PAGE三十二計數原理(15分鐘30分)1．依據中心對“精準扶貧”的要求，某市確定從3名男性黨員、2名女性黨員中選派2名去甲村調研，則既有男性又有女性的不同選法共有()A．7種B．6種C．5種D．4種【解析】選B.依據題意，選出的2人中既有男性又有女性，必為一男一女，在3名男性黨員中任選1人，有3種選法，在2名女性黨員中任選1人，有2種選法，則既有男性又有女性的不同選法有3×2＝6種．【補償訓練】將1，2，3，…，9，這9個數填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下依次增大，當3，4固定在圖中位置時，所填寫空格的方法有()34A.6種B．12種C．18種D．24種【解析】選A.由題意知，要求每一行從左到右依次增大，每一列從上到下依次增大，對于表格的第一行，3的左邊只可以填1，4的左邊只可以填2，9只能在右下角，5只能填右上角或左下角，有兩種選擇，5填后與之相鄰的空格可填6，7，8任一個；余下兩個數字按從小到大只有一種方法，所以填寫表格的方法有2×3＝6種結果．2．甲、乙、丙、丁四個好摯友每人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的安排方式有()A．6種B．9種C．11種D．23種【解析】選B.方法一：讓甲、乙、丙、丁依次拿一張別人送出的賀年卡，假如甲先拿有3種取法，此時被甲拿走的那張賀年卡的作者也有3種取法，接下來的兩人就各有一種取法(因為此時剩下兩張賀年卡中至少有一張是其中一人所寫，他就只能取另一張).由于這是分步完成，用分步乘法計數原理，有3×3×1×1＝9種不同的安排方式．方法二：設甲、乙、丙、丁所寫的賀年卡分別是A，B，C，D，當甲拿賀年卡B時，則乙可以拿A，C，D中任何一張，即乙拿A，丙拿D，丁拿C或乙拿C，丙拿D，丁拿A或乙拿D，丙拿A，丁拿C，所以甲拿B時有三種不同的安排方法．同理甲拿C，D時都各有三種不同的安排方法，這時對A的分類完成．用分類加法計數原理，共有3＋3＋3＝9種安排方式．3．某運動會的競賽某電視臺在19日至24日六天中共有8場直播(如表所示)，逸凡準備選取其中的三場觀看．但由于工作較忙，觀看的隨意兩場直播中間至少間隔一天(如21日觀看直播則22日不能觀看直播)，則逸凡選擇觀看的不同種數是()日期19日20日21日22日23日24日時間全天全天上午下午全天全天上午下午內容飛行競賽賽前訓練射擊游泳擊劍籃球障礙跑定向越野A.8B．10C．12D．14【解析】選B.依據題意，只能選擇觀看三場直播，所選擇的三場直播必需是三個互不相鄰的日期；若選擇19，21，24這三天，則有2×2＝4種觀看方式；若選擇19，22，24這三天，則有2種觀看方式；若選擇19，21，23這三天，則有2種觀看方式；若選擇20，22，24這三天，則有2種觀看方式；綜上，共有10種不同的觀看方式．4．語文里流行一種特殊的句子，正和反讀起來都一樣的，比如：“上海自來水來自海上”“中山自鳴鐘鳴自山中”，那么在全部的4位數中符合這個規律且四個數字不能都相同的四位數有________個．【解析】設4位數為xyyx，即可知這樣的4位數有9×10＝90個，又因為四個數字不能都相同，需減掉x＝y，即形如xxxx的數共9個，所以90－9＝81個．答案：815．某班有男生28名、女生20名，從該班選出學生代表參與學代會．(1)若學校安排給該班1名代表，則有多少種不同的選法？(2)若學校安排給該班2名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？【解析】(1)選出1名代表，可以選男生，也可以選女生，因此完成“選1名代表”這件事分2類：第1類，從男生中選出1名代表，有28種不同方法；第2類，從女生中選出1名代表，有20種不同方法．依據分類加法計數原理，共有28＋20＝48種不同的選法．(2)完成“選出男、女生代表各1名”這件事，可以分2步完成：第1步，選1名男生代表，有28種不同方法；第2步，選1名女生代表，有20種不同方法．依據分步乘法計數原理，共有28×20＝560種不同的選法．(30分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．現有4名同學去聽同時進行的3個課外學問講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是()A．60B．64C．81D．360【解析】選C.每名同學可以選3個課外學問講座中的一個，依據分步乘法計數原理可知，不同選法的種數是3×3×3×3＝81.2．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－4，5，6，－7))，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、其次象限不同點的個數為()A．18B．16C．14D．10【解析】選C.一類以集合M中的元素為橫坐標，集合N中的元素為縱坐標，集合M中取一個元素的方法有3種，要使點在第一、其次象限內，則集合N中只能取5，6兩個元素中的一個，有兩種，依據分步乘法計數原理得此類點的個數為3×2＝6個．另一類以集合N中的元素為橫坐標，集合M中的元素為縱坐標，集合N中取一個元素的方法有4種，要使點在第一、其次象限內，則集合M中只能取1，3兩個元素中的一個，有兩種，依據分步乘法計數原理得此類點的個數為4×2＝8個．綜上所述，這樣的點共有6＋8＝14個．3．設直線的方程是Ax＋By＝0，從1，2，3，4，5這五個數中每次取兩個不同的數作為A，B的值，則所得不同直線的條數是()A．20B．19C．18D．16【解析】選C.從1，2，3，4，5這五個數中取兩個不同的數作為A，B的值，這一任務的完成，可以分兩步進行，第一步取A的值，其次步取B的值，留意要得到的是不同的直線．第一步：確定A的值，有5種方法；其次步：確定B的值，有4種方法．但由于當A取1，B取2時與A取2，B取4時，當A取2，B取1時與A取4，B取2時所對應的直線為同始終線，所以應削減2條．綜上，所得的不同直線的條數為5×4－2＝18條．【補償訓練】從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有()A．8種B．12種C．16種D．20種【解析】選B.從符合條件的情形入手，先選兩個不相鄰的，再選第三個面．可以分兩步，第一步：先選不相鄰的兩個面，共有3種選法，均為相對的面．其次步：再從余下的四個面中任選一個面，有4種選法，這樣前后選出的三個面符合題目要求，所以共有選法N＝3×4＝12種．4．現有6種不同的顏色，給圖中的6個區域涂色，要求相鄰區域不同色，則不同的涂色方法共有()A．720種B．1440種C．2880種D．4320種【解析】選D.依據題意分步完成任務：第一步：完成3號區域：從6種顏色中選1種涂色，有6種不同方法；其次步：完成1號區域：從除去3號區域的1種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色，有5種不同方法；第三步：完成4號區域：從除去3，1號區域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第四步：完成2號區域：從除去3，1，4號區域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；第五步：完成5號區域：從除去1，2號區域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第六步：完成6號區域：從除去1，2，5號區域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；所以不同的涂色方法有6×5×4×3×4×3＝4320種．【誤區警示】本題區域較多，假如分類不合理，通常會導致重復或遺漏．二、填空題(每小題5分，共10分)5．不大于1000的正整數中，不含數字3的正整數的個數是________.【解析】不大于1000且不含數字3的正整數可分為1位、2位、3位和4位．一位數為1－9中除3外的數，共有8個；兩位數：十位可選1－9中除3外的8個數字，個位可選0－9中除3外的9個數字，故共有8×9＝72個；三位數：百位、十位、個位上各有8，9，9種選法，共有8×9×9＝648個．四位數只有1000符合題意．故共有符合條件的正整數8＋72＋648＋1＝729個．答案：729【補償訓練】用0，1，2，3，4，5六個數字，可以組成沒有重復數字的三位數的個數是________；可以組成有重復數字的三位數的個數為________.【解析】百位的數字可以選擇的種數為5種，十位，個位可以選的種數分別為5種，4種，則可組成無重復數字的三位數的個數為5×5×4＝100；可組成有重復數字的三位數的個數為5×6×6＝180.答案：1001806．算籌是在珠算獨創以前我國獨創并且有效的計算工具，為我國古代數學的發展做出了很大貢獻．在算籌記數法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數字，如表：數字形式123456789縱式橫式表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖所示．假如把5根算籌以適當的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位數的個數為________.【解析】按每一位算籌的根數分類一共有15種狀況，分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，0，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，1，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，3))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4，0))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，1))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，3))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，4))，2根或2根以上的算籌可以表示兩個數字，運用分步乘法計數原理，得上面狀況能表示的三位數字個數分別為：2、2、2、4、2、4、4、4、4、4、2、2、4、2、2，依據分類加法計數原理，得5根算籌能表示的三位數字個數為2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.答案：44三、解答題(每小題10分，共20分)7．一個口袋里有5封信，另一個口袋里有4封信，各封信內容均不相同．(1)從兩個口袋中任取一封信，有多少種不同的取法？(2)從兩個口袋里各取一封信，有多少種不同的取法？(3)把這兩個口袋里的9封信，分別投入4個郵筒，有多少種不同的投法？【解析】(1)任取一封信，不論從哪個口袋里取，都能單獨完成這件事，是分類問題．從第一個口袋中取一封信有5種狀況，從其次個口袋中取一封信有4種狀況，則共有5＋4＝9種不同的取法．(2)各取一封信，不論從哪個口袋中取，都不能完成這件事，是分步問題，應分兩個步驟完成，第一步，從第一個口袋中取一封信有5種狀況，其次步，從其次個口袋中取一封信有4種狀況，由分步乘法計數原理，知共有5×4＝20種．(3)第一封信投入郵筒有4種可能，其次封信投入郵筒有4種可能……第九封信投入郵筒有4種可能，由分步乘法計數原理可知，共有49種不同的投法．8．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－2，－1，0，1，2))，若a，b，c∈M，則：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個不同的二次函數？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少個圖象開口向上的二次函數？【解析】(1)因為a不能取0，所以有5種取法，b有6種取法，c有6種取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180個不同的二次函數．(2)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上時，a不能取小于等于0的數，所以有2種取法，b有6種取法，c有6種取法，所以y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72個圖象開口向上的二次函數．(2024·全國Ⅱ卷)如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i＜j＜k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k