學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.4.2求函數零點近似解的一種計算方法——二分法知識點一：二分法的概念1．下列函數中，不能用二分法求零點的是2．用“二分法”可求近似解,對于精確度ε說法正確的是A．ε越大,零點的精確度越高B．ε越大，零點的精確度越低C．重復計算次數就是εD．重復計算次數與ε無關3．已知連續函數y＝f(x)，有f（a）·f(b）<0（a〈b)，則y＝f（x）A．在區間［a，b]上可能沒有零點B．在區間[a，b]上至少有一個零點C．在區間[a,b］上零點的個數為奇數D．在區間[a，b］上零點的個數為偶數4．下面關于二分法的敘述,正確的是A．用二分法可求函數所有零點的近似值B．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位C．二分法無規律可循，無法在計算機上完成D．只有在求函數零點時才用二分法5．已知函數f（x）的圖象是連續不斷的,有如下的x,f(x）對應值：x1234567f（x）136.13615。552－3。9210。88－52.488－232.06411。238由表可知,函數f（x）的零點有A．1個B．2個C．3個D．至少4個知識點二：二分法求函數的零點6．上圖是函數f(x)的圖象，它與x軸有4個不同的公共點．給出的下列四個區間中，存在不能用二分法求出的零點，則該零點所在的區間是A．[－2.1，－1]B．［1.9,2.3]C．[4.1,5]D．［5,6。1]7．已知函數f(x)在區間（0，a)上有唯一的變號零點（a〉0），在用二分法尋找零點的過程中，依次確定了零點所在的區間為（0，eq\f（a,2))、（0,eq\f（a,4））、(0，eq\f（a,8)),則下列說法中正確的是A．函數f(x)在區間(0，eq\f（a,16）)內有零點B．函數f(x）在區間（0，eq\f（a,16）)或（eq\f(a,16），eq\f(a,8))內有零點C．函數f（x）在區間（eq\f(a,16）,a)內無零點D．函數f（x）在區間（0，eq\f（a，16)）或(eq\f（a，16），eq\f(a，8））內有零點，或零點是eq\f（a,16）8．在用二分法求方程f(x)＝0在［0，1］上的近似解時，經過計算f（0.625）<0，f（0.75)>0，f（0。6875）〈0，即可得出方程精確到0。1的一個近似解為__________．9．三次方程x3＋x2＋2x＋1＝0在下列連續整數__________之間有根．①－2與－1②－1與0③0與1④1與2⑤2與310．用二分法求方程x3－x－1＝0在區間[1.0,1.5]內的實數根．（精確到0。1）能力點一:函數零點性質的應用11．利用二分法求函數f（x）＝x3－2x2＋3x－6在區間［－2,4]上的零點,則此零點必定在區間A．［－2,1]內B．[eq\f（5，2），4]內C．[1,eq\f(7，4）］內D．[eq\f(7,4）,eq\f(5,2)］內12．下列各圖中，函數圖象與x軸均有公共點，但不能用二分法求公共點橫坐標的是13．對于函數f（x）＝x3＋x＋m,若滿足f(a)<0，f（b）>0，則函數f（x)在區間（a，b）內至多有__________個零點．14．若函數f（x）對一切x均滿足f（x＋1)＝f（－x＋1),且該函數有8個零點，則這些零點的和為__________．15．借助計算器，用二分法求方程(x＋1）(x－2）（x－3)＝1在區間(－1，0)內的近似解（精確到0。1）．能力點二：二分法的綜合應用16．若函數y＝f(x）在區間（－2，2）上的圖象是連續不斷的曲線,且在(－2，2)上有且僅有一個零點，則f(－1)·f（1）的值A．大于0B．小于0C．等于0D．可正可負也可為零17．某方程有一個無理根在區間D＝（1，3）內,若用二分法,求此根的近似值,則將D至少等分__________次后，所得近似值的精確度為0。1.18．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區間[2,3］內的實根，取區間中點x0＝2.5,那么下一個有根區間為__________．19．函數f(x）＝x2＋（t－2)x＋5－t的兩個零點均大于2，則t的取值范圍是__________．20．已知y＝x（x－1）（x＋1）的圖象如圖所示．今考慮f(x）＝x（x－1）(x＋1）＋0。01,對于方程式f（x)＝0的根,五位同學得到了如下不同的答案，討論一下：哪位同學得到的結論成立？同學A：有三個實根．同學B：當x<－1時，恰有一實根（有一實根且僅有一實根）．同學C：當－1<x〈0時,恰有一實根．同學D：當0<x〈1時,恰有一實根．同學E：當x>1時,恰有一實根．21．用二分法求函數f（x）＝x3＋x2－8x－8的無理零點（精確到0。01）．22．在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障．這是一條10km長的線路,問如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個點要爬一次電線桿子，10km長,大約有200多根電線桿子呢!想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？23．如圖,有一塊邊長為15cm的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為xcm的小正方形,然后折成一個無蓋的盒子．(1）求出盒子的體積y以x為自變量的函數解析式，并討論這個函數的定義域；(2)如果要做成一個容積是150cm3的無蓋盒子，那么截去的小正方形的邊長x應是多少(精確到0。1cm)?答案與解析1．B2.B3．B∵f(a）·f（b)<0，∴由函數零點的性質判斷，得f（x)在［a，b]上至少存在一個零點．4．B5.D6.B7。D8．0。7f（0.6875)·f(0.75）<0，∴函數的零點在區間（0。6875，0.75）上，由精確度,知近似解為0。7.9．②10．解：設函數f(x）＝x3－x－1,∵f（1。0)＝－1〈0，f(1。5）＝0。875>0，且函數y＝f(x）的圖象是連續的曲線,∴方程x3－x－1＝0在區間［1。0,1.5]內有實根，用二分法逐步計算,列表如下:端點或中點橫坐標計算端點或中點的函數值定區間a0＝1。0，b0＝1。5f(1.0）＝－1，f（1。5)＝0。875[1。0,1.5］x0＝eq\f(1.0＋1。5，2)＝1。25f（x0)＝f(1。25）≈－0.297〈0[1.25,1。5］x1＝eq\f（1。25＋1。5，2）＝1。375f（x1)＝f(1.375)≈0。22>0［1。25,1．375]x2＝eq\f(1.25＋1.375，2）＝1.3125f(x2）＝f（1.3125)≈－0。05<0［1.3125,1．375]x3＝eq\f(1。3125＋1.375，2)＝1.34375f（x3)＝f（1.34375)≈0。08>0[1。3125,1．34375]由上表計算可知，區間［1。3125，1.34375]的左、右點精確到0.1所取的近似值都是1.4.故1。4可作為所求方程的一個正實數解的近似值．能力提升11．D取x＝0,1，2，…等整數計算，f(0)＝－6<0，f（1)＝－4〈0，f(2)＝0，∴x＝2是函數的零點，2∈［eq\f(7，4）,eq\f（5,2)］．12．B二分法只能求函數的變號零點．13．1易知該函數在（－∞，＋∞）上是增函數，又f(a)<0,f(b）>0，故該函數在（a，b)內有且只有一個零點．14．8∵f(x）的圖象關于x＝1對稱，若x0是它的一個零點，則2－x0也是其零點．∴每兩個關于x＝1對稱的零點之和為2.∵共有8個零點，∴其和為4×2＝8.15．解：令f（x）＝（x＋1）(x－2)(x－3)－1，由于f（－1）＝－1〈0，f(0）＝5>0，可取區間［－1,0］作為計算的初始區間．用二分法逐次計算，列表如下：端點（中點）坐標計算中點的函數值取區間f（－1）＝－1〈0f（0）＝5>0［－1,0]x1＝eq\f（－1＋0,2）＝－0。5f(x1)＝12。125>0［－1，－0。5］x2＝eq\f（－1－0。5，2)＝－0。75f(x2）＝1.578125>0［－1，－0.75］x3＝eq\f（－1－0。75，2）＝－0。875f(x3)＝0.3926>0[－1，－0.875]x4＝eq\f（－1－0.875，2)＝－0。9375f(x4）＝－0.2887〈0［－0.9375，－0.875]x5＝eq\f（－0.9375－0。875,2)＝－0.90625f（x5）＝0。0643〉0由上表可知，區間（－0.9375，－0.875)的長度小于0。1,所以這個區間的中點x5≈－0。9，即為區間（－1，0)內的近似解．16.D設x0為函數在區間（－2,2)上的零點，若x0(－1，1）,則f（－1)·f(1)>0;若x0∈（－1，1)，則f（－1）·f(1）<0;若x0＝－1或x0＝1，則f(－1)·f（1）＝0.17．5eq\f（3－1，2n)≤0.1，得2n≥20，n>4，故至少等分5次．18．[2,2。5]f(2）<0，f(2.5）〉0，f（3）>0,∴f(2)·f(2。5)<0,f（2.5）·f（3)>0.∴有根區間應為[2，2。5］．19．－5<t〈－4函數的兩個零點均大于2是指方程f(x)＝0有兩個大于2的實根,如下圖所示，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Δ＝t－22－45－t>0，,－\f（t－2，2）>2，,f2>0.))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（t〈－4或t>4，，t〈－2，，t〉－5。))∴－5<t〈－4.20．AB21．解：由于f(x)＝x3＋x2－8x－8＝（x＋1)(x2－8)，顯然函數f（x)的一個有理數零點是－1,而f(x)的無理零點就是函數g(x)＝x2－8的零點,故只需求出函數g（x)的零點即可．又g(x)＝x2－8是偶函數,因此只需求出函數g（x)的正數零點即可．由于g（2）＝－4<0，g（3)＝1>0。因此取［2,3]作為初始區間，用二分法逐次計算，列表如下：端點（中點)坐標計算中點的函數值取值區間［2,3]x1＝2。5g（x1)＝－1。75<0［2。5，3］x2＝2。75g(x2)＝－0。4375〈0[2。75,3］x3＝2.875g(x3）≈0.2656〉0[2.75，2。875]x4＝2。8125g（x4)≈－0。090〈0[2。8125，2.875]x5＝2。84375g（x5）≈0.087〉0［2。8125，2.84375]x6＝2.82812g（x6）≈－0。0017<0[2.82812，2。84375］x7＝2。83593g(x7)≈0。0425〉0［2.82812,2.83593]x8＝2。83202由于區間[2.82812,2.83593］的長度2.83593－2.82812＝0.00781〈0。01，故可得該區間中點2.83202的近似值2。83作為函數g(x）的零點，這樣－2。83也是函數g(x)的一個零點，所以原函數f（x）的無理零點是±2。83。拓展探究22．解：可以利用二分法的原理進行查找．如圖所示，他首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，發現AC段正常,斷定故障在BC段，再到BC段中點D查,這次發現BD段正常,可見故障在CD段，再到CD中點E來查．這樣每查一次，就可以把待查的線路長度縮減一半，故經過7次查找，即可將故障發生的范圍縮小到50m～100m之間，即一兩根電線桿附近．23．解：（1）盒子的容積y是以x為自變量的函數，解析式為y＝x(15－2x)2，x∈[0，7。5］．（2）如果要做成一個容積是150cm3的盒子，則有方程（15－2x）2·x＝150.令f(x)＝（15－2x)2·x－150，可以確定f(x)在［0,1]和［4，5]內各有一個零點,即方程（15－2x)2·x＝150在區間[0,1］和［4，5]內各有一個解．取區間［0，1］的中點，x1＝0.5，因為f（0.5)＝－52，所以零點x0∈［0.5，1]．再取中點x2＝0.75，因