦模型（圓錐曲線中的垂徑定理） 橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓上任意2點，且弦不平行軸，M為線段AB中點，則有證明（點差法）：設，，則，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴【思考】①橢圓焦點在軸上時，結論是否仍然成立？；②在雙曲線中是否有類似的性質？設，，則，仍有，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標得① ②兩式相減得：，整理得 ∴可以看到，這一等式建立了二次曲線弦的斜率與弦的中點坐標之間關系式．也就是說，已知弦的中點，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中點坐標．同時也不難得出這樣的經驗，當題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點時，就可以考慮“點差法”．諸如求中點弦的方程，弦中點的軌跡，垂直平分線等等，這些都是較為常見題型．∵A，B在雙曲線上，代入A，B坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴注：拋物線中同樣存在類似性質：【鞏固練習一】例1人教A版（2019）選擇性必修第一冊習題3.1P14（拓展探索）已知橢圓,一組平行直線的斜率是.(1)這組直線何時與橢圓相交?(2)當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.答案(1)直線與橢圓相交.(2)這些直線被橢圓截得的線段的中點均在直線上.解析設這組平行線的方程為.把代人橢圓方程,得,其根的判別式.(1)由,得.所以當這組直線在軸上的截距的取值范圍是時,直線與橢圓相交.(2)設直線被橢圓截得的線段的中點為,則,其中是方程的兩個實數根.聯立和,消去,得.因此當這組直線與橢圓相交時,這些直線被橢圓截得的線段的中點均在直線上.例2橢圓，求以為中點的弦所在的在直線的方程。解：設弦的兩端點為，則，兩式相減，又，，等式兩邊同除，可得，則所求方程為.例3：給定雙曲線，過點能否作直線m，使m與所給的雙曲線相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點．這樣的直線如果存在，求出它的方程，如果不存在．說明理由。分析：點差法解出．但是將代人雙曲線方程得一元二次方程，此方程無實根，故滿足題設的直線不存在。這種題型只要給出曲線方程，和一個定點坐標，利用點差法肯定能計算出以這一點為中點的直線方程。但是如果忽視對判別式的考察．將得出錯誤的結果．所以解題時一定要注意點差法的不等價性，即考慮判別式大于零。同時由此題可看到中點弦問題中判斷點P的位置非常重要。(1)若中點P在圓錐曲線內。則被點P平分的弦一般存在；(2)若中點肘在圓錐曲線外．則被點P平分的弦可能不存在．【補充】，可以理解為AB兩點無限接近（極限思想），也可以用橢圓切線方程得到 【預備知識二】第三定義 那么點差法是不是只能解決同時與中點和斜率有關的問題呢?其實不然．其實點差法的內核還是“設而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點橫縱坐標和差之間的聯系，這其實也是第三定義的體現.第三定義：平面內與兩個定點，的斜率乘積等于常數的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線(不含兩個頂點)．其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點．當常數大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數大于0時為雙曲線，此時．【第三定義推廣】：平面內與兩個關于原點對稱的點，的斜率乘積等于常數的點的軌跡叫做橢圓或雙曲線．當常數大于－1小于0時為橢圓，此時；當常數大于0時為雙曲線，此時．

【情景練習】是橢圓上的一組對稱點，P為橢圓上任意點，則有 證明（點差法）：設，，，，，∵P，A在橢圓上，代入坐標得① ②兩式相減得：，整理得∴法二：通過橢圓的垂徑定理轉換 中點弦和第三定義本質上是一樣的【思考1】在雙曲線中是否有類似的性質？設，，，，，① ②兩式相減得：，整理得∴法二：雙曲線垂徑定理設，∵P，B在雙曲線上，代入雙曲線方程得① ②兩式相減得：，整理得∴【鞏固練習二】例1課本習題設，兩點的坐標分別為，．直線，相交于點.（1）若直線與的斜率之積是，求點的軌跡方程．（2）若直線與的斜率之積是，求點的軌跡方程【答案】（1）點的軌跡是除去，兩點的橢圓【分析】分析：設點的坐標為，那么直線，的斜率就可用含，的關系式分別表示．由直線，的斜率之積是，可得出，之間的關系式，進而得到點的軌跡方程．【解析】設點的坐標為，因為點的坐標是，所以直線的斜率同理，直線的斜率由已知，有化簡，得點的軌跡方程為∴點的軌跡是除去，兩點的橢圓．（2）同理可得化簡，得點的軌跡方程為∴點的軌跡是除去，兩點的雙曲線.例22019全國二卷21題(節選)已知點，動點滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交C于兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G，證明：△PQG是直角三角形．【簡證】解：(1)(2)如圖，易得，又(橢圓的第三定義)即PQ⊥PG.詳細證明需要設點用點差法或者設直線聯立求解．

【鞏固練習三】定比點差法【預備知識一】定比分點若則稱點P為線段AB的分點，點P分有向線段AB的比為，當點P在線段AB上時，點P為內分點，點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，點P為外分點(其中AB，AP，PB均為有向線段).例1若，，且，表示出P點坐標.【解】則有，