2025屆銅陵市第一中學高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把93個面包分給5個人，使每個人所得面包個數成等比數列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個A.12 B.24C.36 D.482．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點，則的最小值為（）A. B.2C. D.33．若：，：，則為q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件4．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標號最大值是3的概率為（）A. B.C. D.5．已知函數（是的導函數），則（）A.21 B.20C.16 D.116．我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里7．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg8．已知直線為拋物線的準線，直線經過拋物線的焦點，與拋物線交于點，則的最小值為（）A. B.C.4 D.89．已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.310．已知{}為等比數列.，則＝（）A.—4 B.4C.—4或4 D.1611．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標準方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝112．若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．桌面排列著100個乒乓球，兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個數至少要拿1個，但最多又不能超過5個，這個游戲中，先手是有必勝策略的，請問：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏得這個游戲，你第一次該拿走___個球14．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________15．總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉化．“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數學家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數學愛好者的探究欲望．如圖所示，在由二項式系數所構成的“楊輝三角中，第10行第8個數是______16．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對角線的交點，E為PD的中點，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函數（1）當時，求的極值；（2）討論的單調性21．（12分）已知函數為常數，函數.（1）討論函數的單調性；（2）若函數的圖象與直線相切，求實數的值；（3）當時，在上有兩個極值點且恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）如圖，△ABC中，，，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉一周得到一個旋轉體（1）求該幾何體中間一個空心球表面積的大小；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設等比數列的首項為，公比，根據題意，由求解.【詳解】設等比數列的首項為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D2、D【解析】求出拋物線C的準線l的方程，過A作l的垂線段，結合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準線l：，顯然點A在拋物線C內，過A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點P的點，過作于點N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點P是過A作準線l的垂線與拋物線C的交點時，取最小值，所以的最小值為3.故選：D3、D【解析】根據充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為：，：，所以，所以為q的既不充分又不必要條件.故選：D.4、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對立事件的概率公式計算作答.【詳解】依題意，每次取到標號為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨立的，在兩次取得小球中，標號最大值是3的事件M，其對立事件是兩次都沒有取到標號為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標號最大值是3的概率為.故選：C5、B【解析】根據已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B6、B【解析】根據題意，記該人每天走的路程里數為，分析可得每天走的路程里數構成以的為公比的等比數列，由求得首項即可【詳解】解：根據題意，記該人每天走的路程里數為，則數列是以的為公比的等比數列，又由這個人走了6天后到達目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點睛】本題考查數列的應用，涉及等比數列的通項公式以及前項和公式的運用，注意等比數列的性質的合理運用.7、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D8、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因為直線為拋物線的準線，故即，故拋物線方程為：.設直線，則，，而，當且僅當等號成立，故的最小值為8，故選：D.9、D【解析】設出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D10、B【解析】根據題意先求出公比，進而用等比數列通項公式求得答案.【詳解】由題意，設公比為q，則，則.故選：B.11、D【解析】根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.12、C【解析】直接由公式，計算兩直線的方向向量的夾角，進而得出直線與所成角的大小【詳解】因為，，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據題意，由游戲規(guī)則，結合余數的性質，分析可得答案【詳解】解：根據題意，第一次該拿走4個球，以后的取球過程中，對方取個，自己取個，由于，則自己一定可以取到第100個球.故答案為：414、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.15、120【解析】根據二項式的展開式系數的相關知識即可求解.【詳解】因為，二項式展開式第項的系數為，所以，第10行第8個數是.故答案為：12016、對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【解析】因為命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特稱命題，根據特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定為：對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0故答案為對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用線面平行的判斷定理，證明線線平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問1詳解】連結EO，由題意可得O為BD的中點，又E是PD的中點，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問2詳解】如圖，以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個法向量為=(-1，1，-1)，∴設直線BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線BD與平面EAC所成的角的正弦值.18、（1）；（2）.【解析】（1）將題設條件化為，結合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理邊角關系可得，再應用輔助角公式、正弦函數的性質即可求最大值.【小問1詳解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小問2詳解】由（1）知：，則，設△ABC外接圓半徑為R，則，當時，取得最大值為19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據線面角的向量公式求出【詳解】（1）中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關系直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關系可以建立空間直角坐標系，根據線面角的向量公式即可計算得出20、（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析【解析】（1）求出導函數，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，從而得極值；（2）求出導函數，分類討論確定和解得單調性小問1詳解】當時，，(x>0)則令，得，得，得，所以的單調遞減區(qū)間為；單調遞增區(qū)間為.所以的極小值為f(2)=，無極大值.【小問2詳解】令則當時，在上單調遞減.當時，，得，，得;，得在上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述，當時，在上單調遞減.當時，在上單調遞減，在上單調遞增.21、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據題意求得，討論，，，時解，即可得出函數的單調區(qū)間；（2）設切點為則結合，得令通過求導研究單調性解得進而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導得原題意可轉化為函數在上有兩個不同零點.結合根分布可得，函數的兩個極值點為是在上的兩個不同零點可得且，代入函數中令通過單調性求出進而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當時，由得，由得，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，由得或由得所以在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，恒成立，所以上單調遞增.④當時，由得或由得所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上：①當時，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，在上單調遞增.④當時，在上單調遞減，在上單調遞增.(2)設切點為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設則，所以在單調遞增，在單調遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個不同零點.則，因為函數的兩個極值點為，則