第第頁第02講有理數的減法課程標準學習目標①有理數的減法法則②省略式子中的括號和加號③有理數的加減混合運算1.掌握有理數的減法運算法則，能夠熟練的對有理數進行減法運算。2.掌握省略括號和加號的方法以及有理數加減的混合運算，在有理數的加減運算中熟練的應用。知識點01有理數的減法減法運算法則：減去一個數等于加上這個數的相反數，把減法變成加法計算。即。較大的數－較小的數＝正數。即則＞0。較小的數－較大的數＝負數。即＜0。相等的數的差等于0。即＝0。【即學即練1】1．計算：（1）（﹣3）﹣（+6）（2）﹣（﹣）（3）（﹣2）﹣（4）0﹣（﹣8）【分析】根據有理數的減法運算法則分別進行計算即可得解．【解答】解：（1）（﹣3）﹣（+6）＝（﹣3）+（﹣6）＝﹣9；（2）﹣（﹣）＝+＝；（3）（﹣2）﹣＝（﹣2）+（﹣）＝﹣2；（4）0﹣（﹣8）＝0+（+8）＝8．知識點02省略式子中的加號和括號省略式子中的加號和括號：在一如相反數后，根據有理數的減法運算法則，有理數的加減混合運算可以統一成加法運算，為了簡化書寫形式，通常把式子中的加號和括號省略。【即學即練1】2．寫成省略加號和的形式后為﹣6﹣7﹣2+9的式子是（）A．（﹣6）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9） B．﹣（+6）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9） C．（﹣6）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9） D．﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）【分析】根據有理數的減法運算，減去一個數等于加上這個數的相反數對各選項進行省略整理即可得解．【解答】解：A、（﹣6）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9）＝﹣6﹣7+2+9，故本選項錯誤；B、﹣（+6）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9）＝﹣6+7﹣2﹣9，故本選項錯誤；C、（﹣6）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9）＝﹣6﹣7+2+9，故本選項錯誤；D、﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）＝﹣6﹣7﹣2+9，故本選項正確．故選：D．知識點03有理數的加減混合運算有理數的加減混合運算步驟：有理數的加減混合運算先將混合運算統一成加法運算，然后運用加法交換律，結合律等進行簡便運算。【即學即練1】3．計算：（1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）；（2）3）+5+（﹣8）；（3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）；（4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2．【分析】（1）先利用去括號法則去掉括號，再利用法則進行有理數的運算；（2）先利用去括號法則去掉括號，再利用加法的交換律結合律把同分母分數結合在一起運算；（3）先利用去括號法則去掉括號，再利用有理數的加減混合運算法則進行運算；（4）先把互為相反數的兩個分數結合在一起，然后利用有理數的加減法則計算．【解答】解：（1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）＝4.7+8.9﹣7.5﹣6＝13.6﹣13.5＝0.1；（2）3）+5+（﹣8）＝3﹣2+5﹣8＝3+5﹣2﹣8＝8.5﹣11＝﹣2.5；（3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2＝3.9﹣11.9＝﹣8；（4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2＝﹣0.2﹣1＝﹣1.2．題型01有理數的減法及其加減混合運算【典例1】計算：（1）16﹣47；（2）28﹣（﹣74）；（3）（﹣37）﹣（﹣85）；（4）（﹣54）﹣14；（5）123﹣190；（6）（﹣112）﹣98；（7）（﹣131）﹣（﹣129）；（8）341﹣249．【分析】根據有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數計算．【解答】解：（1）16﹣47＝16+（﹣47）＝﹣31；（2）28﹣（﹣74）＝28+74＝102；（5）123﹣190＝123+（﹣190）＝﹣67；（7）（﹣131）﹣（﹣129）＝（﹣131）+129＝﹣2；（3）（﹣37）﹣（﹣85）＝（﹣37）+85＝48；（4）（﹣54）﹣14＝（﹣54）+（﹣14）＝﹣68；（6）（﹣112）﹣98＝（﹣112）+（﹣98）＝﹣210；（8）341﹣249＝92．【變式1】計算：（1）1.6﹣（﹣2.5）；（2）0.4﹣1；（3）（﹣3.8）﹣7；（4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1）；（5）（﹣2.3）﹣3.6；（6）4.2﹣5.7；（7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45）；（8）6.18﹣（﹣2.93）．【分析】將每一個算式轉化為代數和的形式，再利用加法法則計算．【解答】解：（1）1.6﹣（﹣2.5）＝1.6+2.5＝4.1；（2）0.4﹣1＝0.4+（﹣1）＝﹣0.6；（3）（﹣3.8）﹣7＝（﹣3.8）+（﹣7）＝﹣10.8；（4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1）＝（﹣5.9）+6.1＝0.2；（5）（﹣2.3）﹣3.6＝（﹣2.3）+（﹣3.6）＝﹣5.9；（6）4.2﹣5.7＝4.2+（﹣5.7）＝﹣1.5；（7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45）＝（﹣3.71）+1.45＝﹣2.26；（8）6.18﹣（﹣2.93）＝6.18+2.93＝9.11．【變式2】計算．（1）0﹣（﹣3）．（2）（﹣16）﹣（﹣18）﹣（﹣12）﹣24；（3）23﹣36﹣（﹣76）﹣（﹣105）；（4）（﹣32）﹣87﹣（﹣72）﹣（﹣27）．（5）2.75﹣（﹣8.5）﹣1.5﹣2.75．（6）；（7）．【分析】（1）原式利用減法法則計算即可得到結果；（2）原式利用減法法則變形，計算即可得到結果；（3）原式利用減法法則變形，計算即可得到結果；（4）原式利用減法法則變形，計算即可得到結果；（5）原式利用減法法則變形，計算即可得到結果；（6）原式利用減法法則變形，計算即可得到結果；（7）原式利用減法法則及絕對值的代數意義化簡，即可得到結果．【解答】解：（1）原式＝0+3＝3；（2）原式＝（﹣16）+18+12+（﹣24）＝﹣16+18+12﹣24＝﹣10；（3）原式＝23+（﹣36）+76+105＝23+76+105﹣36＝168；（4）原式＝（﹣32）+（﹣87）+72+27＝﹣119+99＝﹣20；（5）原式＝2.75+8.5﹣1.5﹣2.75＝11.25﹣4.25＝7；（6）原式＝﹣+1+1﹣1.75＝1；（7）原式＝23+15﹣7＝31．【變式3】計算：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15；（2）﹣40﹣28﹣（﹣19）+（﹣24）﹣（﹣32）；（3）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5+（﹣6）．【分析】有理數的加減混合運算，一般應統一成加法運算，再運用運算律進行簡化計算．【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15＝12+18﹣7﹣15＝30﹣22＝8；（2）﹣40﹣28﹣（﹣19）+（﹣24）﹣（﹣32）＝﹣40﹣28+19﹣24+32＝﹣40﹣28﹣24+19+32＝﹣41；（3）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5+（﹣6）＝4.7+8.9﹣7.5﹣6＝0.1．【變式4】計算：（1）（﹣36）﹣（﹣25）﹣（+36）+（+72）；（2）（﹣8）﹣（﹣3）+（+5）﹣（+9）；（3）；（4）﹣9+（﹣3）+3．【分析】（1）（2）利用有理數加減運算法則：同號兩數相加，取相同符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用加大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0.3；從而求解．（3）（4）可以先通分然后再進行有理數加減運算；【解答】解：（1）（﹣36）﹣（﹣25）﹣（+36）+（+72）＝﹣36+25﹣36+72＝25；（2）（﹣8）﹣（﹣3）+（+5）﹣（+9）＝﹣8+3+5﹣9＝﹣9；（3）＝﹣﹣+﹣＝﹣+﹣＝﹣；（4）﹣9+（﹣3）+3＝﹣9﹣+＝﹣9；【變式5】計算：（1）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16）（2）+（﹣）﹣1+（3）（﹣26.54）+（﹣6.4）﹣18.54+6.4（4）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣3（5）0+1﹣[（﹣1）﹣（﹣）﹣（+5）﹣（﹣）]+|﹣4|【分析】（1）（2）（3）先去括號，然后進行有理數的加減運算．（4）先去小括號，再去中括號，然后再進行有理數的加減運算．【解答】解：（1）原式＝23﹣17+7﹣16，＝23+7﹣17﹣16，＝﹣3．（2）原式＝（+﹣1）+（﹣），＝﹣．（3）原式＝（﹣26.54）﹣18.54+[（﹣6.4）+6.4]，＝（﹣26.54）﹣18.54，＝﹣45.08．（4）原式＝（﹣4）+5+（﹣4）﹣3，＝（﹣4﹣4﹣3）+5，＝﹣12+5＝﹣6．（5）原式＝1﹣[（﹣1）+﹣5+]+4，＝1﹣[（﹣1+）﹣5]+4，＝10．題型02利用有理數的減法求數軸上兩點之間的距離【典例1】數軸上兩點之間的距離等于相應兩數差的絕對值①數軸上表示3和8的兩點之間的距離是5；數軸上表示﹣3和﹣9的兩點之間的距離是6；數軸上表示2和﹣8的兩點之間的距離是10；②數軸上表示x和﹣2的兩點A和B之間的距離是|x+2|；如果|AB|＝4，那么x為2或﹣6；③當代數式|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值時，相應的x的值是2．【分析】①和②，主要是根據數軸上兩點之間的距離等于相對應兩數差的絕對值或直接讓較大的數減去較小的數，進行計算；③，結合數軸和兩點間的距離進行分析．【解答】解：①數軸上表示3和8的兩點之間的距離是8﹣3＝5；數軸上表示﹣3和﹣9的兩點之間的距離是﹣3﹣（﹣9）＝6；數軸上表示2和﹣8的兩點之間的距離是2﹣（﹣8）＝10；②數軸上表示x和﹣2的兩點A和B之間的距離是|x+2|，如果|AB|＝4，則|x+2|＝4，x+2＝±4，x＝2或﹣6；③|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的幾何意義是：數軸上表示數x的點到表示﹣1、2、3的三點的距離之和，顯然只有當x＝2時，距離之和才是最小．【變式1】閱讀理解：數軸上線段的長度可以用線段端點表示的數進行減法運算得到，例如圖，線段AB＝1＝0﹣（﹣1）；線段BC＝2＝2﹣0；線段AC＝3＝2﹣（﹣1）問題（1）數軸上點M、N代表的數分別為﹣9和1，則線段MN＝10；（2）數軸上點E、F代表的數分別為﹣6和﹣3，則線段EF＝3；（3）數軸上的兩個點之間的距離為5，其中一個點表示的數為2，則另一個點表示的數為m，求m．【分析】（1）根據點M、N代表的數分別為﹣9和1，可得線段MN＝1﹣（﹣9）；（2）根據點E、F代表的數分別為﹣6和﹣3，可得線段EF＝﹣3﹣（﹣6）；（3）根據一個點表示的數為2，另一個點表示的數為m，即可得到|m﹣2|＝5．【解答】解：（1）∵點M、N代表的數分別為﹣9和1，∴線段MN＝1﹣（﹣9）＝10；故答案為：10；（2）∵點E、F代表的數分別為﹣6和﹣3，∴線段EF＝﹣3﹣（﹣6）＝3；故答案為：3；（3）由題可得，|m﹣2|＝5，解得m＝﹣3或7，∴m值為﹣3或7．【變式2】如圖，數軸上的點A、O、B、C、D分別表示﹣3、0、2.5、5、﹣6，回答下列問題．（1）O、B兩點間的距離是2.5．（2）A、D兩點間的距離是3．（3）C、B兩點間的距離是2.5．（4）請觀察思考，若點A表示數m，且m＜0，點B表示數n，且n＞0，那么用含m，n的代數式表示A、B兩點間的距離是n﹣m．【分析】首先由題中的坐標軸得到各點的坐標，坐標軸上兩點的距離為兩數坐標差的絕對值．【解答】解：（1）B、O的距離為|2.5﹣0|＝2.5（2）A、D兩點間的距離|﹣3﹣（﹣6）|＝3（3）C、B兩點間的距離為：|5﹣2.5|＝2.5（4）A、B兩點間的距離為|m﹣n|＝n﹣m．題型03絕對值與有理數的加減法【典例1】已知|x|＝5，|y|＝2，且|x+y|＝﹣x﹣y，則x﹣y的值為（）A．±3 B．±3或±7 C．﹣3或7 D．﹣3或﹣7【分析】根據|x|＝5，|y|＝2，求出x＝±5，y＝±2，然后根據|x+y|＝﹣x﹣y，可得x+y≤0，然后分情況求出x﹣y的值．【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝2，∴x＝±5、y＝±2，又|x+y|＝﹣x﹣y，∴x+y＜0，則x＝﹣5、y＝2或x＝﹣5、y＝﹣2，所以x﹣y＝﹣7或﹣3，故選：D．【變式1】若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x﹣y的值是（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12【分析】題中給出了x，y的絕對值，可求出x，y的值；再根據x+y＞0，分類討論，求x﹣y的值．【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝5，∴x＝±7，y＝±5．又x+y＞0，則x，y同為正數或x，y異號，但正數的絕對值較大，∴x＝7，y＝5或x＝7，y＝﹣5．∴x﹣y＝2或12．故選：A．【變式2】如果|a|＝7，|b|＝5，a、b異號．試求a﹣b的值為（）A．2或﹣2 B．﹣12或﹣2 C．2或12 D．12或﹣12【分析】先根據絕對值的性質求出a與b的值，再代入進行計算即可．【解答】解：∵|a|＝7，|b|＝5，a、b異號，∴a＝7，b＝﹣5或a＝﹣7，b＝5，∴a﹣b＝7﹣（﹣5）＝12或﹣7﹣5＝﹣12．故選：D．【變式3】若|x﹣2|+|y+1|＝0，則x﹣y的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【分析】根據非負數的性質得出x﹣2＝0，y+1＝0，即可求出x、y的值，從而求出x﹣y的值．【解答】解：∵|x﹣2|+|y+1|＝0，又∵|x﹣2|≥0，|y+1|≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3，故選：B．【變式4】如果|y+3|＝﹣|2x﹣4|，那么x﹣y＝（）A．﹣1 B．5 C．﹣5 D．1【分析】根據任何數的絕對值都是非負數，可以得y+3＝0，2x﹣4＝0，即可求解．【解答】解：∵|y+3|＝﹣|2x﹣4|，∴|y+3|+|2x﹣4|＝0，∴y+3＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，y＝﹣3，∴x﹣y＝2+3＝5．故選：B．【變式5】若|a﹣4|與|3+b|互為相反數，則b﹣a+（﹣1）的結果為（）A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9【分析】根據絕對值的非負性求出a、b的值，再代入計算即可．【解答】解：∵|a﹣4|與|3+b|互為相反數，即|a﹣4|+|3+b＝0，∴a﹣4＝0，3+b＝0，解得a＝4，b＝﹣3，∴b﹣a+（﹣1）＝﹣3﹣4+（﹣1）＝﹣8，故選：C．題型04有理數的加減法與數軸上的點的移動【典例1】在數軸上，點A表示數﹣5，將點A在數軸上移動7個單位長度到達點B，則點B所表示的數為（）A．7 B．2 C．﹣12 D．2或﹣12【分析】數軸上點的平移，根據左減右加的方法，即可得出答案．【解答】解：點A表示數﹣5，左移7個單位，得﹣5﹣7＝﹣12，點A表示數﹣5，右移7個單位，得﹣5+7＝2，故點B表示的數是2或﹣12，故選：D．【變式1】數軸上的點M距原點5個單位長度，將點M向右移動3個單位長度至點N，則點N表示的數是（）A．8 B．2 C．﹣8或2 D．8或﹣2【分析】根據數軸上的點表示的數解決此題．【解答】解：由題意得，M表示的數可能為5或﹣5．∴點N表示的數是5+3＝8或﹣5+3＝﹣2．∴點N表示的數是8或﹣2．故選：D．【變式2】如圖，一個點在數軸上從原點開始先向右移動1個單位長度，再向左移動a個單位長度后，該點所表示的數為﹣3，則a的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【分析】根據題意，數形結合，由數軸上兩點之間距離的表示方法列式求解即可得到答案，【解答】解：根據題意可知，1﹣a＝﹣3，∴a＝4，故選：B．【變式3】點A在數軸上距離原點3個單位長度，且位于原點左側．若一個點從點A處向右移動4個單位長度，再向左移動1個單位長度，此時終點所表示的數是（）A．0 B．6 C．﹣2 D．﹣8【分析】根據點A在數軸上距離原點3個單位長度，且位于原點左側．若一個點從點A處向右移動4個單位長度，再向左移動1個單位長度，可以得到最后點A所在的位置，從而可得點A在數軸上的位置，從而可以解答本題．【解答】解：∵點A在數軸上距離原點3個單位長度，且位于原點左側．若一個點從點A處向右移動4個單位長度，再向左移動1個單位長度，∴點A表示的數是﹣3，﹣3+4﹣1＝0，即點A最終的位置在數軸上對應的數是0，故選：A．【變式4】點A在數軸上表示的數如圖所示，點B先向右移動3個單位，又向左移動6個單位到達圖中點A，則點B在數軸上表示的數為0．【分析】點B在數軸上表示的數為點A向右移動6個單位，再向左移動3個單位得到的．【解答】解：由題意可知，點B在數軸上表示的數為點A向右移動6個單位，再向左移動3個單位，∵點A在數軸上表示的數為﹣3，∴點B在數軸上表示的數為0．故答案為：0．題型05利用有理數的加減法與數軸對絕對值進行化簡【典例1】有理數a、b、c在數軸上的位置如圖：（1）用“＞”或“＜”填空：b+c＞0；b﹣a＞0；a+c＜0；（2）化簡|b+c|+|b﹣a|﹣|a+c|．【分析】（1）先由數軸得出a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|，即可判定．（2）先由數軸得出a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|，再去絕對值求解即可．【解答】解：（1）∵由數軸可得：a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|．∴b+c＞0；b﹣a＞0；a+c＜0；故答案為：＞，＞，＜．（2）∵由數軸可得：a＜c＜0＜b，|c|＜|b|＜|a|．∴|b+c|+|b﹣a|﹣|a+c|＝b+c+b﹣a+（a+c）＝2b+2c．【變式1】已知有理數a、b、c、d在數軸上對應的點的位置如圖所示，化簡：|a+c|+|b﹣d|﹣|c﹣b|的結果為﹣a﹣2c+d．【分析】先觀察數軸，得到a＜b＜0＜c＜d，從而得到a+c＜0，b﹣d＜0，c﹣b＞0，然后根據絕對值的性質進行化簡即可．【解答】解：由數軸可知，a＜b＜0＜c＜d，∴a+c＜0，b﹣d＜0，c﹣b＞0，∴|a+c|+|b﹣d|﹣|c﹣b|＝﹣a﹣c﹣b+d﹣c+b＝﹣a﹣2c+d，故答案為：﹣a﹣2c+d．【變式2】若用A、B、C分別表示有理數a，b，c，O為原點，如圖所示．化簡2c+|a+b|+|c﹣b|﹣|c﹣a|＝0．【分析】根據數軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負，利用絕對值的代數意義化簡，去括號合并即可得到結果．【解答】解：根據題意得：a＜c＜0＜b，且|b|＜|c|＜|a|，∴a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0，則原式＝2c﹣a﹣b+b﹣c﹣c+a＝0．故答案為：0．【變式3】有理數a，b，c在數軸上的對應點如圖所示，化簡：﹣|a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|+|c﹣b|．【分析】根據數軸對應點的位置確定每一個絕對值里面式子的取值情況，再根據“正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0”解答即可．【解答】解：∵a＜b＜﹣1＜0＜c＜1，∴a﹣b＜0，b+c＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0，∴﹣|a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|+|c﹣b|＝﹣（b﹣a）﹣b﹣c﹣（c﹣a）+c﹣b＝﹣b+a﹣b﹣c﹣c+a+c﹣b＝2a﹣3b﹣c．【變式4】（1）若|a|＝2，b＝﹣3，c是最大的負整數，求a+b﹣c的值；（2）已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，化簡：|b﹣a|+|a+b|﹣|﹣b|．【分析】（1）利用絕對值的代數意義確定出a的值，找出最大的負整數確定出c，即可求出a+b﹣c的值；（2）利用異號兩數相加的法則及減法法則判斷出絕對值里式子的正負，利用絕對值的代數意義化簡即可得到結果．【解答】解：（1）根據題意得：a＝2或﹣2，b＝﹣3，c＝﹣1，當a＝2時，原式＝2﹣3+1＝0；當a＝﹣2時，原式＝﹣2﹣3+1＝﹣4；（2）∵a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，∴b﹣a＜0，a+b＜0，則原式＝a﹣b﹣a﹣b+b＝﹣b．題型06有理數的加減混合運算的實際應用【典例1】某倉庫5月份前6天，每天糧食相對于前一天（單位：袋）變化如圖，增加糧食記作“+”，減少糧食記作“﹣”．（1）通過計算說明前6天，倉庫糧食總共的變化情況；（2）在1～7號中，如果前四天的倉庫糧食變化情況是后三天變化精況的一半，求7號這天倉庫糧食變化情況．【分析】（1）由題意得，﹣4+2﹣6+5+3﹣7，計算可得；（2）設7號糧食變化x袋，由題意得，，解得x的值即為7號這天倉庫糧食變化情況．【解答】解：（1）﹣4+2﹣6+5+3﹣7＝﹣7答：前6天，倉庫糧食減少7袋；（2）設7號糧食變化x袋，由題意得，，解得：x＝﹣2答：7號糧食減少2袋．【變式1】為積極倡導“陽光體育”運動，某班派6名同學參加“一分鐘跳繩”比賽，負責記錄成績的嘉嘉以160次為標準，超出的次數記為正數，不足的次數記為負數，其中5名同學的成績記錄（單位：次）為：﹣10，+4，+11，﹣9，+1．（1）求這5名同學的最好成績與最差成績相差多少次？（2）若這6名同學的平均成績超過了160次，求剩下的那名同學的成績最少為多少．【分析】（1）找出這5名同學的最好成績與最差成績，然后作差即可；（2）剩下的那名同學的成績可記為a，根據題意列出關于a的不等式，進而得出答案．【解答】解：（1）+11﹣（﹣10）＝11+10＝21（次），答：這5名同學的最好成績與最差成績相差21次．（2）設剩下的那名同學的成績可記為a，由題意可得﹣10+4+11﹣9+1+a＞0，解得a＞3，∴剩下的那名同學的成績最少為160+4＝164（次）．答：剩下的那名同學的成績最少為164次．【變式2】某檢修小組從A地出發，在東西向的馬路上檢修線路，如果規定向東行駛為正，向西行駛為負，一天中七次行駛記錄如下．（單位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2（1）求收工時距A地多遠？（2）在第五次紀錄時距A地最遠．（3）若每km耗油0.4升，問共耗油多少升？【分析】（1）收工時距A地的距離等于所有記錄數字的和的絕對值；（2）分別計算每次距A地的距離，進行比較即可；（3）所有記錄數的絕對值的和×0.4升，就是共耗油數．【解答】解：（1）﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2＝﹣4﹣9﹣5﹣2+7+8+6＝﹣20+21＝1km；（2）由題意得，第一次距A地4千米；第二次距A地﹣4+7＝3千米；第三次距A地|﹣4+7﹣9|＝6千米；第四次距A地|﹣4+7﹣9+8|＝2千米；第五次距A地|﹣4+7﹣9+8+6|＝8千米；而第六次、第七次是向相反的方向又行駛了共7千米，所以在第五次紀錄時距A地最遠；（3）（4+7+9+8+6+5+2）×0.4＝41×0.4＝16.4L．【變式3】小明家購置了一輛續航為350km（能行駛的最大路程）的新能源純電汽車，他將汽車充滿電后連續7天每天行車電腦上顯示的行駛路程記錄如下表（單位：km，以40km為標準，超過部分記為“+”，不足部分記為“﹣”）．已知該汽車第三天行駛了45km，第六天行駛了34km．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天﹣6+2■﹣3+8●+7（1）“■”處的數為+5，“●”處的數為﹣6；（2）已知小明家這款汽車在行駛結束時，若剩余電量不足續航的15%，行車電腦就會發出充電提示．請通過計算說明該汽車第七天行駛結束時，行車電腦會不會發出充電提示．【分析】（1）觀察表格可知：第三天行駛了45km，第六天行駛了34km，然后根據以40km為標準，超過部分記為“+”，不足部分記為“﹣”，進行解答即可；（2）先求出新能源純電汽車7天行駛的總路程，再求出用電量剩余15%時汽車所行駛的路程，然后進行比較即可判斷．【解答】解：（1）由表格可知：第三天行駛了45km，第六天行駛了34km，∴第三天處的數為：45﹣40＝+5，第六天處記錄的數為：34﹣40＝﹣6，∴“■”處的數為+5，“●”處的數為﹣6，故答案為：+5，﹣6；（2）由題意得：﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7＝2+5+8+7﹣6﹣3﹣6＝22﹣15＝7（km），40×7+7＝280+7＝287（km），350﹣350×15%＝350﹣52.5＝297.5（km），∵297.5＞287，∴行車電腦不會發出充電提示．【變式4】最近幾年時間，我國的新能源汽車產銷量大幅增加，小明家新換了一輛新能源純電汽車，他連續7天記錄了每天行駛的路程（如表），以50km為標準，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“﹣”，剛好50km的記為“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）﹣8﹣10﹣140+24+31+35（1）這7天里路程最多的一天比最少的一多走49km．（2）請求出小明家的新能源汽車這七天一共行駛了多少千米？（3）已知新能源汽車每行駛100km耗電量為15度，每度電為0.4元，請計算小明家這7天的行駛費用是多少錢？【分析】（1）根據正數和負數的實際意義列式計算即可；（2）根據正數和負數的實際意義列式計算即可；（3）結合（2）中所求列式計算即可．【解答】解：（1）35﹣（﹣14）＝35+14＝49（km），即這7天里路程最多的一天比最少的一多走49km，故答案為：49；（2）50×7+（﹣8﹣10﹣14+0+24+31+35）＝350+58＝408（千米），即小明家的新能源汽車這七天一共行駛了408千米；（3）408÷100×15×0.4＝24.48（元），即小明家這7天的行駛費用是24.48元．1．下面算法正確的是（）A．（﹣4）+8＝﹣（8﹣4） B．5﹣（﹣8）＝5﹣8 C．（﹣5）+0＝﹣5 D．（﹣3）+（﹣4）＝3+4【分析】直接利用有理數的混合運算法則分別判斷得出答案．【解答】解：A．（﹣4）+8＝8﹣4，故此選項不合題意；B．5﹣（﹣8）＝5+8，故此選項不合題意；C．（﹣5）+0＝﹣5，故此選項符合題意；D．（﹣3）+（﹣4）＝﹣（3+4），故此選項不合題意．故選：C．2．把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）寫成省略括號的代數和的形式，正確的是（）A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5【分析】括號前面是加號時，去掉括號，括號內的算式不變．括號前面是減號時，去掉括號，括號內加號變減號，減號變加號．【解答】解：根據去括號的原則可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5．故答案為：A．3．有一只蝸牛從數軸的原點出發，先向左（負方向）爬行9個單位長度，再向右爬行3個單位長度，用算式表示上述過程與結果，正確的是（）A．﹣9+3＝﹣6 B．﹣9﹣3＝﹣12 C．9﹣3＝6 D．9+3＝12【分析】根據題意列式計算即可．【解答】解：由題意得﹣9+3＝﹣6，故選：A．4．式子﹣2﹣1+6﹣9有下面兩種讀法：讀法一：負2，負1，正6與負9的和；讀法二：負2減1加6減9．則關于這兩種讀法，下列說法正確的是（）A．只有讀法一正確 B．只有讀法二正確 C．兩種讀法都不正確 D．兩種讀法都正確【分析】根據有理數的加減混合運算的讀法，可知兩種讀法都是正確的，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，兩種讀法都是正確的．故選：D．5．這是2024年1月某日的氣溫實時預測情況，則通過預測圖可知，下午5時的氣溫和此時氣溫的相對差值為（）A．4℃ B．3℃ C．2℃ D．﹣4℃【分析】由題意列出算式8﹣12，再根據有理數的減法法則計算即可．【解答】解：由題意得，8﹣12＝8+（﹣12）＝﹣4（°C），即下午5時的氣溫和此時氣溫的相對差值為﹣4°C，故選：D．6．如圖，把半徑為1的圓放到數軸上，圓上一點A與表示﹣1的點重合，圓沿著數軸滾動2周，此時點A表示的數是（）A．﹣1+4π B．﹣1+2π C．﹣1+4π或﹣1﹣4π D．﹣1+2π或﹣1﹣2π【分析】本題通過圓滾動兩周，實際上就是A點移動了兩個圓的周長的長度，因為沒有給定方向，所以有兩種情況，分別向左和向右．【解答】解：圓的周長為：2π×1＝2π，沿著數軸正方向滾動2周后，A點表示的數是：﹣1+4π，沿著數軸負方向滾動2周后，A點表示的數是：﹣1﹣4π，故選：C．7．若|m|＝3，|n|＝5，且m，n異號，則|m﹣n|的值為（）A．8或2 B．2或﹣2 C．2 D．8【分析】先根據已知條件和絕對值的性質求出m，n的值，再求出m﹣n的值，最后求出答案即可．【解答】解：∵|m|＝3，|n|＝5，∴m＝±3，n＝±5，∵m，n異號，∴m＝3，n＝﹣5或m＝﹣3，n＝5，∴m﹣n＝8或﹣8，∴|m﹣n|＝8，故選：D．8．若|a|＝7，|b|＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），則a﹣b為（）A．16 B．2 C．16或2 D．以上都不對【分析】根據絕對值的性質求出a、b的值，再根據|a+b|＝﹣（a+b），得出a+b≤0，進一步確定a、b的值，進而求出a﹣b的值．【解答】解：∵|a|＝7，∴a＝±7，∵|b|＝9，∴b＝±9，∵|a+b|＝﹣（a+b），∴a+b≤0，∴a＝7，b＝﹣9或a＝﹣7，b＝﹣9，∴a﹣b＝7﹣（﹣9）＝7+9＝16或a﹣b＝﹣7﹣（﹣9）＝﹣7+9＝2，故選：C．9．閱讀材料：已知|4﹣1|表示4與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；|4+1|可以看作|4﹣（﹣1）|，表示4與﹣1兩數在數軸上所對應的兩點間的距離．若|x+1|＝3，則符合條件的整數x的值為（）A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．不存在【分析】根據數軸上兩點之間距離的含義解答即可．【解答】解：根據題意，|x+1|＝3可以看作表示x與﹣1兩數在數軸上所對應的兩點問的距離為3，∵﹣1﹣3＝﹣4，﹣1+3＝2，∴符合條件的整數x的值為﹣4或2．故選：C．10．對于若干個數，先將每兩個數作差，再將這些差的絕對值進行求和，這樣的運算稱為對這若干個數的“差絕對值運算”，例如，對于1，2，3進行“差絕對值運算”，得到：|1﹣2|+|2﹣3|+|1﹣3|＝4．①對﹣2，3，5，9進行“差絕對值運算”的結果是35；②x，，5的“差絕對值運算”的最小值是；③a，b，c的“差絕對值運算”化簡結果可能存在的不同表達式一共有8種；以上說法中正確的個數為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】①根據“差絕對值運算”的運算方法進行運算，即可判定；②根據“差絕對值運算”的運算方法進行運算，即可判定；③首先根據“差絕對值運算”的運算方法進行運算，再分類討論，化簡絕對值符號，即可判定．【解答】解：①對﹣2，3，5，9進行“差絕對值運算”得：|﹣2﹣3|+|﹣2﹣5|+|﹣2﹣9|+|3﹣5|+|3﹣9|+|5﹣9|＝5+7+11+2+6+4＝35，故①正確；②對x，，5進行“差絕對值運算”得：＝，∵表示的是數軸上點x到和5的距離之和，∴的最小值為，∴x，，5的“差絕對值運算”的最小值是：，故②不正確；對a，b，c進行“差絕對值運算”得：|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|，當a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c+b﹣c＝2a﹣2c；當a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b+a﹣c﹣b+c＝2a﹣2b；當a﹣b≥0，a﹣c≤0，b不可能≥c；當a﹣b≥0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝a﹣b﹣a+c﹣b+c＝2c﹣2b；當a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c﹣b+c＝﹣2a+2c；當a﹣b≤0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b+a﹣c+b﹣c＝2b﹣2c；當a﹣b≤0，a﹣c≥0，b不可≤c；當a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，|a﹣b|+|a﹣c|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣a+c+b﹣c＝﹣2a+2b；a，b，c的“差絕對值運算”化簡結果可能存在的不同表達式一共有7種，故③不正確，綜上，故只有1個正確的．故選：B．11．某超市出售的一種品牌大米袋上，標有質量為（20±0.2）kg的字樣，則從該超市里任意拿出這種品牌的大米兩袋，它們的質量最多相差0.4kg．【分析】由（20±0.2）kg的含義可得每袋大米最多可超過0.2kg，最少可不足0.2kg，從而可得答案．【解答】解：∵某超市出售的一種品牌大米袋上，標有質量為（20±0.2）kg的字樣，∴從該超市里任意拿出這種品牌的大米兩袋，它們的質量最多相差0.2﹣（﹣0.2）＝0.4（kg），故答案為：0.4．12．已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，則b﹣2a＝7或13．【分析】根據絕對值的定義求出a、b的值，再根據|a﹣b|＝b﹣a進一步確定a、b的取值，最后代入b﹣2a中計算即可．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵|b|＝3，∴b＝±3，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b≤0，∴a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3，∴b﹣2a＝3﹣2×（﹣5）＝13或b﹣2a＝﹣3﹣2×（﹣5）＝7，故答案為：7或13．13．有理數a，b，c，滿足|a+b+c|＝a+b﹣c，且c≠0，則|a+b﹣c+3|﹣|c﹣6|＝﹣3．【分析】根據|a+b+c|＝a+b﹣c，得出a+b＝0，c＜0，然后化簡代數式即可．【解答】解：當a+b+c≥0時，a+b+c＝a+b﹣c，c≠0，不符合題意；當a+b+c小于0時，﹣a﹣b＝a+b，a+b＝0，則c小于0，∴|a+b﹣c+3|﹣|c﹣6|＝0+3﹣c﹣（6﹣c）＝﹣3，故答案為：﹣3．14．有理數a、b、c在數軸上的位置如圖，化簡：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|a+c|＝﹣2a．【分析】根據a、b、c在數軸上的位置，進行絕對值的化簡，然后合并．【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1＜2＜c，∴c﹣b＞0，a﹣b＜0，a+c＞0，∴|c﹣b|+|a﹣b|﹣|a+c|＝c﹣b﹣（a﹣b）﹣（a+c）＝c﹣b﹣a+b﹣a﹣c＝﹣2a．故答案為：﹣2a．15．M、N兩地的高度差記為M﹣N，例如：M地比N地低2米，記為M﹣N＝﹣2（米）．現要測量A、B兩地的高度差，借助了已經設立的D、E、F、G、H共五個觀測地，測量出兩地的高度差，測量結果如下表：（單位：米）．則A﹣B的值為0.4．兩地的高度差D﹣AE﹣DF﹣EG﹣FH﹣GB﹣H測量結果3.3﹣4.2﹣0.52.73.9﹣5.6【分析】由于B﹣A＝D﹣A+E﹣D+F﹣E+G﹣F+H﹣G+B﹣H，故將表格中的所有數加起來，即是B﹣A的值．【解答】解：∵B﹣A＝D﹣A+E﹣D+F﹣E+G﹣F+H﹣G+B﹣H∴B﹣A＝（D﹣A）+（E﹣D）+（F﹣E）+（G﹣F）+（H﹣G）+（B﹣H）＝3.3﹣4.2﹣0.5+2.7+3.9﹣5.6＝﹣0.4（米），A﹣B＝0.4（米），故答案為：0.4．16．計算：（1）﹣38﹣（﹣36）；（2）（﹣5）﹣（﹣3）+（+）+（﹣3）；（3）（﹣0.6）+0.2+（﹣11.4）+0.8；（4）（﹣30）﹣（﹣6）﹣（+6）+（﹣15）；（5）﹣30+17．【分析】（1）利用有理數的減法法則計算即可；（2）利用有理數的加減法則計算即可；（3）利用有理數的加法法則計算即可；（4）利用有理數的加減法則計算即可；（5）利用有理數的加減法則計算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣38+36＝﹣2；（2）原式＝﹣++（3﹣3）＝﹣1+0＝﹣1；（3）原式＝（﹣0.6﹣11.4）+（0.2+0.8）＝﹣12+1＝﹣11；（4）原式＝﹣30﹣15+（6﹣6）＝﹣45+0＝﹣45；（5）原式＝0+﹣30+17＝﹣13＝﹣12．17．嵐山多島海以其優美的海岸線，寬廣的金沙灘吸引了眾多游客慕名而來．如表是某社會實踐小組統計的2023年8月1日～7日七天內每天旅游人數變化表（正號表示人數比前一天多，負號表示比前一天少）日期1日2日3日4日5日6日7日人數變化單位：萬人+1.8﹣0.6+0.2﹣0.7﹣0.3+0.5﹣0.7已知7月31日的游客人數為0.3萬人，根據圖表，可求出8月1日的游客人數是0.3+1.8＝2.1（萬人）．結合以上信息解決下列問題：（1）8月4日的旅客人數為1萬人；（2）8月1日～7日中旅客人數最多的一天比最少的一天多1.6萬人；（3）如果每萬人帶來的經濟收入約為300萬元，則8月1日～7日的旅游總收入約為多少萬元？【分析】（1）先根據題意，列出算式，計算從8月1日到7號每天的旅客人數即可；（2）由（1）找出旅客人數最多的一天的人數和最少的一天人數，求出它們的差即可