陜西省西安市618中學2025屆高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，，則A. B.C. D.2．關于實數a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數列B.如果，則，，成等比數列C.如果，則，，成等差數列D.如果，則，，成等差數列3．給出如下四個命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④4．方程有兩個不同的解，則實數k的取值范圍為（）A. B.C. D.5．從裝有2個紅球和2個白球的袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個紅球；取出的球恰有1個白球C.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個白球；取出的球恰有2個白球6．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.7．在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質地均勻的硬幣做了100次試驗，發現正面朝上出現了48次，那么出現正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.488．已知數列中，，則（）A.2 B.C. D.9．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.10．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯構成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現故障的概率為（）A. B.C. D.11．某產品的銷售收入（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式為，生產成本（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式為，要使利潤最大，則該產品應生產（）A.6千臺 B.7千臺C.8千臺 D.9千臺12．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，則周長的最小值是__________.14．若函數恰有兩個極值點，則k的取值范圍是______15．已知數列的前項和為，且滿足，，則___________.16．曲線在點處的切線方程是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有1000人參加了某次垃圾分類知識競賽，從中隨機抽取100人，將這100人的此次競賽的分數分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計總體1000人中競賽分數不少于70分的人數；（3）假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數的平均數.18．（12分）在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，是的中點.（1）若為線段的中點，證明：平面；（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的長，若不存在，請說明理由.19．（12分）已知數列的前項和滿足，數列滿足（1）求，的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和20．（12分）證明：是無理數．（我們知道任意一個有理數都可以寫成形如（m，n互質，）的形式）21．（12分）已知函數，其中.（1）當時，求函數的單調性；（2）若對，不等式在上恒成立，求的取值范圍.22．（10分）在對某老舊小區污水分流改造時，需要給該小區重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價為248元/平方米，池底的建造單價為80元/平方米，池蓋的建造單價為100元/平方米，建造此污水處理池相關人員的勞務費以及其他費用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關規定執行，計算時忽略不計）（1）現有財政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設計污水處理池的長和寬，使總費用最低？最低費用為多少萬元？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】通過解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關系示意圖，可得出選項.【詳解】因為，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點睛】本題考查集合間的交集運算，屬于基礎題.2、B【解析】根據給定條件結合取特值、推理計算等方法逐一分析各個選項并判斷即可作答.【詳解】對于A，若，取，而，即，，不成等差數列，A不正確；對于B，若，則，即，，成等比數列，B正確；對于C，若，取，而，，，不成等差數列，C不正確；對于D，a，b，c是實數，若，顯然都可以為負數或者0，此時a，b，c無對數，D不正確.故選：B3、A【解析】對選項①，根據圓一般方程求解即可判斷①錯誤，對選項②，求出橢圓離心率即可判斷②錯誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯誤。【詳解】對于①選項，，，故①錯誤；對于②選項，由題知，所以，所以離心率，故②錯誤；對于③選項，拋物線化為標準形式得拋物線，故準線方程是，故③正確；對于④選項，雙曲線化為標準形式得，所以，焦點在軸上，故漸近線方程是，故④錯誤.故選：A4、C【解析】轉化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖圓心到直線的距離為，解得，當直線經過時由得，當直線經過時由得，所以實數k的取值范圍為.故選：C.5、D【解析】利用互斥事件、對立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個事件可以同時發生，不是互斥事件B答案中的兩個事件可以同時發生，不是互斥事件C答案中的兩個事件不能同時發生，但必有一個發生，既是互斥事件又是對立事件D答案中的兩個事件不能同時發生，也可以都不發生，故是互斥而不對立事件故選：D【點睛】本題考查的是互斥事件和對立事件的概念，較簡單.6、C【解析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準線為，所以根據拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.7、C【解析】頻率跟實驗次數有關，概率是一種現象的固有屬性，與實驗次數無關，即可得到答案.【詳解】頻率跟實驗次數有關，出現正面朝上的頻率為實驗中出現正面朝上的次數除以總試驗次數，故為.概率是拋硬幣試驗的固有屬性，與實驗次數無關，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C8、A【解析】根據數列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數列中的數從開始循環,數列的周期是，所以.故選：A.9、C【解析】根據不等式的基本性質，以及特例法和作差比較法，逐項計算，即可求解.【詳解】對于A中，當時，，所以不正確；對于B中，因為，根據不等式的性質，可得，對于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.10、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，進而結合對立事件的概率公式得，再根據條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A11、A【解析】構造利潤函數，求導，判斷單調性，求得最大值處對應的自變量即可.【詳解】設利潤為y萬元，則，∴.令，解得（舍去）或，經檢驗知既是函數的極大值點又是函數的最大值點，∴應生產6千臺該產品.故選：A【點睛】利用導數求函數在某區間上最值的規律：(1)若函數在區間上單調遞增或遞減，與一個為最大值，一個為最小值(2)若函數在閉區間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數在區間上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或小)值點，此結論在導數的實際應用中經常用到12、C【解析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用拋物線的定義結合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點為，準線的方程為，過點作，垂足為，則，所以的周長為，當且僅當三點共線時等號成立.故答案為：.14、【解析】求導得有兩個極值點等價于函數有一個不等于1的零點，分離參數得，令，利用導數研究的單調性并作出的圖象，根據圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數的定義域為，，令，解得或，若函數有2個極值點，則函數與圖象在上恰有1個橫坐標不為1的交點，而，令，令或，故在和上單調遞減，在上單調遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：15、【解析】當時，，可得，可得數列隔項成等比數列，即所以數列的奇數項和偶數項分別是等比數列，分別求和，即可得解.【詳解】因為，，所以，當時，，∴，所以數列的奇數項和偶數項分別是等比數列，所以.故答案為：.16、x-y-2=0【解析】解：因為曲線在點（1,－1）處的切線方程是由點斜式可知為x-y-2=0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質列出方程，能求出圖中的值；（2）先求出競賽分數不少于70分的頻率，由此能估計總體1000人中競賽分數不少于70分的人數；（3）由頻率分布直方圖的性質能估計總體1000人的競賽分數的平均數【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得圖中的值為0.040（2）競賽分數不少于70分的頻率為：，估計總體1000人中競賽分數不少于70分的人數為（3）假設同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替，估計總體1000人的競賽分數的平均數為：【點睛】本題主要考查頻率、頻數、平均數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平18、（1）證明見解析；（2）存在點，且的長為，理由見解析.【解析】（1）取的中點為，連接，得到，結合面面平行的判定定理證得平面平面，進而得到平面；（2）以為原點，所在的直線分別為軸、軸，以垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，設，求得的法向量為和向量，結合向量的夾角公式列出方程，求得的值，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點為，連接，因為分別為的中點，所以，又因為平面，且，所以平面平面，又由平面，所以平面.【小問2詳解】解：以為原點，所在的直線分別為軸、軸，以垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為底面是邊長為2的菱形，設，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，因為，所以，即，解得，設，可得，則，設平面的法向量為，則，令，可得，設直線與平面所成角為，所以，解得，即，所以存在點，且的長為.19、（1），；（2）.【解析】（1）由求得的遞推關系，結合可得其為等比數列，從而得通項公式，代入計算得；（2）求出，由錯位相減法求和【詳解】（1）由可得，，即，易知，故..（2）由（1）可知，①，②，①－②得，.【點睛】方法點睛：本題主要考查等比數列的通項公式及錯位相減法求和．數列求和的常用方法：公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組（并項）求和法，倒序相加法20、詳見解析【解析】利用反證法，即可推得矛盾.【詳解】假設有理數，則，則，為整數，的尾數只能是0,1,4,5,6,9，的尾數只能是0,1,4,5,6,9，則的尾數是0,2,8，由得，尾數為0，則的尾數是0，而的尾數為0或5，這與為最簡分數，的最大公約數是1，相矛盾，所以假設不正確，是無理數.21、（1）的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，（2）【解析】（1）求導可得，分析正負即得解；（2）轉化在上恒成立為，分析函數單調性，轉化為f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小問1詳解】當時，令，解得，，當變化時，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，【小問2詳解】由條件可知，從而恒成立當時，；當時，因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當f(1)≤1f(-1)≤1即在上恒成立所以，因此滿足條件的的取值范圍是22