第四節數系的擴充與復數的引入一、教材概念·結論·性質重現1．復數的有關概念內容意義備注復數的定義設a，b∈R，形如a＋bi的數叫做復數，其中實部為a，虛部為b，i叫做虛數單位a＋bi為實數?b＝0，a＋bi為虛數?b≠0，a＋bi為純虛數?a＝0且b≠0復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復數z＝a＋bi，eq\x\to(z)＝c＋di?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復數a(a∈R)的共軛復數是a復平面建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數復數向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi||z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(1)復數構成的集合叫做復數集，記為C．(2)in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期為4，其性質如下：①i4n＝1(n∈N*)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)．②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.2．復數的幾何意義(1)復數加法的幾何意義若復數z1，z2對應的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共線，則復數z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))為兩鄰邊的平行四邊形的對角線eq\o(OZ,\s\up6(→))所對應的復數．(2)復數減法的幾何意義復數z1－z2是eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對應的復數．3．復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．4．常用結論(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(×)(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi． (×)(3)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小．(×)(4)原點是實軸與虛軸的交點． (√)(5)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模． (√)2．若復數z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數，則實數x的值為()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A解析：因為z為純虛數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))所以x＝－1.3．在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B．若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋iC解析：因為A(6,5)，B(－2,3)，所以線段AB的中點C(2,4)，則點C對應的復數為z＝2＋4i.4．若復數z滿足iz＝2－2i(i為虛數單位)，則z的共軛復數eq\x\to(z)在復平面內對應的點所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：由題意，因為z＝eq\f(2－2i,i)＝eq\f(2－2i·－i,i·－i)＝－2－2i，所以eq\x\to(z)＝－2＋2i，則z的共軛復數eq\x\to(z)對應的點在第二象限．5．設z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝________.1解析：因為z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，所以|z|＝1.考點1復數的有關概念——基礎性1．(2020·新鄉一模)若eq\f(1－3i,1＋2i)與ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)ai))的虛部互為相反數，則實數a的值為()A．－2B．2C．－1D．1D解析：因為eq\f(1－3i,1＋2i)＝eq\f(1－3i1－2i,5)＝eq\f(－5－5i,5)＝－1－i，虛部為－1，ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)ai))＝eq\f(1,2)a＋ai，虛部為a，所以a－1＝0，即a＝1.2．(2020·濰坊一模)已知z為復數，i為虛數單位．若復數eq\f(z－i,z＋i)為純虛數，則|z|＝()A．2B．eq\r(2)C．1D．eq\f(\r(2),2)C解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，所以復數eq\f(z－i,z＋i)＝eq\f(a＋b－1i,a＋b＋1i)＝eq\f([a＋b－1i][a－b＋1i],a2＋b＋12)＝eq\f(a2＋b2－1－2ai,a2＋b＋12).因為復數eq\f(z－i,z＋i)為純虛數，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝1.3．(2020·青島二模)若復數z滿足(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|(其中i是虛數單位)，則復數z的共軛復數eq\x\to(z)的虛部為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)iC解析：由(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|得(eq\r(3)－i)z＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，所以z＝eq\f(2,\r(3)－i)＝eq\f(2\r(3)＋i,\r(3)－i\r(3)＋i)＝eq\f(2\r(3)＋i,4)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)的虛部為－eq\f(1,2).解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．考點2復數的幾何意義——應用性(2020·嘉祥模擬)歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i是虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里非常重要，被譽為“數學中的天橋”．根據歐拉公式可知，eeq\s\up8(eq\f(π,3)i)表示的復數位于復平面中的()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：根據題意eix＝cosx＋isinx，故eeq\s\up8(eq\f(π,3)i)＝coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，表示的復數在第一象限．1．本例若把條件改為“已知復數z滿足z(1＋2i)＝4＋3i(i為虛數單位)”，求復數eq\x\to(z)在復平面內對應的點所在的象限．解：因為z(1＋2i)＝4＋3i，則z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，故eq\x\to(z)＝2＋i，對應的點在第一象限．2．本例若把條件改為“設復數z滿足|z－i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)”，求x，y滿足的關系式．解：由題意可得：z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝eq\r(x2＋y－12)＝1，故x2＋(y－1)2＝1.3．本例若把條件改為“△ABC的三個頂點對應的復數分別為z1，z2，z3，復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|”，z對應的點是否為△ABC的外心？解：是．由復數的幾何意義知，復數z對應的點到△ABC三個頂點距離都相等，故z對應的點是△ABC的外心．復數幾何意義問題的解題策略(1)復數z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))間的相互聯系：z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題簡單化．若復數z＝eq\f(1＋mi,1＋i)在復平面內對應的點在第四象限，求實數m的取值范圍．解：z＝eq\f(1＋mi,1＋i)＝eq\f(1＋mi1－i,2)＝eq\f(1＋m,2)＋eq\f(m－1,2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)＞0，,\f(m－1,2)＜0，))所以－1<m<1，故m的取值范圍為(－1,1)．考點3復數的運算——綜合性考向1復數的乘法運算(1)(2020·山東省實驗高考預測)已知復數z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，則實數a＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2D解析：因為z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因為z∈R，所以a＋2＝0，解得a＝－2.(2)(2020·柳州一模)若復數z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數為單位，則z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA解析：因為eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，所以eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.復數乘法運算的要點復數的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i2換成－1.考向2復數的除法運算(1)(2020·畢節一診)已知i為虛數單位，若z(1＋i)2＝2＋i，則z＝()A．eq\f(1,2)－i B．－eq\f(1,2)＋iC．－eq\f(1,2)－i D．eq\f(1,2)＋iA解析：由z(1＋i)2＝2＋i得z＝eq\f(2＋i,1＋i2)＝eq\f(2＋i,2i)＝eq\f(2＋i·－2i,2i·－2i)＝eq\f(2－4i,4)＝eq\f(1,2)－i.(2)已知a∈R，i是虛數單位，若復數z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)∈R，則復數z＝________.eq\r(3)解析：因為復數z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)＝eq\f(a＋\r(3)i\r(3)－i,\r(3)＋i\r(3)－i)＝eq\f(\r(3)1＋a＋3－ai,4)＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＋eq\f(3－a,4)i∈R，所以eq\f(3－a,4)＝0，即a＝3.則復數z＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＝eq\f(4\r(3),4)＝eq\r(3).求解復數除數問題的注意點除法的關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．考向3復數運算的綜合應用(1)(2020·銀川三模)若復數z與其共軛復數eq\x\to(z)滿足z－2eq\x\to(z)＝1＋3i，則|z|＝()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)A解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－2eq\x\to(z)＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝eq\r(2).(2)已知復數z＝－1＋i(i是虛數單位)，則eq\f(z＋2,z2＋z)＝()A．－1 B．1C．－i D．iA解析：因為z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，則z2＋z＝－1－i，所以eq\f(z＋2,z2＋z)＝eq\f(1＋i,－1－i)＝eq\f(1＋i－1＋i,－1－i－1＋i)＝eq\f(－2,2)＝－1.故選A．(1