4.4解直角三角形的應(yīng)用第四章銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用解直角三角形在解仰角和俯角問(wèn)題中的應(yīng)用解直角三角形在解坡角、坡度問(wèn)題中的應(yīng)用解直角三角形在解方向角問(wèn)題中的應(yīng)用逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)流程2知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用知1－講11.

利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：(1)畫出平面圖形，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；(2)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活選用銳角三角函數(shù)等知識(shí)解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；(4)得到實(shí)際問(wèn)題的答案.知1－講2.

解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式如下表所示：圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα

－tanβ

)知1－講續(xù)表圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式AB＝DE＝AE·tanβ，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－講續(xù)表圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式知1－講特別提醒1.當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，可利用解直角三角形的知識(shí)直接求解.2.在解直角三角形時(shí)，若相關(guān)的角不是直角三角形的內(nèi)角，應(yīng)利用平行線的性質(zhì)或互余、互補(bǔ)的角的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角，再利用解直角三角形的知識(shí)求解.3.問(wèn)題中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的直角三角形，當(dāng)其中一個(gè)直角三角形不能求解時(shí)，可考慮分別由兩個(gè)直角三角形找出含有相同未知元素的關(guān)系式，運(yùn)用方程求解.知1－練如圖4.4-1所示，某居民樓Ⅰ高20m，窗戶朝南，該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺(tái)離地面距離CM為2m，窗戶CD高1.8m.現(xiàn)計(jì)劃在居民樓Ⅰ的正南方30m處新建一居民樓Ⅱ.當(dāng)正午時(shí)刻太陽(yáng)光線與地面成30°角時(shí)，要使居民樓Ⅱ的影子不影響居民樓Ⅰ所有住戶的采光，新建居民樓Ⅱ最高只能建多少米？例1知1－練解題秘方：解本題的關(guān)鍵是將實(shí)際中的相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)到直角三角形中，再用三角函數(shù)(正切)求解.解：設(shè)正午時(shí)，太陽(yáng)光線正好照在居民樓Ⅰ一樓住戶的窗臺(tái)處，此時(shí)新建居民樓Ⅱ高xm，如圖4.4-1所示，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F，則∠EFC=90°.知1－練

知1－練感悟新知1-1.如圖，某居民小區(qū)有一棟朝向?yàn)檎戏较虻木用駱牵摼用駱堑囊粯鞘歉?米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區(qū)冬至正午的陽(yáng)光與水平線夾角為29°(參考數(shù)據(jù)：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55)

.知1－練感悟新知(1)冬至正午時(shí)，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？解：冬至正午時(shí)，超市以上的居民住房采光有影響．理由：如圖，延長(zhǎng)光線交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為點(diǎn)G.則∠AGF＝90°，∠AFG＝29°.由題意得，GF＝BC＝20米，GB＝FC.知1－練感悟新知知1－練感悟新知(2)若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？(結(jié)果保留整數(shù))知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形.知1－練

知1－練

計(jì)算結(jié)果必須根據(jù)題目要求進(jìn)行保留.知1－練方法點(diǎn)撥解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的求解方法：1.根據(jù)題目中的已知條件，將實(shí)際問(wèn)題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；2.若條件中有直角三角形，則直接選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系求解即可；若條件中沒(méi)有直角三角形，一般需添加輔助線構(gòu)造直角三角形，再選用合適的三角函數(shù)關(guān)系求解.知1－練感悟新知2-1.

[二模·滁州]如圖，在修建公路AD

時(shí)，需要挖掘一段隧道BC，已知點(diǎn)A，B，C，D

在同一條直線上，CE⊥AD，∠ABE=143°，BE=1500米.知1－練感悟新知(1)求隧道兩端B，C之間的距離.(精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知1－練感悟新知(2)原計(jì)劃單向開(kāi)挖，但為了加快施工進(jìn)度，從B，C

兩端同時(shí)相向開(kāi)挖，這樣每天的工作效率提高了20%，結(jié)果提前2天完工．問(wèn)原計(jì)劃單向開(kāi)挖每天挖多少米？知1－練知2－講知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解仰角和俯角問(wèn)題中的應(yīng)用21.

仰角和俯角的定義：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，視線在水平線下方的角叫作俯角.知2－講特別提醒◆仰角和俯角是視線相對(duì)于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.◆實(shí)際問(wèn)題中遇到仰角或俯角時(shí)，要放在直角三角形中或轉(zhuǎn)化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－講解直角三角形在解仰角和俯角問(wèn)題中的應(yīng)用2.

示圖(如圖4.4-3)：感悟新知知2－練[中考·長(zhǎng)沙]2023年5月30日9點(diǎn)31分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖4.4-4所示，在發(fā)射的過(guò)程中，飛船從地面O

處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)A

點(diǎn)時(shí)，從位于地面C處的雷達(dá)站測(cè)得AC的距離是例3知2－練感悟新知8km，仰角為30°；10s后飛船到達(dá)B

處，此時(shí)測(cè)得仰角為45°．(1)求點(diǎn)A

離地面的高度AO；(2)求飛船從A

處到B

處的平均速度．(結(jié)果精確到

0.1km/s，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73)知2－練感悟新知解題秘方：結(jié)合題目中的“仰角”將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形求解.知2－練感悟新知(1)求點(diǎn)A

離地面的高度AO；

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知3-1.

[中考·張家界]“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量奇樓AB

的高度，測(cè)量方案如圖：先將無(wú)人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P

點(diǎn)，測(cè)得奇樓頂端A

的俯角為15°，再將無(wú)人機(jī)沿知2－練感悟新知水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測(cè)得奇樓底端B

的俯角為45°，求奇樓AB

的高度．(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)解：如圖，延長(zhǎng)BA交PQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則∠ACQ＝90°.由題意得，BC＝225m，PQ＝200m，知2－練感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解坡角、坡度問(wèn)題中的應(yīng)用31.

坡角與坡度(坡比)的定義：(1)坡角：坡面與水平面的夾角，如圖4.4-5中的α.知3－講解直角三角形在解坡角、坡度問(wèn)題中的應(yīng)用

知3－講解直角三角形在解坡角、坡度問(wèn)題中的應(yīng)用

知3－講特別提醒1.坡度是兩條線段長(zhǎng)的比值，不是度數(shù).2.表示坡度時(shí)，通常把比的前項(xiàng)取作1，后項(xiàng)可以是小數(shù).3.物體的傾斜程度通常可用物體的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越緩.知3－練感悟新知暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，如圖4.4-6所示，由山底A

處先步行300m到達(dá)B

處，再由B

處乘坐登山纜車到達(dá)山頂D

處.已知點(diǎn)A，B，D，E，F(xiàn)

在同一平面內(nèi)，山坡AB

的坡角為30°，纜車行駛路線BD

與水平面的夾角為53°(換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì))．例4

知3－練感悟新知(1)求登山纜車上升的高度DE；(2)若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A

處到達(dá)山頂D

處大約需要多少分鐘.(結(jié)果精確到0.1min，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)知3－練感悟新知解題秘方：將分散的條件集中到△BDE，通過(guò)解直角三角形求解.知3－練感悟新知(1)求登山纜車上升的高度DE；解：如圖4.4-6，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AF于點(diǎn)M，則∠AMB＝90°.由題意可知，∠A

＝30°，∠DBE

＝53°，DF

＝600m，AB

＝300m.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知(2)若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A

處到達(dá)山頂D

處大約需要多少分鐘.(結(jié)果精確到0.1min，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

5米感悟新知知4－講知識(shí)點(diǎn)解直角三角形在解方向角問(wèn)題中的應(yīng)用4名稱定義舉例方向角方向角是以觀察點(diǎn)為中心(方向角的頂點(diǎn))，以正北或正南方向?yàn)槭歼叄D(zhuǎn)到觀察目標(biāo)的方向線所成的銳角.目標(biāo)方向線OA，OB

，

OC

的方向角可以分別表示為北偏東30°，南偏東45°，北偏西45°，其中南偏東45°習(xí)慣上又叫作東南方向，北偏西45°習(xí)慣上又叫作西北方向.

知4－講感悟新知特別提醒1.方向角通常以南北方向線為主，分南偏東(或西)和北偏東(或西)，觀察點(diǎn)不同，所得的方向角也不同，但各個(gè)觀察點(diǎn)的南北方向線是分別互相平行的.2.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可利用正南、正北、正東、正西方向線構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.感悟新知知4－練如圖4.4-7所示，燈塔A周圍9海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B

處，測(cè)得燈塔A

在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達(dá)C

處，測(cè)得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.600)例5知4－練感悟新知解題秘方：根據(jù)題意作AD⊥BC，構(gòu)造直角三角形，設(shè)AD=x

海里，根