專題11.4點的坐標（拓展提高）一、單選題1．在平面直角坐標系中，下列說法正確的是（）A．點P（3，2）到x軸的距離是3B．若ab＝0，則點P（a，b）表示原點C．若A（2，﹣2）、B（2，2），則直線AB∥x軸D．第三象限內點的坐標，橫縱坐標同號【答案】D【分析】根據點的坐標的幾何意義逐一進行判斷即可得答案．【詳解】A.點P（3，2）到x軸的距離是2，故本選項不符合題意．B.若ab＝0，則點P（a，b）表示原點或坐標軸上的點，故本選項不符合題意．C.若A（2，﹣2）、B（2，2），則直線AB∥y軸，故本選項不符合題意．D.第三象限內點的坐標，橫縱坐標都是負號，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查點的坐標的幾何意義，由坐標平面內的一點P分別向x軸，y軸作垂線，垂足M,N在x軸，y軸上的坐標分別為x和y，我們則說P點的橫坐標為x,縱坐標是y，記作P(x，y)；熟練掌握相關定義是解題關鍵．2．如圖，點A、B、C的坐標分別為（）A．（4，1），（0，1），（2，3） B．（1，4），（0，1），（－3，2）C．（4，1），（1，0），（－3，2） D．（4，1），（1，0），（2，－3）【答案】D【分析】直接根據平面直角坐標系得出點的坐標即可；【詳解】解：根據平面直角坐標系可得：A（4，1），B（1，0），C（2，3），故選：D；3．等腰Rt△ABO在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知點A（﹣2，0），AB＝BO，則點B的坐標為（）

A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）【答案】A【分析】先過B點作x軸的垂線段BC，證明出BC垂直平分OA和OC=BC，再根據A點坐標求解即可，．【詳解】解：如下圖所示：作BC⊥x軸，垂足為點C，因為是等腰直角三角形，所以BA=BO，∠BOC=45°，所以B點在OA的垂直平分線上，∠OBC=45°，所以BC=OC；又∵BC⊥x軸，∴BC垂直平分OA，∵A（－2，0）∴C（－1，0）∴OC=1，所以BC=1，∴B（－1，1）；故選：A．

【點睛】本題綜合考查了平面直角坐標系、等腰直角三角形、線段垂直平分線的判定與性質等內容，要求學生熟練掌握相關概念與性質，并能做到熟練運用，考查了學生的分析推理與數形結合的能力．4．若點M（a+3，2a﹣4）到x軸距離是到y軸距離的2倍，則點M的坐標為（）A．（，） B．（，﹣）C．（，﹣5） D．（，5）【答案】C【分析】根據點到x軸的距離是點的縱坐標的絕對值，到y軸的距離是點的橫坐標的絕對值，根據到x軸距離是到y軸的距離2倍，可得方程，根據解方程，可得答案．【詳解】解：由點M（a+3，2a﹣4）到x軸距離是到y軸的距離2倍，∴|2a﹣4|＝2|a+3|，∴2a﹣4＝2（a+3）或2a﹣4＝﹣2（a+3），方程2a﹣4＝2（a+3）無解；解方程2a﹣4＝﹣2（a+3），得a＝﹣，，∴點M的坐標為．故選：C．【點睛】本題主要考查點到坐標軸的距離，利用方程的思想是關鍵．5．若點位于平面直角坐標系第四象限，且點到軸的距離是1，到軸的距離是，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】可先判斷出點的坐標的符號，再跟據到x軸的距離為點的縱坐標的絕對值，到y軸的距離為點的橫坐標的絕對值，得到具體坐標即可．【詳解】解：∵P到x軸的距離為1，到y軸的距離為2，∴P縱坐標可能為±1，橫坐標可能為±2，∵點M在第四象限，∴P坐標為（2，1）．故選：D．【點睛】本題考查點的坐標的確定；用到的知識點為：點到x軸的距離為點的縱坐標的絕對值，到y軸的距離為點的橫坐標的絕對值．6．已知點的坐標為，且點到兩坐標軸的距離相等，則點的坐標是（）A． B．C． D．或【答案】D【分析】根據點Q到兩坐標軸的距離相等列出方程，然后求解得到a的值，再求解即可．【詳解】解：∵點Q到兩坐標軸的距離相等，∴|2+a|=|2a7|，∴2+a=2a7或2+a=2a+7，解得a=5或a=3，當a=5時，2+a=2+5=3，2a7=2×57=3；當a=3時，2+a=2+3=1，2a7=2×37=1；所以，點Q的坐標為或．故選D．【點睛】本題考查了點坐標，掌握坐標到坐標軸的距離的表示方法，以及掌握各象限內點的坐標特征是解題的關鍵．二、填空題7．如圖，直角坐標系中、兩點的坐標分別為，，則該坐標系內點的坐標為__________．【答案】【分析】首先根據A、B點坐標確定原點位置，然后再建立坐標系，再確定C點坐標即可．【詳解】解：點C的坐標為（1，3），故答案為：（1，3）．【點睛】此題主要考查了點的坐標，關鍵是正確建立坐標系．8．已知點的坐標為，且點在軸上，則點的坐標是________．【答案】【分析】根據坐標的位置特點，當點位于x軸上時，縱坐標為0可求得a的值，即可得點Q的坐標．【詳解】解：根據題意，可得：,即得;所以，所以Q的坐標為．故答案為：．【點睛】考查了點在坐標軸上的坐標特點，熟練掌握坐標軸上點的特點是解題的關鍵，當點位于x軸上時，縱坐標為0；當位于y軸上時，橫坐標為0．9．點是第四象限內一點，若點到兩坐標軸的距離相等，則點的坐標為__________．【答案】【分析】根據點是第四象限內一點且到兩坐標軸距離相等，點M的橫坐標與縱坐標互為相反數列方程求出a的值，再求解即可．【詳解】∵點是第四象限內一點且到兩坐標軸距離相等，∴點M的橫坐標與縱坐標互為相反數∴解得，∴M點坐標為（4，4）．故答案為（4，4）【點睛】本題考查了點的坐標，理解點是第四象限內一點且到兩坐標軸距離相等，則點M的橫坐標與縱坐標互為相反數是解題的關鍵．10．如圖所示，點、B(1，1)、，則的面積是_________．【答案】2.5【分析】作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，則∠ADB=∠AEC=，根據點、B(1，1)、，得到BD=1，CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，求得AD=2，AE=1，根據代入數值計算即可．【詳解】作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，則∠ADB=∠AEC=，∵點、B(1，1)、，∴BD=1，CE=2，OA=1，OD=1，OE=2，∴AD=2，AE=1，∴==2.5，故答案為：2.5．．【點睛】此題考查直角坐標系中圖形面積計算，點到坐標軸的距離，理解點到坐標軸的距離得到線段長度由此利用公式計算面積是解題的關鍵．11．如圖，已知點A的坐標為（?2，2），點C的坐標為（2，1），則點B的坐標是____．【答案】【分析】根據點A、C的坐標建立平面直角坐標系，由此即可得．【詳解】根據點A、C的坐標建立平面直角坐標系，如圖所示：則點B的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了點的坐標，依據題意，正確建立平面直角坐標系是解題關鍵．12．在平面直角坐標系中，點的坐標滿足方程，（1）當點到兩條坐標軸的距離相等時，點坐標為__________．（2）當點在軸上方時，點橫坐標滿足條件__________．【答案】或【分析】（1）分和兩種情況，分別代入方程求解即可得；（2）先求出，再根據x軸上方的點的縱坐標大于0建立不等式，求解即可得．【詳解】（1）由題意得：或①當時代入方程得：，解得則因此，點A的坐標為②當時代入方程得：，解得則因此，點A的坐標為綜上，點A的坐標為或故答案為：或；（2）方程可變形為當點在軸上方時，點A的縱坐標一定大于0，即則解得故答案為：．【點睛】本題考查了點坐標、點到坐標軸的距離等知識點，掌握平面直角坐標系中，點坐標的特征是解題關鍵．13．如圖，在平面直角坐標系中A(3，0)，B(0，4)，AB=5，P是線段AB上的一個動點，則OP的最小值是______．【答案】【分析】結合題意可知當OP垂直AB時，OP的值最小，據此利用等面積法進一步求解即可.【詳解】由題意得：OA=3，OB=4，OA⊥OB，∴△AOB的面積=，∵當OP⊥AB時，OP的值最小，而此時OP即為△AOB斜邊AB上的高，∴，∴，即OP的最小值為，故答案為：.【點睛】本題主要考查了點的坐標的意義與三角形面積計算的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.14．對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點P的坐標為（a+kb，ka+b）（其中k為常數，且k≠0），則稱點P為點P的“k屬派生點”，例如：P（1，4）的“2屬派生點”為P（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為點P′，且線段PP′的長度為線段OP長度的5倍，則k的值為___．【答案】±5【分析】先根據點P在x軸正半軸確定出點P的坐標，然后利用k表示出P'的坐標，繼而表示出線段PP′的長，再根據線段PP′的長為線段OP長的5倍得到關于k的方程，解方程即可求得答案.【詳解】解：設P（m，0）（m＞0），由題意：P′（m，mk），∵PP′＝5OP，∴|mk|＝5m，∵m＞0，∴|k|＝5，∴k＝±5．故答案為：±5．【點睛】本題考查了新定義下的閱讀理解能力，涉及了點的坐標，絕對值的性質，兩點間的距離等知識，正確理解新定義是解題的關鍵.三、解答題15．已知：點，且點到軸、軸的距離相等．求點的坐標．【答案】點的坐標或【分析】根據到兩坐標的距離相等，可得關于a的方程，根據解方程，可得答案．【詳解】點到軸、軸的距離相等．，，或，點的坐標或．【點睛】本題考查了點的坐標，利用到兩坐標的距離相等得出關于a的方程是解題關鍵．16．2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，意味著北京市垃圾分類正式進入法治化、常態化、系統化軌道．條例明確規定，將垃圾分為廚余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4類．為了幫助同學們養成垃圾分類的好習慣，七年級一班計劃以此為主題召開一次班會，需要一部分同學手繪可回收物的標識小卡片（如圖）．發給大家的紙張和樣圖中的紙張一樣，都是邊長為cm的正方形．為了讓大家畫的標志在紙張中的位置大小盡可能的一致．標志中標注了A，B，C三個關鍵點，請你通過測量告訴大家A，B，C三點在紙張中的位置．【答案】（1.5，2.2），（0.8，1），（2.2，1）（答案不唯一）【分析】以正方形左下角為原點，過原點且平行于BC的直線為x軸，過原點且與x軸垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，然后根據測量的結果可以寫出A、B、C的坐標．【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標系，則（1.5，2.2），（0.8，1），（2.2，1）．（答案不唯一）【點睛】本題考查平面直角坐標系的應用，建立合適的坐標系后用有序實數對表示平面上點的位置是解題關鍵．17．在平面直角坐標系中，已知點．（1）若點M在x軸上，求m的值；（2）若點M到x軸的距離是3，求m的值；（3）若點M在第二、四象限的角平分線上，求m的值．【答案】（1）；（2）0或3；（3）1【分析】（1）根據點在x軸上縱坐標為0求解．（2）根據點到x軸的距離是3，可得縱坐標的絕對值為3，即可求解．（3）根據第二、四象限的角平分線上的橫坐標，縱坐標互為相反數求解．【詳解】解：（1）∵M（m，2m+3）在x軸上，∴2m+3=0，∴m=；（2）∵點M到x軸的距離是3，∴，解得：m=0或3；（3）∵M（m，2m+3）在第二、四象限的角平分線上，∴m+（2m+3）=0，∴m=1．【點睛】本題考查了點與坐標的對應關系，坐標軸上的點的特征，各個象限的點的特征，第二、四象限的角平分線上的點的特征．18．如圖，點，，都落在網格的格點上．（1）寫出點，，的坐標；（2）求的面積：（3）把先向左平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度，得，畫出．【答案】（1）點，，的坐標分別是，，；（2）3；（3）見解析【分析】（1）根據點，，所在位置直接寫出的坐標即可；（2）先求出BC，點A到BC邊的距離，利用面積公式BC邊上的高求即可；（3）先求A′（4，4），B（3，2），C（0，2）三點坐標，再描出A′、B′、C′三點坐標，連結A′B′、B′C′、C′A′即可．【詳解】解：（1）點，，的坐標分別是，，；（2）BC=41=3，點A到BC邊的距離為：31=2，∴BC邊上的高=；（3）先把A、B、C三點向左平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度，得到A′（4，4），B（3，2），C（0，2）三點坐標，再描出A′、B′、C′三點坐標，連結A′B′、B′C′、C′A′，則為所求如圖所示．【點睛】本題考查點的坐標，三角形面積，平移性質，掌握點的坐標，三角形面積，平移性質，作圖先平移點，再連線得圖是解題關鍵．19．如圖，在平面直角坐標系中，三角形的頂點都在格點上，每個小正方形的邊長為1．（1）請直接寫出、、各點的坐標；（_____，_____）、（_____，_____）、（_____，_____）；（2）將三角形向上平移2個單位，得到三角形．①請在圖中畫出三角形．②直接寫出三角形掃過的區域的面積．【答案】（1）0，3，2，2，2，1；（2）①作圖見解析；②15【分析】（1）結合題意，根據直角坐標系和坐標的性質分析，即可得到答案；（2）①根據平移的性質，首先分別平移點、點、點，得點、點、點，從而完成求解；②根據（2）①的結論，三角形掃過的區域的面積為：三角形面積+平行四邊形面積，通過計算即可得到答案．【詳解】（1）根據題意得：，，；故答案為：0，3，2，2，2，1；（2）①根據（1）的結論，得，，；將點、點、點分別向上平移2個單位，得，，；如圖，分別連接、、②根據（2）①的結論，三角形掃過的區域的面積為：三角形面積+平行四邊形面積三角形面積平