第30講最大值的最小值問題（單峰函數、鉛錘距離）【典型例題】例1．已知函數，當，時，的最大值為，則的最小值為A． B． C． D．1例2．已知，，記的最大值為，則的最小值是A． B． C． D．例3．已知函數定義域為，，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．例4．已知，，，若對于任意的恒成立，則．例5．已知函數，當，時，設的最大值為，則的最小值為．例6．已知函數，當，時，的最大值為，則的最小值等于．例7．已知三次函數，，，．（1）在上有兩個零點，求的取值范圍；（2）是否存在實數，，使得任意，，均有，如存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【同步練習】一．選擇題1．已知函數定義域為，，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．2．已知函數，若對任意的實數，，總存在，，使得成立，則實數的取值范圍是A． B．， C．， D．，3．設函數，若對任意的正實數和實數，總存在，，使得，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，4．已知函數，對于任意的，，都存在，使得成立，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，5．已知函數，當，時，的最大值為，若的最小值為4，則實數的取值范圍為A．， B． C．， D．二．填空題6．設命題：“存在，，使得，其中，，．”若無論，取何值時，命題都是真命題，則的最大值為．7．已知函數．當，，的最大值為，則的最小值為．8．設函數，當，時，記的最大值為，則的最小值為．9．設函數，，．若對任意實數，，總存在實數，使得不等式成立，則實數的取值范圍是．10．設函數，若對任意的實數，，總存在使得成立，則實數的取值范圍是．11．設函數，若對任意的實數和實數，總存在，，使得，則實數的最大值是．12．設函數，若對任意的實數和，總存在，，使得，則實數的最大值為13．已知函數，當，時，的最大值為（a），則（a）的最小值為．

第30講最大值的最小值問題（單峰函數、鉛錘距離）【典型例題】例1．已知函數，當，時，的最大值為，則的最小值為A． B． C． D．1【解析】解：函數，當，時，的最大值為，可得，，①（1），②（4），③由①②③，可得，，，，則，即有的最小值為，故選：．例2．已知，，記的最大值為，則的最小值是A． B． C． D．【解析】解：由題意，即求函數最大值中的最小值，，則函數可理解為函數與函數在橫坐標相等時，兩縱坐標的豎直距離，作示意圖如下，由圖觀察可知，當位于直線和直線正中間時，函數取得最大值的最小值，易知，直線的方程為，又，令，解得，則直線的方程為（1），．故選：．例3．已知函數定義域為，，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．【解析】解：函數定義域為，，記的最大值為，可得，（1），（2），由于，可得，，可得的最小值為2．故選：．例4．已知，，，若對于任意的恒成立，則．【解析】解：由恒成立，可得，則，當時，可得，即，當時，可得，．那么：；綜上可得．故答案為：．例5．已知函數，當，時，設的最大值為，則的最小值為．【解析】解：函數，當，時，設的最大值為，可得，，，可得，，，，即，即有，當且僅當，時取得等號，則的最小值為，故答案為：．例6．已知函數，當，時，的最大值為，則的最小值等于．【解析】解：函數，，即四分之一圓，，上的點到直線的最大距離為，此時圓上點記作，如圖所示，只有過的中點且平行于直線的直線才能滿足條件，故當，時，的最小值為，，與的縱向距離，即的最小值為．故答案為：．解法二：解：函數，當，時，的最大值為，可得，，，可得，，，，即，即有，則的最小值為，故答案為：．例7．已知三次函數，，，．（1）在上有兩個零點，求的取值范圍；（2）是否存在實數，，使得任意，，均有，如存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）三次函數，，，，可得在上有兩個零點，可得△，，，，即，在直角坐標系中作出的可行域，求得，，，由過時，可得，由過時，可得，由過時，可得，可得的取值范圍是；（2）假設存在實數，，使得任意，，均有，可取，，可得，，，，化為，，，，猜想，滿足上面四式，證明任意，，均有，由，可得，可得的極值點為，由，（1），，，可得的值域為，，滿足題意．故存在，，且，成立．【同步練習】一．選擇題1．已知函數定義域為，，記的最大值為，則的最小值為A．4 B．3 C．2 D．【解析】解：函數定義域為，，記的最大值為，可得，（1），（2），可得，即為，可得的最小值為2．故選：．2．已知函數，若對任意的實數，，總存在，，使得成立，則實數的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解析】解：存在，，使得成立，，對任意的實數，，，；可看作橫坐標相同時，函數與函數圖象上點的縱向距離，則問題等價于求函數與函數圖象上點的縱向距離的最大值中的最小值；如圖，記，，連接，則圖中直線的斜率為，直線的方程為，設直線與直線平行，且與函數相切于點，，又，令，解得，切點，則切線的方程為，當直線與直線，平行且與兩直線距離相等時，即恰好處于兩直線正中間的位置時，函數與函數圖象上點的縱向距離能取得最大值中的最小值，此時，此時，，．故選：．法二：記函數的最大值為，由題意可知，對任意，恒成立，所以，依題意，，，，，分別令，0，2，可得，，，，（2），所以，，，，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以．故選：．3．設函數，若對任意的正實數和實數，總存在，，使得，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：設的最大值為（b），令，當，時，函數單調遞減，．，．由，解得．①由，時，（b）；時，（b）．當時，（b）．②由，（b），（b）．③由時，，（b），（b）．綜上可得：（b），．故選：．4．已知函數，對于任意的，，都存在，使得成立，則實數的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：的定義域為，，，，函數在，上單調遞增，，（1），存在，使得成立，存在，使的（1）或成立，或，即，或若且，則不存在，使得成立．則，即，，．，故當存在，使得成立時，，實數的取值范圍是：，．故選：．5．已知函數，當，時，的最大值為，若的最小值為4，則實數的取值范圍為A．， B． C．， D．【解析】解：當絕對值內兩式同號時，，當絕對值內兩式異號時，．令，，易知，，，，．當的最小值為4時，的最大值的最小值為4，幾何意義是圖象上的點到直線的距離最大值的最小值為4，此時恰好有；的最大值不超過4，即圖象上的點到直線的距離不超過4，故，解得．故選：．二．填空題6．設命題：“存在，，使得，其中，，．”若無論，取何值時，命題都是真命題，則的最大值為．【解析】解：由題意，函數，其對稱軸．令最小值、最大值分別為，，，對，，命“存在，，使得，即，；根據二次函數的最值分布，可令，當時，；當時，；綜上，的最大值為．故答案為：7．已知函數．當，，的最大值為，則的最小值為．【解析】解：依題意，，則，，當且僅當且時取等號．取，，則，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，（1）；取，，則，顯然函數在，上遞減，在，上遞增，，（2），；綜上所述，的最小值為7．故答案為：7．8．設函數，當，時，記的最大值為，則的最小值為．【解析】解：由去絕對值可得在，的最大值為，（2），，中之一，由題意可得，，（2），，，，，上面四個式子相加可得，，即有，可得的最小值為．故答案為：．9．設函數，，．若對任意實數，，總存在實數，使得不等式成立，則實數的取值范圍是．【解析】解：設的最大值為（b），令，則在，上，當時，即時，單調遞增，此時，當時，（b），當時，（b），從而當時，時，（b）取最小值，（b），當時，在，上單調遞增，在，上單調遞減，在，時，，當時，（b），在，時，，當時，（b），對任意實數，，總存在實數，使得不等式成立等價于恒成立，，故答案為：，．10．設函數，若對任意的實數，，總存在使得成立，則實數的取值范圍是．【解析】解：函數可理解為函數與函數橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離，作出的圖象如圖所示，由圖象可知，當位于直線與直線正中間時，函數取得最大值中的最小值，直線的方程為（2），因為是對勾函數，由對勾函數的性質，可得直線的方程為（1），所以，因為對任意的實數，，總存在使得成立，則，所以實數的取值范圍是．故答案為：．11．設函數，若對任意的實數和實數，總存在，，使得，則實數的最大值是．【解析】解：原問題等價于，構造函數，且（1）（3），則，解得，，則函數可理解為函數與函數在橫坐標相等時，兩縱坐標的豎直距離，作示意圖如下，由圖顯然，當函數位于直線與直線正中間時，函數取得最大值中的最小值，易知，直線的方程為，又，令，解得或（舍去），則直線的方程為，．故答案為：．12．設函數，若對任意的實數和，總存在，，使得，則實數的最大值為【解析】解：考慮問題的反面：存在實數和，對任意的，，使得成立，即，設，則，易知函數在上遞增，在上遞減，且（3），（1），而可理解為函數與直線在橫坐標相同時