例題分析(1)一.概念題：例1判斷下列命題是否為真：(1)設(shè)A,B,C為任意集合,若AXB=AXC，則B=C.(2)設(shè)A,B,C為任意集合,則A-(BXC)=(A-B)X(A-C).(3)若<2x+y,6>=<5,x+y>,則x=-1,y=7.(4)若R1,R2在A上是反對稱的,則R1∪R2在A上也是反對稱的.例題分析(2)(5)等價(jià)關(guān)系可能也是偏序關(guān)系.(6)若f:A→B為單射,則f-1:B→A也為單射.答：(1)不是恒真命題.例如A=C={2},B={a},則A-(BXC)={2}-{<a,2>}={2},而(A-B)X(A-C)={2}XΦ=Φ,兩者不相等.(2)不是恒真命題.當(dāng)A≠Φ時(shí)為真，否則為假.例題分析(3)(3)為真.(4)為假.(5)為真.只能說:若f:A→B為單射,則f-1:ranf→A也為單射.這里ranfB.(6)不是恒真命題.例如A上的恒等關(guān)系既是等價(jià)關(guān)系，也是偏序關(guān)系.例題分析(4)例2已知A={1,2,3,4},列出以下關(guān)系中的元素？解：(1)R={<1,4>,<4,1>}∪IA(2)R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}(3)R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}.(4)R=EA-IA.(5)R=Φ.例題分析(5)例3已知A={1,2,3},R為A上的關(guān)系，且寫出R的關(guān)系表達(dá)式，畫出R的關(guān)系圖，并說明R的性質(zhì)。解：R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}。因?yàn)樯蠄D中的邊都是單向的，所以R是反對稱的。R是傳遞的，因?yàn)閳D中不存在這樣的情況:x到y(tǒng)有邊，y到z有邊，但x到z無邊。(x,y,x∈A)312GR例題分析(6)例4對于給定的A和R，判斷R是否為A上的等價(jià)關(guān)系：1.A為實(shí)數(shù)集，答：只有(4)中的R是A上的等價(jià)關(guān)系(1)中的R不是自反的，因?yàn)閤-x=0≠2。另外，R也不是對稱的，不是傳遞的。(2)中的R不是傳遞的，因?yàn)?R3,3R2成立，但1R2不成立.(3)中的R不是自反的，因?yàn)?R2不成立.(5)中的R不是傳遞的，例如X={a,b}.P(X)={Φ,{a},{b},{a,b}},則有{a}R{a,b},{a,b}R{b},但沒有{a}R{b}。(4)中的R是自反的，因?yàn)椋篟是對稱的，因?yàn)椋篟是傳遞的，因?yàn)椋豪}分析(7)例5

A={1,2,3,4},R為AXA上的等價(jià)關(guān)系求出由R引起的A的劃分。解：即兩個(gè)有序?qū)Φ葍r(jià)的充要條件是第1個(gè)元素減第2個(gè)元素所得的差相等。則AXA上等價(jià)的有序?qū)τ校?lt;1,2>~<2,3>~<3,4>.<2,1>~<3,2>~<4,3>.差為±1.<3,1>~<4,2>.<1,3>~<2,4>.差為±2.差為0.<1,1>~<2,2>~<3,3>~<4,4>.<1,4>~<1,4>.<4,1>~<4,1>.差為±3.R的等價(jià)劃分有：{<1,2>,<2,3>,<3,4>}。{<2,1>,<3,2>,<4,3>}。{<3,1>,<4,2>}。等價(jià)劃分的并集等于AXA.{<1,3>,<2,4>}。{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}。{<1,4>}。{<4,1>}。例題分析(8)例6已知X為集合，A=P(X)-{Φ}-{X},且A≠Φ,問：1.偏序集<A,>是否存在最大元？2.偏序集<A,>是否存在最小元？3.偏序集<A,>中極大元和極小元的一般形式是什么？4若X={a,b,c}，畫出<A,>的哈斯圖答：由于A是將P(X)中的{Φ}和{X}減去而得，且A≠Φ，所以A既無最大元也無最小元。它的極小元的一般形式為:{x},x∈X。當(dāng)X={a,b,c}時(shí),A={{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c}}。它的極大元的一般形式為:X-{x},x∈X。<A,>的哈斯圖為：{a}{a,b}{b}{c}{a,c}{b,c}例題分析(9)例7已知A、B為集合，f是二元關(guān)系，判斷下列命題是否構(gòu)成函數(shù)f:A→B，若是，則說明其是否為單射、滿射或雙射.1.A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}.2.A、B同上,f={<1,7>,<1,9>,<4,5>,<2,6>,<5,10>}.3.A、B同上,f={<1,8>,<4,9>,<2,6>,<3,10>}.4.A=B=R,f(x)=x3,(x∈R).判斷f與A、B能否構(gòu)成f:A→B？首先要檢查f內(nèi)是否都是有序?qū)Γ行驅(qū)Φ牡?元素是否有重復(fù)，然后再檢查domf是否等于A和ranf是否是B的子集。只有所有的檢查都通過，才能說f與A、B構(gòu)成f:A→B。5.A=B=R+,6.A=B=RXR,f(<x,y>)=<x+y,x-y>,令L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1},計(jì)算f(L).7.A=NXN,B=N,f(<x,y>)=|x2-y2|,計(jì)算f(NX{0}).答：(1)能構(gòu)成函數(shù)，但既不是單射也不是滿射.(2)不能構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)?lt;1,7>∈f且<1,9>∈f.(3)不能構(gòu)成函數(shù)，因?yàn)閐omf={1,2,3,4}≠A.(4)能構(gòu)成函數(shù)，且是雙射的.(5)能構(gòu)成函數(shù)，但既不是單射也不是滿射.因?yàn)楹瘮?shù)不是單調(diào)的，它在x=1處有極小值0.5。(6)能構(gòu)成函數(shù)，且是雙射的.f(<x,y>)=<x+y,x-y>,且L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1},所以f(L)={<2x+1,-1>|x∈R}=RX{-1}.(7)能構(gòu)成函數(shù)，但既不是單射也不是滿射.因?yàn)閒(<1,1>)=f(<2,2>)=0,2不屬于ranf。f(NX{0})={n2-02|n∈N}={n2|n∈N}.例題分析(10)例8對于給定的集合A、B，構(gòu)造雙射函數(shù)f:A→B.1.A=[0，1],B=[0.25,0.5]。2.A=[0，1],B=(0,1)。3.A=Z,B=N.4.A=[],B=[-1,1].答：構(gòu)造雙射函數(shù)最簡單的就是直線方程.所以，(1)的解就是<0,0.25>到<1,0.5>的直線方程：

f(x)=(x+1)/4。對于象(2)這樣值域和定義域的開閉情況不一樣的問題，通常的做法是：在區(qū)間內(nèi)選擇一個(gè)無窮序列，將端點(diǎn)對應(yīng)到序列的前部，其余的向后錯(cuò)位對應(yīng)。(3)由于要將整數(shù)集Z以雙射的形式映射到自然數(shù)集.所以，特構(gòu)造如下映射方法：Z:01-12-23-3……N:0123456……則這種映射對應(yīng)的函數(shù)為：(4)由于要將弧度映射到實(shí)數(shù).所以，首先想到三角函數(shù)：將π/2映射到–1，將3π/2映射到1，正好是:f(x)=-sinx.例題分析(6)二.計(jì)算題：例9已知A=P({Φ}),求P(A)X{Φ}?解：因?yàn)锳=P({Φ})={Φ,{Φ}}.所以，P(A)={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}.則:P(A)X{Φ}={<Φ,Φ>,<{Φ},Φ>,<{{Φ}},Φ>,<{Φ,{Φ}},Φ>}.例題分析例10已知R={<{Φ},{{Φ}}>,<{{Φ}},{Φ}>,<Φ,{Φ}>},S={<{Φ},Φ>}.求R2,R○S,S○R,domR,ranS和R-1?解：R2=R○R

={<{Φ},{Φ}>,<{{Φ}},{{Φ}}>,<Φ,{{Φ}}>}.R○S={<{{Φ}},Φ>,<Φ,Φ>}.S○R={<{Φ},{Φ}>}.domR={Φ,{{Φ}},{Φ}}.ran

S={Φ}.R-1={<{{Φ}},{Φ}>,<{Φ},{{Φ}}>,<{Φ},Φ>}.例12已知R的關(guān)系圖如下，求r(R),s(R)和t(R)的關(guān)系圖。abcdabcdr(R)的關(guān)系圖Gr.abcds(R)的關(guān)系圖Gs.abcdt(R)的關(guān)系圖Gt.例13設(shè)f∈RR,對于任意的x∈R,有:f(x)=x2-3x+2,令A(yù)={x|x∈R∧0≤x≤4}.求f(2),f(A).解：因?yàn)椋?∈R,所以f(2)是函數(shù)值。而A是R的子集，所以f(A)是A在f下的象，不是一個(gè)簡單的函數(shù)值.f(2)=22-3*2+2

=4-6+2=0.f(A)={f(x)|x∈A}，即是f在區(qū)間A:[0,4]的值域.經(jīng)分析f(x)是一個(gè)開口向上的拋物線，且在x=1.5處有極小值-0.25.所以f(A)等于在單調(diào)下降區(qū)間[0,1.5]的值域與在單調(diào)上升區(qū)間[1.5,4]的值域的并集.即：f(A)=f([0,1.5])∪f([1.5,4])=[-0.25,2]

∪[-0.25,6]

=[-0.25,6]

例14設(shè)f1,f2,f3,f4∈RR,且有:令Ei={<x,y>|x,y∈domfi∧fi(x)=fi(y)}為domfi上的等價(jià)關(guān)系，i=1,2,3,4.(1)求R/E1,R/E2,R/E3,R/E4.(2)設(shè)gi:R→R/Ei是自然映射，求gi(0),i=1,2,3,4.(3)對于每一個(gè)gi，i=1,2,3,4.指出它們是否是單射、滿射、雙射。解：(1)R/E1={{x|x∈R∧x≥0},{x|x∈R∧x<0}}R/E2={{x}|x∈R},R/E3={{x|x∈Z},{x|x∈R∧x∈Z}}R/E4={R},(2)g1(0)={x|x∈R∧x≥0}.g2(0)={0}.g3(0)={x|x∈Z}=Z.g4(0)=R.(3)g1、g2、g3、g4都是滿射.其中g(shù)2是單射，故g2是雙射。例題分析三.驗(yàn)證題：例15已知R1={<a,b>,<a,c>,<b,c>},R2={<a,a>,<b,b>,<c,b>},R3={<b,b>}.驗(yàn)證：(1)(R1○R2)○R3=R1○(R2○R3).(2)(R1○R2)-1=(R-12○R-11).(3)domR1=ranR-11.證：(1)R1○R2

={<a,b>,<a,c>,<b,c>}○{<a,a>,<b,b>,<c,b>}={<a,b>,<b,b>}.則：(R1○R2)○R3={<a,b>,<b,b>}○{<b,b>}.所以，(R1○R2)○R3={<a,b>,<b,b>}.因?yàn)椋琑2○R3

={<a,a>,<b,b>,<c,b>}○{<b,b>}={<b,b>,<c,b>}.則：R1○(R2○R3)={<a,b>,<a,c>,<b,c>}○{<b,b>,<c,b>}={<a,b>,<b,b>}.所以，(R1○R2)○R3=R1○(R2○R3).(2)(R1○R2)-1

={<a,b>,<a,c>,<b,c>}○{<a,a>,<b,b>,<c,b>}-1

={<a,b>,<b,b>}-1.則：(R1○R2)-1={<b,a>,<b,b>}.因?yàn)椋琑-12○R-11

={<a,a>,<b,b>,<b,c>}○{<b,a>,<c,a>,<c,b>}={<b,b>,<b,a>}.所以，(R1○R2)-1=R-12○R-11.(3).

domR1={a,b},

ran

R-11

=ran

{<b,a>,<c,a>,<c,b>}={a,b}.所以，domR1=ran

R-11.例題分析例16已知A={a,b,c},R={<a,a>,<a,b>,<b,c>}驗(yàn)證：(1)rs(R)=sr(R).(2)rt