專題38概率【考查題型】【知識要點】知識點一確定事件與隨機事件事件類型的種類：①必然事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發生，這些事情稱為必然事件。

②不可能事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發生，這些事情稱為不可能事件。③隨機事件：在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發生，這些事情稱為隨機事件?！緜渥ⅰ勘厝话l生的事件發生的可能性最大，不可能發生的事件發生的可能性最小，隨機事件發生的可能性有大有小，不同的隨機事件發生的可能性的大小可能不同。知識點二頻率與概率概率的概念：某種事件在某一條件下可能發生，也可能不發生，但可以知道它發生的可能性的大小，我們把描述事件發生的可能性的大小的量叫做概率。概率的計算：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m中結果，那么事件A發生的概率為（），其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機事件)＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(隨機事件)＜P(必然事件)。利用列舉法求概率１）直接列舉法求概率當一次試驗中,可能出現的結果是有限個,并且各種結果發生的可能性相等時，通常采用直接列舉法。２）列表法求概率當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法。３）樹狀圖法求概率當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。利用頻率估計概率實際上，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發生的頻率去估計它的概率。用頻率估計概率，雖然不像列舉法能確切地計算出隨機事件的概率，但由于不受“各種結果出現的可能性相等”的條件限制，使得可求概率的隨機事件的范圍擴大。通常，在多次重復實驗中，一個隨機事件發生的頻率會在某一個常數附近擺動，并且隨著試驗次數增多，擺動的幅度會減小，這個性質稱為頻率的穩定性.【注意事項】概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值?？疾轭}型一判斷事件類型典例1（2022·湖北武漢·統考中考真題）彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是（

）A．必然事件 B．確定性事件 C．不可能事件 D．隨機事件變式11．（2022·江蘇揚州·統考中考真題）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月變式12（2022·四川德陽·統考中考真題）下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．拋擲硬幣時，正面朝上B．明天太陽從東方升起C．經過紅綠燈路口，遇到紅燈D．玩“石頭、剪刀、布”游戲時，對方出“剪刀”變式13（2022·江西·統考中考真題）某醫院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員，其余3人均是共產黨員．醫院決定用隨機抽取的方式確定人選．(1)“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；A．不可能

B．必然

C．隨機(2)若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產黨員的概率．考查題型二判斷事件發生可能性的大小典例2（2022·江蘇泰州·統考中考真題）如圖，一張圓桌共有3個座位，甲、乙，丙3人隨機坐到這3個座位上，則甲和乙相鄰的概率為(

)A． B． C． D．變式21（2021·貴州黔東南·統考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個球，下列事件是確定事件的為（

）A．至少有1個球是黑球 B．至少有1個球是白球C．至少有2個球是黑球 D．至少有2個球是白球變式22．（2022·貴州貴陽·統考中考真題）某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和安全知識競賽”．比賽規定，以抽簽方式決定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的數字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（

）A．小星抽到數字1的可能性最小 B．小星抽到數字2的可能性最大C．小星抽到數字3的可能性最大 D．小星抽到每個數的可能性相同考查題型三根據概率公式計算概率典例3（2022·廣東·統考中考真題）書架上有2本數學書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（

）A． B． C． D．變式31（2022·湖南懷化·統考中考真題）從下列一組數﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中隨機抽取一個數，這個數是負數的概率為（）A． B． C． D．變式32（2022·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的個白球、個紅球，則任意摸出一個球是紅球的概率是（

）A． B． C． D．變式33（2022·甘肅蘭州·統考中考真題）無色酚酞溶液是一中常見常用酸堿指示劑，廣泛應用于檢驗溶液酸堿性，通常情況下酚酞溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色．現有5瓶缺失標簽的無色液體：蒸餾水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將酚酞試劑滴入任意一瓶液體后呈現紅色的概率是（

）A． B． C． D．變式34（2022·山東東營·統考中考真題）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構成的圖形是軸對稱圖形的概率是（

）A． B． C． D．考查題型四根據概率求數量典例4（2022·黑龍江綏化·統考中考真題）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它差別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為，則這個箱子中黃球的個數為______個．變式41（2022·遼寧鞍山·統考中考真題）一個不透明的口袋中裝有5個紅球和個黃球，這些球除顏色外都相同，某同學進行了如下試驗：從袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，為一次摸球試驗．根據記錄在下表中的摸球試驗數據，可以估計出的值為_________．摸球的總次數10050010002000…摸出紅球的次數19101199400…摸出紅球的頻率0.1900.2020.1990.200…變式42（2022·四川廣元·統考中考真題）一個袋中裝有m個紅球，10個黃球，n個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么m與n的關系是________．考查題型五幾何概率典例5（2022·江蘇蘇州·統考中考真題）如圖，在的長方形網格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點．假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A． B． C． D．變式51（2022·遼寧朝陽·統考中考真題）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設可以隨意在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．1變式52（2022·江蘇徐州·統考中考真題）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在鏢盤上各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區域的概率為（

）A． B． C． D．變式53（2021·江蘇常州·統考中考真題）以下轉盤分別被分成2個、4個、5個、6個面積相等的扇形，任意轉動這4個轉盤各1次．已知某轉盤停止轉動時，指針落在陰影區域的概率是，則對應的轉盤是（）A．B．C．D．變式54（2021·甘肅蘭州·統考中考真題）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成棱長為1的小正方體，將它們全部放入一個不透明盒子中搖勻，隨機取出一個小正方體，只有一個面被涂色的概率為（

）A． B． C． D．變式55（2022·四川成都·統考中考真題）如圖，已知⊙是小正方形的外接圓，是大正方形的內切圓．現假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是_________．考查題型六列舉法求概率典例6（2022·安徽·統考中考真題）隨著信息化的發展，二維碼已經走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（

）A． B． C． D．變式61（2022·廣西貴港·中考真題）從，，2這三個數中任取兩個不同的數，作為點的坐標，則該點落在第三象限的概率是___．考查題型七列表法求概率典例7（2022·山西·中考真題）“二十四節氣”是中華上古農耕文明的智慧結晶，被國際氣象界普為“中國第五大發明”，小文購買了“二十四節氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂．小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）A． B． C． D．變式71（2022·山東臨沂·統考中考真題）為做好疫情防控工作，某學校門口設置了，兩條體溫快速檢測通道，該校同學王明和李強均從通道入校的概率是（

）A． B． C． D．變式72（2022·遼寧朝陽·統考中考真題）某社區組織A，B，C，D四個小區的居民進行核酸檢測，有很多志愿者參與此項檢測工作，志愿者王明和李麗分別被隨機安排到這四個小區中的一個小區組織居民排隊等候．(1)王明被安排到A小區進行服務的概率是．(2)請用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個小區工作的概率．變式73（2022·江蘇宿遷·統考中考真題）從甲、乙、丙、丁4名學生中選2名學生參加一次乒乓球單打比賽，求下列事件發生的概率．(1)甲一定參加比賽，再從其余3名學生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是；(2)任意選取2名學生參加比賽，求一定有乙的概率．（用樹狀圖或列表的方法求解）．變式74（2022·山東青島·統考中考真題）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、王亞平、葉光富相互配合進行授課，激發了同學們學習航天知識的熱情．小冰和小雪參加航天知識競賽時，均獲得了一等獎，學校想請一位同學作為代表分享獲獎心得．小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，誰獲勝誰分享，游戲規則如下：甲口袋裝有編號為1，2的兩個球，乙口袋裝有編號為1，2，3，4，5的五個球，兩口袋中的球除編號外都相同．小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和為奇數，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數，則小雪獲勝．請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平．考查題型八樹狀圖法求概率典例8（2022·北京·統考中考真題）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（

）A． B． C． D．變式81（2022·湖北武漢·統考中考真題）班長邀請，，，四位同學參加圓桌會議．如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則，兩位同學座位相鄰的概率是（

）A． B． C． D．變式82（2022·山東煙臺·統考中考真題）如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（）A． B． C． D．1變式83（2022·江蘇淮安·統考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數字．(1)第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是______；(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率．變式84（2022·江蘇連云港·統考中考真題）“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏．假設甲、乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種．(1)甲每次做出“石頭”手勢的概率為_________；(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸的概率．考查題型九游戲公平性典例9（2021·山東青島·統考中考真題）為踐行青島市中小學生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首歌．小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉》．她們想通過做游戲的方式來決定合唱哪一首歌，于是一起設計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形．同時轉動兩個轉盤，若兩個指針指向的數字之積小于4，則合唱《大海啊，故鄉》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需要重新轉動轉盤．請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平．變式91（2021·貴州遵義·統考中考真題）現有A，B兩個不透明的袋子，A袋的4個小球分別標有數字1，2，3，4；B袋的3個小球分別標有數字1，2，3．（每個袋中的小球除數字外，其它完全相同．）（1）從A，B兩個袋中各隨機摸出一個小球，則兩個小球上數字相同的概率是；（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規則是：甲從A袋中隨機摸出一個小球，乙從B袋中隨機摸出一個小球，若甲、乙兩人摸到小球的數字之和為奇數時，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹狀圖的方法說明這個規則對甲、乙兩人是否公平．變式9（2021·遼寧丹東·統考中考真題）一個不透明的袋子中裝有4個只有顏色不同的小球，其中2個紅球，2個白球，搖勻后從中一次性摸出兩個小球．（1）請用列表格或畫樹狀圖的方法列出所有可能性；（2）若摸到兩個小球的顏色相同，甲獲勝；摸到兩個小球顏色不同，乙獲勝．這個游戲對甲、乙雙方公平嗎？請說明理由．考查題型十用頻率估計概率典例10（2021·四川樂山·統考中考真題）在一次心理健康教育活動中，張老師隨機抽取了40名學生進行了心理健康測試，并將測試結果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結果為“健康”的頻率是（

）．類型健康亞健康不健康數據（人）3271A．32 B．7 C． D．變式101（2021·山東青島·統考中考真題）在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數是__________．變式102（2021·湖北宜昌·統考中考真題）社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程．整理數據后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖象如圖所示，經分析可以推斷盒子里個數比較多的是___________（填“黑球”或“白球”）．變式103（2021·遼寧錦州·統考中考真題）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了300次球，發現有120次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數約為____．變式104（2021·湖南長沙·統考中考真題）“網紅”長沙入選2021年“五一”假期熱門旅游城市．本市某景點為吸引游客，設置了一種游戲，其規則如下：凡參與游戲的游客從一個裝有12個紅球和若干個白球（