《第一章特殊平行四邊形》培優檢測卷班級___________姓名___________學號____________分數____________考試范圍：全冊；考試時間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（2022·北京八十中八年級期中）在矩形中，對角線相交于點，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．2．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊三角形ADE，則∠BED等于（

）A．30°B．37.5°C．45°D．50°3．（2022·湖北荊門·八年級期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論不正確的是（

）A．當時，它是菱形 B．當時，它是菱形C．當時，它是矩形 D．當時，它是菱形4．（2021·浙江臺州·八年級期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經過點D的折痕DE．則∠BEC′的大小為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°5．（2022·山東·招遠市教學研究室八年級期中）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為6，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．18 B．12 C．9 D．86．（2022·河南·漯河市實驗中學八年級期中）如圖1，點F從菱形ABCD的頂點A出發，沿A-D-B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點F運動時，FBC的面積（cm2）隨時間x（s）變化的關系圖像，則a的值為（

）A．5 B．4 C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖所示，菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，則這個菱形的周長是________．8．（2022·江蘇南京·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，連接CE，若BC=8，AE=5，則CE=_____．9．（2022·福建省廈門集美中學八年級期中）如圖，菱形的邊長為2，且，是的中點，為上一點且的周長最小，則的周長的最小值為_____．10．（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，若AB=8，∠BAD=60°，則線段EF長度的最小值為______________．11．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合，DE＝12cm．當點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發沿射線AF方向滑動．當點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為_____cm．12．（2022·遼寧·東北育才學校八年級期中）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點E為射線DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，使點D落在點F處，若△CEF為直角三角形時，DE的長為______．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（2022·江蘇·蘇州高新區第一初級中學校八年級期中）如圖、在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周長．14．（2022·江蘇常州·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，E、F為BC上兩點，且BE＝CF，連接AF、DE交于點O．(1)求證：△AOD是等腰三角形；(2)若AF⊥DE，OF＝OA＝1，求矩形ABCD的周長．15．（2022·江蘇·泰州市第二中學附屬初中八年級期中）如圖，在菱形中，點P是的中點，僅用無刻度的直尺按要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖①中畫出的中點H；并證明理由．(2)在圖②中的菱形對角線上，找兩個點E、F，使．16．（2022·廣西南寧·八年級期末）如圖，正方形ABCD中，延長BC至點E，使得點C為BE的中點，連接AC，BD，DE．(1)求證：；(2)若，求正方形ABCD的面積．17．（四川省德陽市2021-2022學年八年級下學期期末數學試題）如圖，在□ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點F，交BC于點E．(1)求證；四邊形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，BF＝8，，求□ABCD的面積．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（2022·四川省榮縣中學校八年級期中）如圖，點E是矩形ABCD的邊CB延長線上一點，點F，G，H分別是AE，ED，BC的中點．(1)判斷四邊形FHCG的形狀，并證明；(2)求證：∠DEH＝∠FHE19．（2022·湖北荊門·八年級期末）我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形EFGH．(1)判斷這個中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；(2)當AC和BD之間滿足________時，這個中點四邊形EFGH是菱形．20．（2022·江蘇·蘇州市第十六中學八年級期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD、AN．(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)在點M移動過程中：①當四邊形AMDN成矩形時，求此時AM的長；②當四邊形AMDN成菱形時，求此時AM的長．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（2022·江西·定南縣教學研究室八年級期中）（1）如圖1，紙片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCF的位置，拼成四邊形AEFD，則四邊形AEFD的形狀為A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEFD中，在EF上取一點G，使EG＝4，剪下△AEG，將它平移至△DFH的位置，拼成四邊形AGHD．①求證：四邊形AGHD是菱形；②求四邊形AGHD的兩條對角線的長．22．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）某數學興趣小組開展圖形的折疊實驗探究，如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E為CD上一動點（不與C，D重合）(1)如圖（1），將沿BE折疊，使得點C的對應點恰好落在AD邊上的F處，求DE的長；(2)如圖（2），將沿BE折疊，使得點C的對應點為F，連接DF，當DF取得最小值時，求DE的長；(3)如圖（3），小明準備用上述紙片折疊一種紙飛機，發現其中一個步驟是需將沿BE折疊，使點C的對應點F落在矩形ABCD的對稱軸上，在這種情況下，求DE的長．六、（本大題共12分）23．（2022·江蘇·蘇州市景范中學校八年級期中）如圖1，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AE，并將AE繞點E順時針旋轉90°，得到EG，過點G作于點F，于點H．(1)①判斷：四邊形CFGH的形狀為____________；②證明你的結論；(2)如圖2，連接AG，交DC于I，連接EI，若，，求正方形ABCD的邊長；(3)如圖3，連接BD，與AE、AG交于P、Q兩點，試探索BP、PQ、QD之間的數量關系，并直接寫出結論：________________．《第一章特殊平行四邊形》培優檢測卷班級___________姓名___________學號____________分數____________考試范圍：全冊；考試時間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（2022·北京八十中八年級期中）在矩形中，對角線相交于點，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由矩形的性質可得，再證為等邊三角形，再由勾股定理即可求解．【詳解】解：在矩形ABCD中，，，∵∠AOB＝60°，∴為等邊三角形，∴，∴AC=4，在中，故選：A．【點睛】此題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質與判定以及勾股定理，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．2．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊三角形ADE，則∠BED等于（

）A．30°B．37.5°C．45°D．50°【答案】C【解析】【分析】由正方形的性質和等邊三角形的性質可得AB=AD=AE，∠BAE=150°，可求∠BEA=15°，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，∴∠BAE=150°，AB=AE，∴∠AEB=15°，∴∠BED=45°．故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．3．（2022·湖北荊門·八年級期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論不正確的是（

）A．當時，它是菱形 B．當時，它是菱形C．當時，它是矩形 D．當時，它是菱形【答案】A【解析】【分析】根據菱形、矩形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A，對角線相等的平行四邊形為矩形，時，四邊形ABCD是矩形，該結論不正確；B，菱形的對角線互相垂直，因此當時，四邊形ABCD是菱形，該結論正確；C，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，因此當時，四邊形ABCD是矩形，該結論正確；D，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，因此當時，四邊形ABCD是菱形，該結論正確；故選A．【點睛】本題考查了菱形和矩形的判定，解題關鍵是熟記相關判定定理，準確進行判斷．4．（2021·浙江臺州·八年級期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經過點D的折痕DE．則∠BEC′的大小為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解析】【分析】連接BD，由菱形的性質及∠A=60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，進而求出∠PDC=90°，由折疊的性質得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內角和定理即可求出所求角的度數．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折疊的性質得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．∴∠BEC′=180°-（∠DEC+∠DEC′）=30°．故選：C．【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，以及三角形內角和定理，熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵．5．（2022·山東·招遠市教學研究室八年級期中）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為6，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．18 B．12 C．9 D．8【答案】C【解析】【分析】過點E作EG⊥DC于點G，EH⊥BC于點H，證明△GEN≌△HEM，得到計算即可．【詳解】過點E作EG⊥DC于點G，EH⊥BC于點H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，AD⊥CD，AB⊥BC，∠BCD=90°，∴EG=EH，四邊形EHCG是矩形，∴四邊形EHCG是正方形，∴∠HEG=90°，∵∠MEN=90°，∴∠HEM=∠GEN=90°-∠MEG，∴△GEN≌△HEM，∵AE=EC，∴=9，故選C．【點睛】本題考查了正方形的判定和性質，三角形全等，角平分線的性質，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．6．（2022·河南·漯河市實驗中學八年級期中）如圖1，點F從菱形ABCD的頂點A出發，沿A-D-B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點F運動時，FBC的面積（cm2）隨時間x（s）變化的關系圖像，則a的值為（

）A．5 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】通過分析圖像，點F從點A到D用as，此時，△FBC的面積為2a，依此可求菱形的高DE，再由圖像可知，BD=5，應用勾股定理分別求BE和a即可．【詳解】解：過點D作DE⊥BC于點E，由圖像可知，點F由點A到點D用時為as，△FBC的面積為2acm2．∴AD=a∴DE?AD＝2a∴DE=4點F從D到B，用了5s∴BD=5，Rt△DBE中，BE===3，∵ABCD是菱形∴EC=a-1，DC=aRt△DEC中，a2=42+(a-3)2解得a=．故選D．【點睛】本題綜合考查了菱形性質和一次函數圖像性質，解答過程中要注意函數圖像變化與動點位置之間的關系是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖所示，菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，則這個菱形的周長是________．【答案】4【解析】【分析】首先根據菱形的性質可求得OA、OB，再利用勾股定理即可求得AB，據此即可解答．【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，，，AB=BC=CD=DA，在中，，這個菱形的周長為：4，故答案為：4．【點睛】本題考查了菱形的性質及勾股定理，熟練掌握和運用菱形的性質是解決本題的關鍵．8．（2022·江蘇南京·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，連接CE，若BC=8，AE=5，則CE=_____．【答案】【解析】【分析】首先證明AB=AE=CD=5，在Rt△CED中，根據勾股定理計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=8，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=5，∴DE=8-5=3，在Rt△EDC中，CE=．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．9．（2022·福建省廈門集美中學八年級期中）如圖，菱形的邊長為2，且，是的中點，為上一點且的周長最小，則的周長的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】先求PC+CE的最小值，再計算周長的最小值即可．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴A、C關于BD對稱，連接AE，交BD于點F，當P與F重合時，PE+PC最小，過點E作EG⊥AB，交AB的延長線于點G，∵

菱形的邊長為2，且，是的中點，∴BE=EC=1，AB=2，∠EBG=，∴BG=，，∴AG=AB+BG=，∴，∴的周長的最小值為AE+EC=，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質，將軍飲馬河原理，勾股定理，熟練掌握菱形性質和將軍飲馬河原理是解題的關鍵．10．（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，若AB=8，∠BAD=60°，則線段EF長度的最小值為______________．【答案】【解析】【分析】連接OP，根據菱形的性質得到AC⊥BD，∠CAB=∠DAB=30°，根據矩形的判定定理得到四邊形OEPF是矩形，求得EF=OP，當OP⊥AB時，OP最小，根據三角形的面積公式結論得到結論．【詳解】解：連接OP，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB=∠DAB=30°，∵PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，∴四邊形OEPF是矩形，∴EF=OP，∵當OP取最小值時，EF的值最小，∴當OP⊥AB時，OP最小，∵AB=8，∴OB=AB=4，OA==4，∴S△ABO=OA?OB=AB?OP，∴OP=，∴EF的最小值為2，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，垂線段最短，菱形的性質，熟練掌握垂線段最短是解題的關鍵．11．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合，DE＝12cm．當點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發沿射線AF方向滑動．當點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為_____cm．【答案】【解析】【分析】由題意易得cm，則當點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，然后可得，進而可知點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，最后問題可求解．【詳解】解：由題意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，∴cm，如圖，當點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，∵∠DAM=90°，∴四邊形NAMC′是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴平分∠NAM，即點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，∴當時，此時四邊形是正方形，CC′的值最大，最大值為，∴當點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為；故答案為．【點睛】本題主要考查正方形的性質、全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質及角平分線的判定定理，熟練掌握正方形的性質、全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質及角平分線的判定定理是解題的關鍵．12．（2022·遼寧·東北育才學校八年級期中）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點E為射線DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，使點D落在點F處，若△CEF為直角三角形時，DE的長為______．【答案】或8或或???????【解析】【分析】先利用勾股定理計算出AC=10，當△CEF為直角三角形時，有幾種情況：①當點F落在矩形內部時，如圖1所示．根據折疊的性質得∠AFE=∠D=90°，設DE=x，則EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可．②當點F落在AB延長線上時，如圖2所示．此時四邊形ADEF為正方形，得出DE=AD=8．③當點F落在BC邊上時，如圖3所示，易知AF=AD=8，BF=，設DE=EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可；④當點F落在CB延長線上時，如圖4，設DE=EF=x，CE=x-6，BF=，然后在Rt△CEF中運用勾股定理可計算出x即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，∴AC==10，當△CEF為直角三角形時，有下列幾種情況：①當點F落在矩形內部時，F落在AC上，如圖1所示．由折疊的性質得：EF=DE，AF=AD=8，CF=2，設DE=x，則EF=x，∴CE=6-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6-x）2，解得，∴；②當點F落在AB延長線上時，如圖2所示．此時四邊形ADEF為正方形，∴DE=AD=8．③當點F落在BC邊上時，如圖3：易知AF=AD=8，BF=，設DE=EF=x，CE=6-x，在Rt△EFC中，x2=（6-x）2+（8-）2，∴，∴；④當點F落在CB延長線上時，如圖4，設DE=EF=x，CE=x-6，則BF=，在Rt△CEF中，解得．綜上所述，DE的長為或8或或．故答案為：或8或或【點睛】本題考查了折疊的性質、矩形的性質、勾股定理、正方形的判定與性質等知識；熟練掌握折疊和矩形的性質是解決問題的關鍵．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（2022·江蘇·蘇州高新區第一初級中學校八年級期中）如圖、在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BC的延長線于點E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周長．【答案】(1)證明見解析；(2)18．【解析】【分析】（1）根據菱形的性質可得AD∥BC，AC⊥BD，進一步可得：AD∥CE，再由DE⊥BD，可得DE∥AC，即可求證；（2）根據平行四邊形的性質可得DE=AC=8，AD=CE，再由菱形的性質可得AC⊥BD，，，，從而得到AD=5，從而得到AD=CD=CE=5，即可求解．(1)證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，∵B、C、E共線，∴AD∥CE，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；(2)解：∵四邊形ACDE是平行四邊形，AC＝8，BD＝6，∴DE=AC=8，AD=CE，在菱形ABCD中，AC⊥BD，，，，∴∠AOD=90°，∴，∴AD=CD=CE=5，∴△CDE的周長為．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．14．（2022·江蘇常州·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，E、F為BC上兩點，且BE＝CF，連接AF、DE交于點O．(1)求證：△AOD是等腰三角形；(2)若AF⊥DE，OF＝OA＝1，求矩形ABCD的周長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明得到和，利用等角對等邊和等式的性質即可得到，即可完成求證；（2）利用等腰三角形的判定與性質和勾股定理分別求出AD和AB的長即可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C=90°，∵BE＝CF，∴BC-BE＝BC-CF，∴BF=CE，∴，∴，，∴，∴，∴△AOD是等腰三角形．(2)∵OF＝OA＝1，∴∴∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ODA=45°，∵矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAF=∠CDE=45°，∴∠AFB=45°=∠BAF，∴AB=BF，∵，∴，∴矩形ABCD的周長為．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理的應用、等腰三角形的判定與性質和全等三角形的判定與性質，解題關鍵是理解題意并牢記相關概念．15．（2022·江蘇·泰州市第二中學附屬初中八年級期中）如圖，在菱形中，點P是的中點，僅用無刻度的直尺按要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖①中畫出的中點H；并證明理由．(2)在圖②中的菱形對角線上，找兩個點E、F，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)連接AC、BD，交點為O，畫直線PO，交AD于點H，則H即為所求．(2)連接AC、BD，交點為O，畫直線PO，連接CH，交BD于點F；連接AP，交BD于點E．(1)連接AC、BD，交點為O，畫直線PO，交AD于點H，則H即為所求．證明如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵BP=PC，∴PO是△ABC的中位線，∴AB∥PH，∴四邊形ABPH是平行四邊形，∴BP=AH=，故點H為AD的中點．(2)如圖，連接AC、BD，交點為O，畫直線PO，交AD于點H，連接CH，交BD于點F；連接AP，交BD于點E，則E、F即為所求．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握菱形的性質，三角形中位線定理是解題的關鍵．16．（2022·廣西南寧·八年級期末）如圖，正方形ABCD中，延長BC至點E，使得點C為BE的中點，連接AC，BD，DE．(1)求證：；(2)若，求正方形ABCD的面積．【答案】(1)證明見解析(2)36【解析】【分析】（1）根據四邊形ABCD是正方形，得出，從而得到四邊形ACED是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質即可求解；（2）根據四邊形ACED是平行四邊形得到，再根據四邊形ABCD是正方形，得到，，在中根據勾股定理解得，即可求出正方形ABCD的面積．(1)（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴，即∵點C為BE的中點∴∴又∵∴四邊形ACED是平行四邊形∴(2)解：由（1）知四邊形ACED是平行四邊形∴∵四邊形ABCD是正方形∴，∴在中解得∴正方形ABCD的面積為：【點睛】本題主要考察了平行四邊形的性質和判定，正方形的性質，以及勾股定理的應用，熟悉以上性質是解題的關鍵．17．（四川省德陽市2021-2022學年八年級下學期期末數學試題）如圖，在□ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點F，交BC于點E．(1)求證；四邊形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，BF＝8，，求□ABCD的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質和角平分線的性質證明四邊形ABEF是平行四邊形，再由AFBE可得出結論；（2）先由菱形的性質得出AE⊥BF，，AO＝OE，AB＝BE＝5，再由勾股定理求出OE=3，從而得AE=6，即可求得CE=3，則BC=8，設AD與BC之間的距離為h，則可求解菱形ABEF的面積平行四邊形ABCD的面積，而菱形ABEF的面積，代入即可求解．(1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，即，又∵，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵，∴∠AFB＝∠FBE，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形．(2)解：∵四邊形ABEF是菱形∴AE⊥BF，，AO＝OE，AB＝BE＝5∴，∴AE＝6∵，∴CE＝3，∴BC＝8設AD與BC之間的距離為h，則∵菱形ABEF的面積，平行四邊形ABCD的面積∴菱形ABEF的面積平行四邊形ABCD的面積∵菱形ABEF的面積∴四邊形ABCD的面積【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質和菱形的判定與性質是解題的關鍵．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（2022·四川省榮縣中學校八年級期中）如圖，點E是矩形ABCD的邊CB延長線上一點，點F，G，H分別是AE，ED，BC的中點．(1)判斷四邊形FHCG的形狀，并證明；(2)求證：∠DEH＝∠FHE【答案】(1)四邊形FHCG是平行四邊形，證明詳見解析(2)詳見解析【解析】【分析】（1）由點F，G分別是AE，ED的中點，可得，由矩形的性質可得，又H是BC的中點，可得，進而可得四邊形FHCG是平行四邊形；（2）由矩形的性質可得∠DCB=90°，即△ECD是直角三角形，又點G是ED的中點，可得GC=GE，可得∠GCB=∠DEH，再由GC∥FH得∠GCB=∠FHE，進而可證結論．(1)解：四邊形FHCG是平行四邊形，證明如下：∵四邊形ABCD矩形，∴∵點F，G，H分別是AE，ED，BC的中點，∴，，∴，∴四邊形FHCG是平行四邊形．(2)證明：∵四邊形ABCD矩形，∴∠DCB=90°，在直角三角形△ECD中，點G是ED的中點，∴GC=GE，∴∠GCB=∠DEH，由（1）得四邊形FHCG是平行四邊形，∴GC∥FH，∴∠GCB=∠FHE，∴∠DEH＝∠FHE．【點睛】本題考查平行四邊形的判定、矩形的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質，綜合運用所學知識是解題的關鍵．19．（2022·湖北荊門·八年級期末）我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形EFGH．(1)判斷這個中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；(2)當AC和BD之間滿足________時，這個中點四邊形EFGH是菱形．【答案】(1)平行四邊形，理由見解析(2)理由見解析【解析】【分析】（1）根據四邊形的形狀，及三角形中位線的性質可判斷出四邊形EFGH是平行四邊形；連接AC、利用三角形的中位線定理可得出HG=EF、，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；（2）根據中位線的性質先證明結合（1）的結論可得結論．(1)證明：連接AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴，同理，綜上可得：，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形．(2)當時，這個中點四邊形EFGH是菱形，理由如下：連接BD，由中位線的性質可得：由（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．【點睛】本題考查的是三角形的中位線的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”是解本題的關鍵．20．（2022·江蘇·蘇州市第十六中學八年級期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD、AN．(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)在點M移動過程中：①當四邊形AMDN成矩形時，求此時AM的長；②當四邊形AMDN成菱形時，求此時AM的長．【答案】(1)見解析(2)①AM=1；②AM=2【解析】【分析】（1）由題意可證△DNE≌△AEM，則DN=AM，即可征四邊形AMDN是平行四邊形；（2）①若四邊形AMDN成矩形，可證△ADM是直角三角形，根據勾股定理可求AM的長；②若四邊形AMDN成菱形，可證△ADM是等邊三角形，可求AM的長．(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD=AD=2，AB∥CD，∴∠NDA=∠DAM，∵點E是AD的中點，∴AE=DE，且∠NDA=∠DAM，∠NED=∠AEM，∴△AEM≌△DNE，∴DN=AM，∵NC∥AB，∴四邊形AMDN是平行四邊形；(2)①若四邊形AMDN成矩形，則DM⊥AB，在Rt△ADM中，DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=AB=2，∴∠ADM=30°，∴AM=AD=1，∴當AM=1時，四邊形AMDN成矩形；②若四邊形AMDN成菱形，則DM=AM，∵DM=AM，∠DAB=60°，∴△ADM是等邊三角形，∴AM=AD=AB=2，∴當AM=2時，四邊形AMDN成菱形．【點睛】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定和性質、菱形的性質，熟練運用這些性質解決問題是本題的關鍵．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（2022·江西·定南縣教學研究室八年級期中）（1）如圖1，紙片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCF的位置，拼成四邊形AEFD，則四邊形AEFD的形狀為A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEFD中，在EF上取一點G，使EG＝4，剪下△AEG，將它平移至△DFH的位置，拼成四邊形AGHD．①求證：四邊形AGHD是菱形；②求四邊形AGHD的兩條對角線的長．【答案】（1）C；（2）①見解析；②，【解析】【分析】（1）由已知可得四邊形AEFD為平行四邊形，再根據AE⊥BC即可得到四邊形AEFD的形狀；（2）①與（1）類似可得四邊形AGHD為平行四邊形，再由勾股定理可得AG的長度，最后根據菱形的定義可以得解；②連接AH，DG，分別在Rt△DFG和Rt△AEH中利用勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵△AEB，將它平移至△DFC，∴AE∥DF，AE＝DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形,又AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四邊形AEFD為矩形，故選C；（2）①證明：∵在□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15，∴AE＝3．∵△AEG，將它平移至△DFH，∴AG∥DH，AG＝DH，∴四邊形AGHD是平行四邊形．在Rt△AEG中，AG＝，∴AG＝AD＝5，∴四邊形AGHD是菱形；②連接AH，DG，如圖3，在Rt△DFG中，FG＝GH﹣FH＝5﹣4＝1，DF＝3，∴DG＝，在Rt△AEH中，EH＝EG+GH＝4+5＝9，AE＝3，∴AH＝．【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握矩形和菱形的判定、平移的性質及勾股定理的應用是解題關鍵．22．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）某數學興趣小組開展圖形的折疊實驗探究，如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E為CD上一動點（不與C，D重合）(1)如圖（1），將沿BE折疊，使得點C的對應點恰好落在AD邊上的F處，求DE的長；(2)如圖（2），將沿BE折疊，使得點C的對應點為F，連接DF，當DF取得最小值時，求DE的長；(3)如圖（3），小明準備用上述紙片折疊一種紙飛機，發現其中一個步驟是需將沿BE折疊，使點C的對應點F落在矩形ABCD的對稱軸上，在這種情況下，求DE的長．【答案】(1)(2)(3)或【解析】【分析】（1）設DE=x，求出FD=2，根據勾股定理列出方程即可求解；（2）連接BD，DF≥BD-BF，當B、F、D三點共線時，DF最小，類似于（1）的方法求出DE長即可；（3）分F落在AD中垂線上，點F落在CD的中垂線上，類似（1）結合勾股定理求解即可．(1)解：∵，，由翻折可知，，FE=EC，設DE=x，則FE=EC=6-x，，FD=AD-AF=2，∴，解得，，DE長為．(2)解：連接BD，如圖1所示，∵DF≥BD-BF，當B、F、D三點共線時，DF最小，如圖2所示，，設DE=x，則FE=EC=6-x，FD=BD-BF=，∴，解得，，DE長為．

圖1