20232024人教版九年數學上冊同步學講練測系列講座之《概率初步》第05講樹狀圖列舉法求概率問題學習目標1.進一步理解等可能事件概率的意義。2.學習運用樹形圖計算事件的概率。3.進一步學習分類思想方法，掌握有關數學技能。對知識點的解讀知識點1.畫樹狀圖法當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發生的概率．知識點2.樹狀圖的畫法如一個試驗中涉及2個因數,第一個因數中有3種可能情況;第二個因數中有3種可能的情況.則其樹形圖如圖按事件發生的次序，列出事件可能出現的結果.知識點3.畫樹狀圖求概率的基本步驟（1）明確一次試驗的幾個步驟及順序；（2）畫樹狀圖列舉一次試驗的所有可能結果；（3）數出隨機事件A包含的結果數m，試驗的所有可能結果數n；（4）用概率公式進行計算.注意：什么時候用“列表法”方便，什么時候用“樹形圖”方便？(1)當一次試驗涉及兩個因素時，且可能出現的結果較多時，為不重復不遺漏地列出所有可能的結果，通常用列表法。(2)當一次試驗涉及3個因素或3個以上的因素時，列表法就不方便了，為不重復不遺漏地列出所有可能的結果，通常用樹形圖。類型題例題解析【例題1】（2023河南）為落實教育部辦公廳、中共中央宣傳部辦公廳關于《第41批向全國中小學生推薦優秀影片片目》的通知精神，某校七、八年級分別從如圖所示的三部影片中隨機選擇一部組織本年級學生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先畫樹狀圖，再根據概率公式計算即可．設三部影片依次為A、B、C，根據題意，畫樹狀圖如下：故相同的概率為．故選B．【點睛】本題考查了畫樹狀圖法計算概率，熟練掌握畫樹狀圖法是解題的關鍵．【例題2】（2023山西）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統文化的重要組成部分，若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是__________．【答案】【解析】用樹狀圖把所有情況列出來，即可求出．總共有12種組合，《論語》和《大學》的概率，故答案為：．【點睛】此題考查了用樹狀圖或列表法求概率，解題的關鍵是熟悉樹狀圖或列表法，并掌握概率計算公式．【例題3】（2023甘肅威武）為傳承紅色文化，激發革命精神，增強愛國主義情感，某校組織七年級學生開展“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學之旅，策劃了三條紅色線路讓學生選擇：A．南梁精神紅色記憶之旅（華池縣）；B．長征會師勝利之旅（會寧縣）；C．西路軍紅色征程之旅（高臺縣），且每人只能選擇一條線路．小亮和小剛兩人用抽卡片的方式確定一條自己要去的線路．他們準備了3張不透明的卡片，正面分別寫上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，小亮先從中隨機抽取一張卡片，記下字母后正面向下放回，洗勻后小剛再從中隨機抽取一張卡片．（1）求小亮從中隨機抽到卡片的概率；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都抽到卡片的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）本題考查了等可能時間的概率，帶入公式即可求解；（2）先用列表法或樹狀圖法列舉出所有可能的情況，再帶入公式計算即可．【詳解】（1）（小亮抽到卡片）．（2）列表如下：小剛小亮或畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，兩人都抽到卡片的結果有1種，所以，（兩人都抽到卡片）．【點睛】本題考查列舉法求概率，正確用樹狀圖或者列表法列舉出所有情況，并找到符合條件的事件數量，正確帶入公式計算是解題的關鍵．專題達標精練1.如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中同時閉合兩個開關能形成閉合電路的結果有4種，再由概率公式求解即可．把S1、S2、S3分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中同時閉合兩個開關能形成閉合電路的結果有4種，即AB、AC、BA、CA，∴同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率為．【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比，列出樹狀圖是解題的關鍵．2.某校團支部組織部分共青團員開展學雷鋒志愿者服務活動，每個志愿者都可以從以下三個項目中任選一項參加：①敬老院做義工；②文化廣場地面保潔；③路口文明崗值勤．則小明和小慧選擇參加同一項目的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根據題意畫出樹狀圖，然后再根據概率的計算公式進行計算即可．根據題意畫出樹狀圖，如圖所示：∵共有9種等可能的情況，其中小明和小慧選擇參加同一項目的有3種情況，∴小明和小慧選擇參加同一項目的概率為，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了概率公式、畫樹狀圖或列表格求概率，根據題意畫出樹狀圖或列出表格，是解題的關鍵．3.班長邀請，，，四位同學參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則，兩位同學座位相鄰的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】采用樹狀圖法，確定所有可能情況數和滿足題意的情況數，最后運用概率公式解答即可.【詳解】解：根據題意列樹狀圖如下：由上表可知共有12中可能，滿足題意的情況數為6種則，兩位同學座位相鄰的概率是.【點睛】本題主要考查了畫樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖成為解答本題的關鍵.4．在一個不透明的袋子里，有2個黑球和1個白球，除了顏色外全部相同，任意摸兩個球，摸到1黑1白的概率是．【答案】．【解析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與所摸到1黑1白的情況，再利用概率公式即可求得答案．依題意畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，所摸到的球恰好為1黑1白的有4種情況，∴所摸到的球恰好為1黑1白的概率是：=．故答案為：．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．解題時注意：概率=所求情況數與總情況數之比．5.（2023四川自貢）端午節早上，小穎為全家人蒸了2個蛋黃粽，3個鮮肉粽，她從中隨機挑選了兩個孝敬爺爺奶奶，請問爺爺奶奶吃到同類粽子的概率是________．【答案】##0.4【解析】畫樹狀圖可得，共有20種等可能的結果，其中爺爺奶奶吃到同類粽子有8種等可能的結果，再利用概率公式求解即可．【詳解】設蛋黃粽為A，鮮肉粽為B，畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結果，其中爺爺奶奶吃到同類粽子有8種等可能的結果，∴爺爺奶奶吃到同類粽子的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查用列表法或樹狀圖求概率、概率公式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．6.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則兩枚硬幣全部正面向上的概率是___．【答案】【解析】畫樹狀圖為：共有4種等可能的結果數，其中兩枚硬幣全部正面向上的結果數為1，所以兩枚硬幣全部正面向上的概率=．7.（2023江西）為了弘揚雷鋒精神，某校組織“學雷鋒，爭做新時代好少年”的宣傳活動，根據活動要求，每班需要2名宣傳員，某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學作為宣傳員．（1）“甲、乙同學都被選為宣傳員”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“隨機”）（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丁同學都被選為宣傳員的概率．【答案】（1）隨機（2）【解析】（1）由確定事件與隨機事件的概念可得答案；（2）先畫樹狀圖得到所有可能的情況數與符合條件的情況數，再利用概率公式計算即可．【詳解】（1）“甲、乙同學都被選為宣傳員”是隨機事件；（2）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中選中的兩名同學恰好是甲，丁的結果數為2，所以選中的兩名同學恰好是甲，丁的概率．【點睛】本題考查的是事件的含義，利用畫樹狀圖求解隨機事件的概率，熟記事件的概念與分類以及畫樹狀圖的方法是解本題的關鍵．8.（2023四川南充）為培養學生勞動習慣，提升學生勞動技能，某校在五月第二周開展了勞動教育實踐周活動．七（1）班提供了四類活動：A．物品整理，B．環境美化，C．植物栽培，D．工具制作．要求每個學生選擇其中一項活動參加，該班數學科代表對全班學生參與四類活動情況進行了統計，并繪制成統計圖（如圖）．（1）已知該班有15人參加A類活動，則參加C類活動有多少人？（2）該班參加D類活動的學生中有2名女生和2名男生獲得一等獎，其中一名女生叫王麗，若從獲得一等獎的學生中隨機抽取兩人參加學校“工具制作”比賽，求剛好抽中王麗和1名男生的概率．【答案】（1）10人（2）【解析】（1）根據A類人數及占比得出總人數，然后乘以C所占比例即可；（2）令王麗為女1，另外的女生為女2，男生分別為男1，男2，根據畫樹狀圖求概率即可求解．【詳解】（1）這次被調查的學生共有（人）參加C類活動有：（人）∴參加C類活動有10人；（2）解：令王麗為女1，另外的女生為女2，男生分別為男1，男2，畫樹狀圖為：共有12種等可能結果，符合題意的有4種，∴恰好選中王麗和1名男生的概率為：【點睛】本題主要考查了扇形統計圖的綜合運用，樣本估計總體，畫樹狀圖法求概率，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．9.（2023湖北黃岡）打造書香文化，培養閱讀習慣，崇德中學計劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡閱讀的書篇”為主題的調查活動，學生根據自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學類，C：政史類，D：藝術類，E：其他類）．張老師組織數學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調查，根據收集到的數據，繪制了兩幅不完整的統計圖（如圖所示）．根據圖中信息，請回答下列問題；（1）條形圖中的________，________，文學類書籍對應扇形圓心角等于________度；（2）若該校有2000名學生，請你估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數；（3）甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C，D三類書籍中隨機選擇一種，請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．【答案】（1）18，6，（2）480人（3）【解析】【分析】（1）根據選擇“E：其他類”的人數及比例求出總人數，總人數乘以A占的比例即為m，總人數減去A，B，C，E的人數即為n，360度乘以B占的比例即為文學類書籍對應扇形圓心角；（2）利用樣本估計總體思想求解；（3）通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況數，再利用概率公式計算．【詳解】（1）參與調查的總人數為：（人），，，文學類書籍對應扇形圓心角，故答案為：18，6，；（2）解：（人），因此估計最喜歡閱讀政史類書籍的學生人數為480人；（3）畫樹狀圖如下：由圖可知，共有9種等可能的情況，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的情況有2種，因此甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率為：．【點睛】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、利用樣本估計總體、利用畫樹狀圖或者列表法求概率等，解題的關鍵是將條形統計圖與扇形統計圖的信息進行關聯，掌握畫樹狀圖或者列表法求概率的原理．10.為喜迎中國共產黨第二十次全國代表大公的召開，紅星中學舉行黨史知識競賽．團委隨機抽取了部分學生的成績作為樣本，把成績按達標、良好、優秀、優異四個等級分別進行統計，并將所得數據繪制成如下不完整的統計圖．請根據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次調查的樣本容量是，圓心角β＝度；（2）補全條形統計圖；（3）已知紅星中學共有1200名學生，估計此次競賽該校獲優異等級的學生人數為多少？（4）若在這次競賽中有A，B，C，D四人成績均為滿分，現從中抽取2人代表學校參加縣級比賽．請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到A，C兩人同時參賽的概率．【答案】（1）50，144；（2）見解析（3）480（4）【解析】【分析】（1）由成績良好的學生人數除以所占百分比得出本次調查的樣本容量，即可解決問題；（2）求出成績優秀的人數，即可解決問題；（3）由紅星中學共有學生人數乘以此次競賽該校獲優異等級的學生人數所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中恰好抽到A，C兩人同時參賽的結果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）本次調查的樣本容量是：10+20%=50，則圓心角β=360°×=144°，故答案為：50，144；（2）成績優秀的人數為：5021020=18(人)，（3）補全條形統計圖如下：【小問3詳解】1200×（人）答：估計此次競賽該校獲優異等級的學生人數為480人；（4）畫樹狀圖如下，共有12種等可能的結果，其中恰好抽到A，C兩人同時參賽的結果有2種，恰好抽到A，C兩人同時參賽的概率為【點睛】此題考查了樹狀圖法、條形統計圖和扇形統計圖等知識．正確畫出樹狀圖是解題的關鍵，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．11．甲、乙、丙三位運動員在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績如下：甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5（1）根據以上數據完成下表：平均數中位數方差甲88乙882.2丙63（2）根據表中數據分析，哪位運動員的成績最穩定，并簡要說明理由；（3）比賽時三人依次出場，順序由抽簽方式決定，求甲、乙相鄰出場的概率．【答案】見解析。【解析】（1）根據方差公式和中位數的定義分別進行解答即可；（2）根據方差公式先分別求出甲的方差，再根據方差的意義即方差越小越穩定即可得出答案；（3）根據題意先畫出樹狀圖，得出所有情況數和甲、乙相鄰出場的情況數，再根據概率公式即可得出答案．解：（1）∵甲的平均數是8，∴甲的方差是：[（9﹣8）2+2（10﹣8）2+4（8﹣8）2+2（7﹣8）2+（5﹣8）2]=2；把丙運動員的射靶成績從小到大排列為：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，則中位數是=6；故答案為：6，2；（2）∵甲的方差是：[（9﹣8）2+2（10﹣8）2+4（8﹣8）2+2（7﹣8）2+（5﹣8）2]=2；乙的方差是：[2（9﹣8）2+2（10﹣8）2+2（8﹣8）2+3（7﹣8）2+（5﹣8）2]=2.2；丙的方差是：[（9﹣6）2+（8﹣6）2+2（7﹣6）2+2（6﹣6）2+2（5﹣6）2+（4﹣6）2+（3﹣6）2]=3；∴S甲2＜S乙2＜S丙2，∴甲運動員的成績最穩定；（3）根據題意畫圖如下：∵共有6種情況數，甲、乙相鄰出場的有4種情況，∴甲、乙相鄰出場的概率是=．【點評】此題考查了方差、平均數、中位數和畫樹狀圖法求概率，一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為，則方差S2=[（x1﹣xˉ）2+（x2﹣xˉ）2+…+（xn﹣xˉ）2]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立；概率=所求情況數與總情況數之比．12.九（1）班48名學生參加學校舉行的“珍惜生命，遠離毒品”只是競賽初賽，賽后，班長對成績進行分析，制作如下的頻數分布表和頻數分布直方圖（未完成）．余下8名學生成績尚未統計，這8名學生成績如下：60，90，63，99，67，99，99，68．頻數分布表分數段頻數（人數）60≤x＜70a70≤x＜801680≤x＜902490≤x＜100b請解答下列問題：（1）完成頻數分布表，a=，b=．（2）補全頻數分布直方圖；（3）全校共有600名學生參加初賽，估計該校成績90≤x＜100范圍內的學生有多少人？（4）九（1）班甲、乙、丙三位同學的成績并列第一，現選兩人參加決賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率．【答案】見解析【解析】（1）將余下的8位同學按60≤x＜70、90≤x＜100分組可得a、b的值；（2）根據（1）中所得結果補全即可得；（3）將樣本中成績90≤x＜100范圍內的學生所占比例乘以總人數600可得答案；（4）畫樹狀圖列出所有等可能結果，根據概率公式求解可得．【解答】（1）由題意知，60≤x＜70的有60、63、67、68這4個數，90≤x＜100的有90、99、99、99這4個，即a=4、b=4，故答案為：4，4；（2）補全頻數分布直方圖如下：（3）600×=50（人），故答案為：估計該校成績90≤x＜100范圍內的學生有50人．（4）畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，甲、乙被選中的有2種情況，∴甲、乙被選中的概率為=．【點評】本題考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力及．利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，也考查列表法或畫樹狀圖法求概率．13.隨著交通道路的不斷完善，帶動了旅游業的發展，某市旅游景區有A、B、C、D、E等著名景點，該市旅游部門統計繪制出2017年“五?一”長假期間旅游情況統計圖，根據以下信息解答