學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2。2二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象～2．2.3待定系數(shù)法知識點一:二次函數(shù)的概念及作圖1．函數(shù)y＝(3－t)xt2－3t＋2＋tx＋1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則t的值為A．3B．0C．0或32．拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標是A．(2，－2)B．（1,－2）C．(1,－3)D．(－1，－3）3．已知a≠0，b〈0，一次函數(shù)是y＝ax＋b，二次函數(shù)是y＝ax2，則下列圖象中，可以成立的是4．下列四個函數(shù)中:A．y＝x2－3x＋2B．y＝5－x2C．y＝－x2＋2xD．y＝x2－4x＋4（1)圖象經(jīng)過坐標原點的函數(shù)是__________;(2)圖象的頂點在x軸上的函數(shù)是__________；（3)圖象的頂點在y軸上的函數(shù)是__________．知識點二：二次函數(shù)的性質(zhì)5．若f(x）＝－x2＋2ax在區(qū)間［0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間[2,3］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A．［1，2]B．［－1,0］C．[0，3]D．［0,1］6．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0，1］,若f（x）有最小值－2，則f（x)的最大值為A．－1B．0C．17．已知二次函數(shù)y＝6x－2x2－m的值恒小于零，則實數(shù)m的取值范圍是__________．8．拋物線y＝ax2與直線y＝kx＋1交于兩點，其中一點的坐標是（1,4），則另一點的坐標為__________．9．求函數(shù)y＝－3x2＋5x－6的對稱軸和頂點坐標，并說出它在哪個區(qū)間上是增函數(shù)？在哪個區(qū)間上是減函數(shù)？知識點三:待定系數(shù)法10．已知f(x)＝x2，g(x)是一次函數(shù),且是增函數(shù)，若f［g（x)］＝4x2－20x＋25，則g（x）＝__________。11．已知一個二次函數(shù)y＝f（x），f(0)＝3，又知當x＝－3或－5時，這個函數(shù)的值都為零,則這個二次函數(shù)的解析式為__________．12．已知二次函數(shù)滿足f（3x＋1)＝9x2－6x＋5,求f(x）的解析式．能力點一:二次函數(shù)圖象及性質(zhì)的應用13．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[2，＋∞）時是增函數(shù)，當x∈（－∞,2]時是減函數(shù)，則f（1)等于A．－3B．3C．714．如圖所示，坐標系中拋物線是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，則下列式子能成立的是A．a(chǎn)bc>0B．b〈a＋cC．a(chǎn)＋b＋c<0D．2c〈3b15．若f(x)＝(m－1）x2＋（m2－1）x＋1是一個偶函數(shù)，則f(x)在（－∞，0]上是A．增函數(shù)B．常數(shù)函數(shù)C．減函數(shù)D．可能是增函數(shù)，也可能是常數(shù)函數(shù)16．函數(shù)f（x)＝eq\f（1,1－x1－x)的最大值是__________．17．已知函數(shù)y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.（1）求這個函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；(2）求函數(shù)的最小值；(3)已知f（－eq\f（2,3））＝1，不計算函數(shù)值，求f(0)；(4)不直接計算函數(shù)值，試比較f（－eq\f(3,4））與f(eq\f(15,4)）的大小．18。已知函數(shù)f（x）＝x2＋2(a＋1)x＋2，x∈[－2，3］．（1）當a＝－2時，求函數(shù)f(x）的最大值和最小值；（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x）在區(qū)間[－2，3]上是單調(diào)函數(shù)．能力點二：二次函數(shù)的實際應用19．如圖,一個運動員推鉛球,鉛球剛出手時離地面1eq\f（2,3)m，鉛球落地點距鉛球剛出手時的水平距離為10m，鉛球運動的最高點M距地面3m．已知鉛球的運動軌跡是拋物線,求這個拋物線的解析式．20．如圖是一座拋物線型拱橋橫截面圖，橋下面正常水位AB寬20m，水位上升3m時就達到警戒線CD，這時水面寬度為10m。(1）在如圖所示的坐標系中，求拋物線的解析式；（2)若洪水到來時，水速以0.2m/h的速度上升，從警戒線開始,再持續(xù)多少小時才能到達拱頂?能力點三：待定系數(shù)法的綜合應用21．函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過P(3，－2)和Q(－1,2）兩點,則這個函數(shù)的解析式為A．y＝x－1B．y＝x＋1C．y＝－x－1D．y＝－x＋122．下圖為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，則該函數(shù)的解析式為__________．23．函數(shù)y＝f（x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)．已知y＝f(x）在［0,1]上是一次函數(shù)，在［1,4]上是二次函數(shù)，在x＝2時函數(shù)取得最小值，最小值為－5，且f（1)＋f(4)＝0.試求y＝f（x)，x∈[－1，4]的解析式．答案與解析基礎(chǔ)鞏固1．B2．Dy＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，∴頂點為（－1，－3）．3．C4．(1)C(2)D(3）B5．A由題意，知1≤eq\f（2a，2×－1)≤2，∴1≤a≤2.6．C∵f(x)＝－（x－2）2＋a＋4，∴f（x）圖象的對稱軸為x＝2。∴f（x)在［0，1]上單調(diào)遞增．∵f(x）min＝－2，即f(0)＝－2，即a＝－2，∴f（x）max＝f(1）＝1。7．m>eq\f(9,2）8．（－eq\f(1，4)，eq\f(1，4)）9．解：∵y＝－3x2＋5x－6＝－3(x－eq\f(5,6))2－eq\f(47，12),∴函數(shù)圖象的對稱軸是x＝eq\f（5,6）,頂點是（eq\f（5,6)，－eq\f（47,12）），在(－∞，eq\f(5，6）］上是增函數(shù)，在［eq\f(5，6)，＋∞)上是減函數(shù)．10．2x－5設(shè)g(x）＝kx＋b(k>0），f［g(x）]＝f(kx＋b)＝（kx＋b）2＝k2x2＋2kbx＋b2＝4x2－20x＋25，比較兩邊系數(shù)得k＝2,b＝－5,所以g（x)＝2x－5。11．y＝eq\f(1，5)x2＋eq\f（8，5）x＋312．解：設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0),則f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b（3x＋1）＋c＝9ax2＋（6a＋3b)x＋a＋b＋c。∴9ax2＋（6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5。比較兩邊系數(shù)，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（9a＝9，6a＋3b＝－6,a＋b＋c＝5))eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－4，,c＝8.））∴f（x）＝x2－4x＋8。能力提升13．A由題意，知－eq\f（－m，2×2）＝2,∴m＝8。∴f（1）＝2×12－8×1＋3＝－3.14．D15．D由f(－x）＝f（x)，得m2－1＝0，∴m＝±1.故f(x)＝1或f(x）＝－2x2＋1.∴選D.16.eq\f(4，3)∵f(x)＝eq\f（1，1－x1－x)＝eq\f(1,x2－x＋1）＝eq\f(1，x－\f(1,2)2＋\f(3,4）），∴f（x)≤eq\f（4,3），即f(x）有最大值eq\f(4,3）。17．解：y＝f（x)＝3x2＋2x＋1＝3(x＋eq\f（1,3））2＋eq\f(2,3）。（1）頂點坐標為(－eq\f（1,3），eq\f（2,3）)，對稱軸是直線x＝－eq\f（1,3).(2）當x＝－eq\f(1，3)時，ymin＝eq\f（2，3）。（3）∵函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(1,3）對稱,∴f(－eq\f(1，3）－x）＝f(－eq\f（1，3)＋x）．∴f（0)＝f(－eq\f（1,3）＋eq\f（1，3））＝f(－eq\f（1,3）－eq\f(1，3））＝f(－eq\f（2，3))＝1.(4)∵f(－eq\f(3，4））＝f（－eq\f（1，3）－eq\f（5,12）)＝f(－eq\f(1,3）＋eq\f(5,12)）＝f（eq\f（1，12）)，而函數(shù)在［－eq\f(1,3），＋∞)上是增函數(shù)，eq\f(1,12)<eq\f（15，4），∴f（eq\f(1,12)）〈f（eq\f（15,4)），即f（－eq\f(3，4)）<f(eq\f（15，4）)．18．解：（1)當a＝－2時，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1)2＋1,∴f(x)的圖象的對稱軸是x＝1.∴f(x）在[－2,1］上遞減，在(1，3］上遞增．∴當x＝1時，ymin＝1.∵f（－2）＝10，f(3）＝5，∴f（－2)>f(3）>f(1）．∴當x＝－2時，ymax＝10.（2）∵f（x)＝[x＋(a＋1）]2＋2－(a＋1）2,∴函數(shù)f（x)的圖象對稱軸為x＝－(a＋1)．當f（x)在［－2，3］上單調(diào)遞減時,有－（a＋1）≥3,即a≤－4;當f(x）在［－2，3］上單調(diào)遞增時，有－（a＋1)≤－2，即a≥1。綜上所述，當a≤－4或a≥1時，函數(shù)f（x）在［－2,3］上是單調(diào)函數(shù)．19．解:解法一：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c.則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（c＝1\f（2，3）,，100a＋10b＋c＝0，,\f(4ac－b2,4a）＝3，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－\f（1,12)，，b＝\f（2,3）,，c＝\f（5,3）。）)∴y＝－eq\f(1，12）x2＋eq\f(2,3)x＋eq\f（5，3)。解法二:設(shè)拋物線解析式為y＝a（x－h(huán))2＋3.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1\f（2,3）＝ah2＋3，,0＝a10－h(huán)2＋3,））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1，12)，，h＝4.))∴y＝－eq\f（1,12）（x－4)2＋3,即y＝－eq\f(1，12)x2＋eq\f（2,3）x＋eq\f(5，3）。20．解：（1)∵CD＝10，∴DF＝eq\f（1,2)CD＝5.AB＝20,BE＝eq\f(1，2)AB＝10。設(shè)拋物線方程為y＝ax2,則D(5，y0）．∴B的坐標為（10，y0－3）．又∵點D、B都在拋物線y＝ax2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝25a，,y0－3＝100a。))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－\f（1，25），，y0＝－1.)）∴拋物線解析式為y＝－eq\f(1，25)x2。(2)∵點D的坐標為(5，－1)，∴警戒線到拱橋頂?shù)木嚯x為1m。∴水面從警戒線到拱頂用的時間為eq\f（1，0。2)＝5（h）．答：若洪水到來時，水面以0.2m/h的速度上升，再持續(xù)5個小時，才能到達拱橋頂．21．D由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3k＋b＝－2，,－k＋b＝2，))解得k＝－1，b＝1。22．y＝eq\f(2，3)x2－eq\f(4,3）x－2設(shè)二次函數(shù)為y＝a（x＋1)（x－3），由于點（0，－2）在圖象上，∴－2＝a(0＋1）(0－3)．解得a＝eq\f(2，3).∴y＝eq\f（2,3)（x＋1）(x－3）＝eq\f（2，3）x2－eq\f(4，3)x－2。拓展探究23．解：當x∈[1，4]時,由題意,可設(shè)f（x)＝a(x－2)2－5(a〉0）,由f（1）＋f(4）＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，解得a＝2.∴f(x)＝2(x－2)2－5（1≤x≤