第第頁第十二章概率其次講古典概型與幾何概型練好題·考點自測1.[2024全國卷Ⅲ,3,5分]兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列,則兩位女同學相鄰的概率是()A.16 B.14 C.12.[2024惠州第一次調研]依據中心關于精準脫貧的要求,某市某農業經濟部門隨機派遣甲、乙等4位專家對3個縣區進行調研,每個縣區至少派1位專家,則甲、乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為()A.16 B.14 C.13.[2024貴陽高三摸底考試]某學校星期一至星期五每天上午共支配五節課,每節課的時間為40分鐘,第一節課上課的時間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學請假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機到達教室,則他聽其次節課的時間不少于20分鐘的概率為()A.15 B.14 C.14.[2024全國卷Ⅰ,10,5分][理]圖12-2-1來自古希臘數學家希波克拉底所探討的幾何圖形.此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()圖12-2-1A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p35.[2024武漢高三模擬][與數列交匯]將數字1,2,3,4,5這五個數隨機排成一列組成一個數列,則該數列為先減后增數列的概率為()A.120 B.760 C.16.[2024江蘇,4,5分]將一顆質地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次,視察向上的點數,則點數和為5的概率是.

拓展變式1.(1)[與函數交匯]若a,b是從集合{-1,1,2,3,4}中隨機選取的兩個不同元素,則使得函數f(x)=x5a+xb是奇函數的概率為()A.320 B.310 C.925(2)[2024武漢高三質檢]我國古人認為宇宙萬物是由金、木、水、火、土這五種元素構成的,歷史文獻《尚書·洪范》提出了五行的說法,到戰國晚期,五行相生相克的思想被正式提出.這五種物質屬性的相生相克關系如圖12-2-3所示,若從這五種物質中隨機選取三種,則取出的三種物質中,彼此間恰好有一個相生關系和兩個相克關系的概率為()圖12-2-3A.35 B.12 C.22.(1)[2024湖北武漢模擬][與向量交匯]在平面直角坐標系xOy中,已知點A(3,0),B(1,2),D(3,2),動點P滿意OP=λOA+μOB,其中λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],則點P落在三角形ABD內的概率為()A.12 B.33 C.3(2)[2024江蘇,7,5分][與函數交匯]記函數f(x)=6+x-x2的定義域為D.在區間[-4,5]上隨機取一個數x,則x∈3.采納隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率,先由計算器給出0到9之間取整數的隨機數,指定0,1,2,3表示沒有擊中目標,4,5,6,7,8,9表示擊中目標,4個隨機數為一組,代表射擊4次的結果,經隨機模擬產生了如下20組隨機數:75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依據以上數據估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為.

4.[2024安徽六安一中模擬]河圖、洛書是中國古代流傳下來的兩幅神奇圖案,蘊含了深邃的宇宙星象密碼.河圖的排列結構如圖12-2-8所示,一與六共宗居下,二與七同道居上,三與八為朋居左,四與九為友居右,五與十同途居中,其中白圈為陽數,黑點為陰數.若從這10個數中任取3個數,則這3個數中至少有2個陽數且3個數能構成等差數列的概率為()A.15 B.120 C.1圖12-2-8答案其次講古典概型與幾何概型1.D四位同學排成一列,狀況有A44=24(種),兩個女生相鄰,狀況有A22·A33=12(種),所以所求概率2.A甲、乙等4位專家分到3個縣區,每個縣區至少派一位專家,等可能的狀況共有C42C21C11A23.B隨機到達教室總的時間長度為40分鐘,其次節課8:40起先,9:20結束,聽其次節課的時間不少于20分鐘,必需在9:00前到達教室,即8:50~9:00到達即可,時間長度為10分鐘,由幾何概型的概率計算公式知他聽其次節課的時間不少于20分鐘的概率P=1040=14.A解法一設直角三角形ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則區域Ⅰ的面積即△ABC的面積,為S1=12bc,區域Ⅱ的面積S2=12π×(c2)2+12π×(b2)2-[π×(a2)22-12bc]=18π(c2+b2-a2)+12bc=12解法二不妨設△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=2,則BC=22,所以區域Ⅰ的面積(即△ABC的面積)為S1=12×2×2=2,區域Ⅱ的面積S2=π×12-[π×(2)22-2]=2,區域Ⅲ的面積S3=π×(2)22-2=π-2.依據幾何概型的概率計算公式,得p1=p2=2π+2,p3=π-2π+2,所以p1≠p3,p5.B將1,2,3,4,5這五個數隨機排成一列,共組成A55個數列.若排成先減后增的數列,則最小的數字1是這個數列的最小項,當1排在第2項時,第一步,先從余下的4個數字中任取1個放在第1項,有C41種方法,其次步,把剩下的3個數字依據從小到大的依次排列在第3,4,5項,共有1種方法,所以共有C41×1=4(種)方法;同理當1排在第3項時有C42×1=6(種)方法;當1排在第4項時有C6.19將一顆質地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次,向上的點數共有36種狀況,其中點數和為5的狀況有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,則所求概率為41.(1)B記集合A={-1,1,2,3,4},要使函數f(x)=x5a+xb是奇函數(a,b是從A中隨機選取的兩個不同元素),則a,b只能是從{-1,1,3}中任選的兩個不同元素,則所求概率P=A32A(2)B解法一依題意,基本領件有C53=10(種),恰好有兩個不相克關系的狀況有C51·C解法二依題意,基本領件有C53=10(種),恰好有一個相生關系和兩個相克關系的狀況有C52·C解法三(列舉法)依題意,三種物質間相生相克關系如下表,×√√√×××√×√所以彼此間恰好有一個相生關系和兩個相克關系的概率P=510=2.(1)A由題意得OP=λOA+μOB=λ(3,0)+μ(1,2)=(3λ+μ,2μ).設P(x,y),則x=3因為λ∈[0,1],μ∈[0,2],λ+μ∈[1,2],所以0≤化簡得0≤2x-作出不等式組表示的平面區域,如圖D12-2-1中陰影部分所示,點P位于平行四邊形ABEC的內部(包含邊界).記事務M為點P落在三角形ABD內,則由幾何概型的概率計算公式可得所求概率為P(M)=S△ABCS(2)59由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,則D=[-2,3],則所求概率為33.0.4依據數據得該運動員射擊4次至少擊中3次的數據分別為75279857863669474698804595977424,所以該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為820=0.44.C從這10個數中任取3個數,共有C