第3講解三角形高考預測一：三角形中的求值問題類型一：三角恒等變換1．在中，內角、、的對邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若，，求的面積．2．在中，內角、、所對的邊分別為、、，已知，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面積．3．的內角，，的對邊分別為，，．設．（1）求；（2）若，求．4．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答．問題：的內角，，的對邊分別為，，，若，___，求和．類型二：幾何圖形5．在中，，，點在邊上，，．（1）求；（2）求的面積．6．如圖，在中，，，點在邊上，且，．（1）求；（2）求，的長．7．如圖，在中，，，點在線段上．（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值．8．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的長．9．如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．10．在平面四邊形中，的面積為2．（1）求的長；（2）求的面積．11．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）當四邊形內接于圓時，求四邊形的面積；（2）當四邊形的面積最大時，求對角線的長．12．如圖所示，已知圓內接四邊形，記．（1）求證：；（2）若，，，，求的值及四邊形的面積．13．如圖，角，，，為平面四邊形的四個內角，，，．（1）若，，求；（2）若，，求．14．某市欲建一個圓形公園，規劃設立，，，四個出入口（在圓周上），并以直路順次連通，其中，，的位置已確定，，（單位：百米），記，且已知圓的內接四邊形對角互補，如圖，請你為規劃部門解決以下問題．（1）如果，求四邊形的區域面積；（2）如果圓形公園的面積為萬平方米，求的值．類型三：向量問題15．銳角的內角，，所對的邊分別為，，，向量與平行．（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍．16．在中，內角，，的對邊分別為，，，且．已知，，．求：（1）和的值；（2）的值．17．中，、、分別是三內角、、的對邊，若．解答下列問題：（1）求證：；（2）求的值；（3）若，求的面積．高考預測二：三角形中的取值范圍或最值類型一：化為角的關系18．設是銳角三角形，，，分別是內角，，所對邊長，．（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．19．在中，角、、的對邊分別為、、，、、成等差數列．（1）若，，求的值；（2）設，求的最大值．20．在中，角，，所對的邊分別為，，，角，，依次成等差數列．（1）若，試判斷的形狀；（2）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍．類型二：周長或邊長的范圍21．在中，角，，所對的邊分別是，，，且，，依次成等差數列．（1）求角的大小；（2）若，求周長的取值范圍．22．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．23．在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若為銳角三角形，其外接圓的半徑為，求的周長的取值范圍．類型三：面積的范圍24．在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值．25．在內角、、的對邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．26．的內角、、的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．27．已知圓的半徑為為常數），它的內接三角形滿足成立，其中，，分別為，，的對邊，（1）求角；（2）求三角形面積的最大值．第3講解三角形高考預測一：三角形中的求值問題類型一：三角恒等變換1．在中，內角、、的對邊分別為、、，已知．（1）求的值；（2）若，，求的面積．【解析】解：（1），，，，，；（2）由（1）可得，由余弦定理可得，，解得，則，，，．2．在中，內角、、所對的邊分別為、、，已知，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面積．【解析】（本題滿分為12分）解：（Ⅰ）．，分可得：，可得：，分中，，可得，，，可得：分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，可得：，，分，分，由正弦定理，可得：，分分（注：解法較多，酌情給分，直接的也給分）3．的內角，，的對邊分別為，，．設．（1）求；（2）若，求．【解析】解：（1）的內角，，的對邊分別為，，．．，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．4．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答．問題：的內角，，的對邊分別為，，，若，___，求和．【解析】解：若選①，，由正弦定理可得，則，由余弦定理可得，又，，，，，，，，．若選②，，由正弦定理可得，，，，，，，，，，，，，．若選③，由正弦定理可得，，，或，，，，，，，，．類型二：幾何圖形5．在中，，，點在邊上，，．（1）求；（2）求的面積．【解析】解：（1）由，可得，則．（2）在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，所以的面積．6．如圖，在中，，，點在邊上，且，．（1）求；（2）求，的長．【解析】解：（1）在中，因為，所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得：．所以．7．如圖，在中，，，點在線段上．（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值．【解析】解：（1）中，，．，．中，由正弦定理可得，；（2）設，則，，的面積為，，，由正弦定理可得，．，，，．8．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，，求的長．【解析】解：，，（1）在中，由余弦定理，得．；（2）設，則，，在中，由正弦定理，，解得：．即的長為3．9．如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】解：（1）中，，，，由正弦定理得，即，解得；（2）由，所以，在中，由余弦定理得：，解得．10．在平面四邊形中，的面積為2．（1）求的長；（2）求的面積．【解析】解：（1）由已知，所以，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以．（2）由，得，所以，又，，所以為等腰三角形，即，在中，由正弦定理得：，所以．11．如圖，在平面四邊形中，，，．（1）當四邊形內接于圓時，求四邊形的面積；（2）當四邊形的面積最大時，求對角線的長．【解析】（本題滿分為14分）解：（1）連接，由余弦定理可得：，，可得：，分又四邊形內接于圓，則又，所以：，化簡可得：，又，所以，，分所以，分（2）設四邊形的面積為，則，可得：，分可得：，可得：，平方后相加，可得：，即：，分又，當時，有最大值，即有最大值．此時，，代入，可得：，又，可得：，分在中，可得：，可得．分12．如圖所示，已知圓內接四邊形，記．（1）求證：；（2）若，，，，求的值及四邊形的面積．【解析】解：（1）．（2）由于：，，，，由題知：，可得：，則，，則，則，．13．如圖，角，，，為平面四邊形的四個內角，，，．（1）若，，求；（2）若，，求．【解析】解：（1）在中，，，，中，由正弦定理，．（2）在中，，在中，，，，可得：，可得：，可得，則，．14．某市欲建一個圓形公園，規劃設立，，，四個出入口（在圓周上），并以直路順次連通，其中，，的位置已確定，，（單位：百米），記，且已知圓的內接四邊形對角互補，如圖，請你為規劃部門解決以下問題．（1）如果，求四邊形的區域面積；（2）如果圓形公園的面積為萬平方米，求的值．【解析】解：（1）連結，可得四邊形的面積為：，四邊形內接于圓，，可得．．在中，由余弦定理可得：，同理可得：在中，，，結合，得，解得，，，代入式，可得四邊形面積．（2）設圓形公園的半徑為，則面積為萬平方米，可得：，可得：，由正弦定理，可得：，由余弦定理可得：，，兩邊平方，整理可得：，，，整理可得：，解得：，或．類型三：向量問題15．銳角的內角，，所對的邊分別為，，，向量與平行．（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍．【解析】解：（1）因為：，所以：，由正弦定理，得：，又因為：，從而可得：，由于：，所以：．（2）因為：由正弦定理知，可得：三角形周長，又因為：，所以：，因為：為銳角三角形，所以：，，，所以：．16．在中，內角，，的對邊分別為，，，且．已知，，．求：（1）和的值；（2）的值．【解析】解：（1），，，可得，即為；，即為，解得，或，，由，可得，；（2）由余弦定理可得，，，則．17．中，、、分別是三內角、、的對邊，若．解答下列問題：（1）求證：；（2）求的值；（3）若，求的面積．【解析】證明：（1）因，故，即．由正弦定理，得，故，因為，故，故．（4分）（2）因，故，由余弦定理得，即；又由（1）得，故，故．（10分）（3）由得，即，故，因，故，故是正三角形，故面積．（16分）高考預測二：三角形中的取值范圍或最值類型一：化為角的關系18．設是銳角三角形，，，分別是內角，，所對邊長，．（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．【解析】解：（1）由正弦定理得：，為銳角，故，，而為銳角，．（2），，．是銳角三角形，，，，，．．19．在中，角、、的對邊分別為、、，、、成等差數列．（1）若，，求的值；（2）設，求的最大值．【解析】解：（1）、、成等差數列，，，，，，，；（2），，，，的最大值是．20．在中，角，，所對的邊分別為，，，角，，依次成等差數列．（1）若，試判斷的形狀；（2）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍．【解析】解：（1），．，，依次成等差數列，，．由余弦定理，，．為正三角形．（2）要求的式子．，，，故．代數式的取值范圍是，．類型二：周長或邊長的范圍21．在中，角，，所對的邊分別是，，，且，，依次成等差數列．（1）求角的大小；（2）若，求周長的取值范圍．【解析】解：（1），，成等差數列，．又，；（2）在中，由正弦定理，，的周長．又，．周長的取值范圍，．22．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1）由已知得：，即，，，即，又為三角形的內角，則；（2），即，，由余弦定理得：，即，，，則．23．在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若為銳角三角形，其外接圓的半徑為，求的周長的取值范圍．【解析】解：（1）中，由，得，即；所以；又，所以；（2）由（1）知，且外接圓的半徑為，由正弦定理得，；由正弦定理得；所以；，所以；又為銳角三角形，則且，又，則，所以；所以；所以，即周長的取值范圍是，．類型三：面積的范圍24．在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值．【解析】解：（1），，由正弦定理，得：．整理得．．在中，．，．（2）由余弦定理，．，當且僅當時取“”．三角形的面積．三角形面積的最大值為．25．在內角、、的對邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．【解析】解：（1），根據正弦定理，得①，．②，比較①②，可得，即，結合為三角形的內角，可得；（2）中，，，根據余弦定理，可得，化簡可得，即當且僅當時等號成立．面積，綜上所述，當且僅當時，面積的最大值為．26．的內角、、