專題01平行線的判定與性質重難點題型專訓【題型目錄】題型一平行公理的應用題型二“三線八角”判定直線平行題型三平行線判定的綜合題型四平行線性質的綜合題型五根據平行線的性質求角度題型六平行線的性質在生活中的實際應用題型七平行線的判定與性質綜合（折疊問題）題型八平行線的判定與性質綜合（旋轉問題）【經典例題一平行公理的應用】【例1】（2021春·湖北鄂州·七年級統考期中）對于同一平面內的三條直線a，b，c，給出下列5個論斷：①a∥b；②b∥c；③a∥c；④a⊥b；⑤a⊥c．以其中兩個論斷作為題設，一個論斷作為結論，組成一個你認為不正確的命題是()A．已知①②則③ B．已知②⑤則④ C．已知②④則③ D．已知④⑤則②【答案】C【分析】根據平行線的判定定理對每個命題仔細分析，判斷其對錯．【詳解】解：A．根據平行線的傳遞性，由①②可得到③，所以A為真命題；B．根據平行線的性質和垂直的定義，由②⑤可得④，所以B為真命題；C．根據平行線的性質和垂直的定義，由②④可得b⊥c，所以C為假命題；D．根據平行線的判定，由④⑤可得②，所以D為真命題．故選：C．【點睛】本題考查了命題的敘述形式，利用了平行線的判定方法．【變式訓練】【變式1】（2022·全國·七年級專題練習）下列說法中是真命題正確的個數有（

）個（1）若ab，bd，則ad；（2）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平行；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據平行線的定義與判定、垂線的性質、平行公理對各小題分析判斷后即可得解．【詳解】（1）若ab，bd，則ad，故原說法正確；（2）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯誤；（3）在同一平面內，兩條直線不相交就平行，故原說法錯誤；（4）同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤．故選：A．【點睛】此題主要考查了平行公理，平行線的性質定義，垂線的性質，關鍵是熟練掌握課本內容．【變式2】（2020春·黑龍江牡丹江·七年級校考期中）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個交點；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個【答案】1【分析】根據各小題的描述情況，判斷各小題的正誤，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故（1）不正確；（2）∵平面內的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故（2）正確；（3）∵對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故（3）不正確；（4）∵三條直線兩兩相交，也可能是交于同一個點，故（4）不正確；（5）∵若ab，bc，則ac，故（5）不正確，正確的只有（2）一個選項，故答案為：1．【點睛】本題主要考察了平面內直線的位置關系，平行公理的應用、直線相交交點個數問題，解題的關鍵在于畫出題意所示的直線位置圖，以此判斷說法的正誤．【變式3】（2021春·七年級課時練習）探索與發現：(1)若直線a1⊥a2，a2∥a3，則直線a1與a3的位置關系是__________，請說明理由．(2)若直線a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，則直線a1與a4的位置關系是________．(直接填結論，不需要證明)(3)現在有2011條直線a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，請你探索直線a1與a2011的位置關系．【答案】（1）a1⊥a3，理由詳見解析；（2）a1∥a4；（3）a1⊥a2011.【分析】（1）根據兩直線平行，同位角相等得出相等的角，再根據垂直的定義解答；（2）根據（1）中結論即可判定垂直；（3）根據規律發現，與腳碼是偶數的直線互相平行，與腳碼是奇數的直線互相垂直，根據此規律即可判斷．【詳解】（1）a1⊥a3．理由如下：如圖1，∵a1⊥a2，∴∠1=90°，∵a2∥a3，∴∠2=∠1=90°，∴a1⊥a3；（2）同（1）的解法，如圖2，直線a1與a4的位置關系是：a1∥a4；（3）直線a1與a3的位置關系是：a1⊥a2⊥a3，直線a1與a4的位置關系是：a1∥a4∥a5，以四次為一個循環，⊥，⊥，∥，∥以此類推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直線a1與a2011的位置關系是：a1⊥a2011．【點睛】本題考查了平行公理的推導，作出圖形更有利于規律的發現以及規律的推導．【經典例題二“三線八角”判定直線平行】知識點：同位角、內錯角和同旁內角兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發現∠1與∠5都處于直線的同一側，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內錯角：可以發現∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內錯角。圖中的內錯角還有∠4與∠6。（3）同旁內角：可以發現∠4與∠5都處于直線的同一側，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內角。圖中的同旁內角還有∠3與∠6。知識點：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成：同位角相等，兩直線平行。幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內角互補，兩直線平行）【例2】（2022春·湖北省直轄縣級單位·七年級校考期中）將一副三角板按如圖放置，則下列結論①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有，其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據∠1+∠2=∠3+∠2即可證得①；根據求出∠1與∠E的度數大小即可判斷②；利用∠2求出∠3，與∠B的度數大小即可判斷③；利用求出∠1，即可得到∠2的度數，即可判斷④.【詳解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，∴∠1=∠3，故①正確；∵，∴∠E=60，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正確；∵，∴，∵,∴∠3=∠B,∴,故③正確；∵，∴∠CFE=∠C，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=,∴∠2=90∠1=，故④正確，故選：D.【點睛】此題考查互余角的性質，平行線的判定及性質，熟練運用解題是關鍵.【變式訓練】【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習）在鋪設鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經知道是直角，那么再度量圖中已標出的哪個角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】因為∠2是直角，只要找出與∠2互為同位角、內錯角、同旁內角的其他角，根據平行線的判定定理判定即可得到正確答案．【詳解】因為∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，根據“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠5和∠2是內錯角，如果度量出，根據“內錯角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠3和∠2是同旁內角，如果度量出，根據“同旁內角互補，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，所以答案為：A．【點睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關鍵是熟練的掌握平行線的判定定理．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點分別落在直線m，n上，對于給出的五個條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號）【答案】①④⑤【分析】根據平行線的判定方法和題目中各個小題中的條件，逐一判斷是否可以得到m∥n，從而可以解答本題．【詳解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合題意；∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合題意；∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合題意；過點C作CEm，∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合題意；∵∠ABC=∠2∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，∴mn，故⑤符合題意；故答案為：①④⑤．【點睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．【變式3】（2022春·北京·七年級校考期中）數學課上，同學提出如下問題：如何證明“兩直線平行，同位角相等”？老師說這個證明可以用反證法完成，思路及過程如下：如圖1，我們想要證明“如果直線，被直線所截，，那么”小貼士反證法不是直接從命題的已知得出結論，而是假設命題的結論不成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立．在某些情形下，反證法是很有效的證明方法。如圖2，假設，過點作直線，使，依據基本事實（1）___________，可得．這樣過點就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實（2）___________矛盾說明的假設是不對的，于是有．【答案】

同位角相等，兩直線平行

過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【分析】根據平行線的判定定理和平行公理解答即可．【詳解】解：假設，過點作直線，使，依據基本事實同位角相等，兩直線平行，可得．這樣過點就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾，說明的假設是不對的，于是有．故答案為：同位角相等，兩直線平行；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【點睛】本題考查的是反證法，熟記平行線的判定定理和平行公理是解題的關鍵．【經典例題三平行線判定的結合】【例3】（2021春·山東淄博·八年級校考期中）如圖，，C點在EF上，，BC平分，且．下列結論：①AC平分；②；③；④．其中結論正確的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據平行線的性質及角度的計算，等腰三角形的性質即可進行一一求解判斷.【詳解】根據，BC平分，且可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=∠DCF，又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=∠ECD，故AC平分，①正確；∵AC平分，∴∠1=∠ECA,∵∴∠1，∴，②正確；∵EF∥AB，∴∠FCB=∠B，∴∠B=∠DCB，∵∠1+∠DCB=90°，∴，③正確；∵EF∥AB，∴∠ECA=∠CAD，∵∠1=∠ECA∴∠1=∠CAD∵∠CDB是△ACD的一個外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正確；故選D【點睛】此題主要考查平行線的角度計算，解題的關鍵是根據圖像的特點進行求解.【變式訓練】【變式1】（2021春·山東青島·七年級青島經濟技術開發區第四中學校考階段練習）如圖，在四邊形中，點在上，連接，下列說法正確的是（

）.A．因為，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以【答案】C【分析】根據同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.觀察各個選項中角的數量關系（相等或互補）、位置關系是否符合上述三個定理，即可判斷所給選項是否正確.【詳解】A.因為和是同旁內角，所以根據不能得到，故A選項錯誤；B.因為和不是同位角也不是內錯角，所以根據不能得到，故B選項錯誤；C.因為和是同旁內角，所以根據可以得到，故本選項正確；D.和雖然是同位角，但根據只可以得出，故本選項錯誤.故本題選C.【點睛】本題考查平行線的判定定理，在這里①判斷兩條直線是否平行，是根據角的數量關系（相等或互補）和位置關系去判定的，只有同時滿足兩種關系，才可根據定理判斷平行；②完整的定理前面有一句兩直線被第三條直線所截，找準截線和被截線很關鍵（例如D選項和是同位角，它們的被截線是AB和DE）.【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現將木棒a、b同時順時針旋轉一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結束，則___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】設t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當秒時，當時，當時，當時，即可求解．【詳解】解：設t秒后木棒a，b平行，根據題意得：當秒時，，解得：t=2；當時，，解得：t=14；當時，木棒a停止運動，當時，，解得：t=10；（不合題意，舍去）當時，或，解得：t=50或t=110；綜上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案為：2或14或50或110【點睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應用，明確題意，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·全國·八年級專題練習）（1）學習了平行線以后，香橙同學想出了過一點畫一條直線的平行線的新方法，她是通過折紙做的，過程如（圖1）．①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b，使直線b經過點P，且，要求保留折紙痕跡，畫出所用到的直線，指明結果．無需寫畫法：②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點P的直線a的線．（2）已知，如圖3，，BE平分，CF平分．求證：（寫出每步的依據）．【答案】（1）①見解析；②垂；（2）見解析【分析】（1）①過點折紙，使痕跡垂直直線，然后過點折紙使痕跡與前面的痕跡垂直，從而得到直線；②步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點的直線的垂線．（2）先根據平行線的性質得到，再利用角平分線的定義得到，然后根據平行線的判定得到結論．【詳解】（1）解：①如圖2所示：②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點的直線的垂線．故答案為垂；（2）證明：平分，平分（已知），，（角平分線的定義），（已知），（兩直線平行，內錯角相等），（等量代換），（等式性質），（內錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的性質與判定．【經典例題四平行線性質的綜合】【例4】（2022春·浙江嘉興·七年級校考期中）如圖，AB//CD，∠1＝∠ABF，CE平分∠DCF，設∠ABE＝∠1，∠E＝∠2，∠F＝∠3，則∠1、∠2、∠3的數量關系是（

）A．∠1+2∠2+∠3＝360° B．2∠2+∠3—∠1＝360°C．∠1+2∠2—∠3＝90° D．3∠1+∠2+∠3＝360°【答案】A【分析】過點E作，過點F作，根據題意得，，根據平行線的性質得，，可得，，，，即可得，，則，，得，即可得，進行計算即可得．【詳解】解：如圖所示，過點E作，過點F作，∵，CE平分，，∴，，∵，∴，，∴，，，，∴，，即，，∴，∴故選A．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線，解題的關鍵是理解題意并掌握這些知識點．【變式訓練】【變式1】（2022春·廣西河池·七年級統考期末）如圖，，點在的上方，連接，，是延長線上的一點，連接，已知，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行線的性質，可以計算出∠GCF和∠GCB的度數，然后即可計算出∠BCF的度數．【詳解】解：過點C作GCAB，如圖所示：∵ABED，∴ABEDGC，∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，∴∠BCF＝∠GCF?∠GCB＝130°?50°＝80°，故選：B．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．【變式2】（2022春·江西九江·七年級統考期末）為了提醒司機不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時的平面示意圖，其中，是直線上的兩個發射點，，現激光繞點以每秒3度的速度逆時針旋轉，同時激光繞點以每秒2度的速度順時針旋轉，設旋轉時間為秒，當時，的值為________．【答案】12【分析】根據當時，，建立等式即可求解．【詳解】解：設旋轉時間為秒后，，由題意得：，，解得：，故答案為：12．【點睛】本題考查了一元一次方程，平行線的性質，解題的關鍵是根據時，得出．【變式3】（2022秋·吉林長春·七年級統考期末）（1）【問題】如圖1，若，，．則______；（2）【問題歸納】如圖1，若，請猜想，，之間有何數量關系？請說明理由；（3）【聯想拓展】如圖2，，點在的上方，問，，之間有何數量關系？直接寫出結論．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）過點作，根據平行線的性質可得，，進而可求解；（2）借助（1）的思路即可證明；（3）過點作，則，根據平行線的性質可得，即可得，結合可求解．【詳解】（1）如圖1，過點作，∵，，∴．∴又∵，∴，∴；故答案為：．（2）猜想：，理由如下：如圖1，過點作，∵，，∴．∴又∵，∴，∴．（3），理由：如圖2，過點作，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行線的性質，添加輔助線，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵．【經典例題五根據平行線的性質求角度】【例5】（（2022春·浙江杭州·七年級校考階段練習）如圖，，設，，正確的選項是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】如圖，利用平行線的判定和性質進行求解即可．【詳解】解：如圖：的頂點分別為，延長交直線與點，當，則，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴；A、無法求出∠2的度數，選項錯誤，不符合題意；B、無法求出∠3的度數，選項錯誤，不符合題意；C、，，選項錯誤，不符合題意；D、，選項正確，符合題意；故選D．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2022春·河北唐山·七年級統考期中）如圖，已知，于點，，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點H作，過點F作，根據平行線的性質定理進行解答即可．【詳解】解：如圖，過點H作，過點F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握判定與性質定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式2】（2022春·安徽安慶·七年級校考階段練習）如圖，，點E，F分別是AB，CD上的點，點M位于AB與CD之間且在EF的右側．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點N，則的度數為______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）過點M作MPAB，則ABCDMP，根據兩直線平行，內錯角相等可得答案；（2）過點N作NQAB，則ABCDNQ，根據兩直線平行內錯角相等和角平分線的定義可得答案．【詳解】解：（1）過點M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°90°=270°．故答案為：270；（2）過點N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案為：n°．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的性質定理和角平分線的定義是解題關鍵．【變式3】（2022春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統考期中）綜合與實踐(1)問題情境：圖中，，，，求的度數．小明的思路是：過作，通過平行線性質來求．按小明的思路，易求得的度數為______；（直接寫出答案）(2)問題遷移：圖中，直線，為平面內一點，連接、．若，，試求的度數；(3)問題拓展：圖中，直線，則、、之間的數量關系為______．【答案】(1)(2)(3)【分析】對于（1），作，通過平行線性質可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入，，即可求；對于（2），作，根據平行線的性質可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°150°=30°，即可求出的度數；對于（3），作，則，根據平行線的性質可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB∠APD=180°．（1）如圖，過作，∵AB//CD，∴，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠PCE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：；（2）過點作，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵，∴，∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（3）∠CDP+∠PAB∠APD=180°．如圖，過點作，則，∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF∠APD，∴∠DPF∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB∠APD=180°．故答案為：∠CDP+∠PAB∠APD=180°．【點睛】本題考查了平行線的性質，掌握平行線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【經典例題六平行線的性質在生活中的實際應用】【例6】（2022春·江蘇南通·七年級校考階段練習）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么兩次拐彎的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°【答案】B【分析】根據兩條直線平行的性質：兩條直線平行，同位角相等．再根據題意得：兩次拐的方向不相同，但角度相等．【詳解】解：如圖，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前進，可以得到∠1＝∠2．故選：B．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質．注意要想兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進，則拐的方向應相反，角度應相等．【變式訓練】【變式1】（2022春·江蘇連云港·七年級校考階段練習）如圖，修建一條公路，從王村沿北偏東方向到李村，從李村沿北偏西方向到張村，從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，則張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行線同位角相等和同旁內角互補的性質，即可完成求解．【詳解】∵王村沿北偏東方向到李村∴∵從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，且從李村沿北偏西方向到張村∴∴張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數為故選：B．【點睛】本題考查了方位角、平行線的知識；解題的關鍵是熟練掌握平行線同位角相等和同旁內角互補的性質，從而完成求解．【變式2】（2022春·云南昆明·七年級統考期末）《七彩云南》少數民族傳統藝術表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點和點的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當光線與燈帶的夾角______時，．【答案】140°或40°【分析】當AB與在AC同側時，CB′∥AB，同旁內角互補；當AB與CB"在AC異側時，CB"∥AB，內錯角相等．【詳解】解：如下圖：當AB與CB′在AC同側時，當CB′∥AB時，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°當AB與CB"在AC異側時，當CB"∥AB時，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補及需要由分論討論的思想求解．【變式3】（2022春·江蘇常州·七年級統考期末）去年汛期期間，防汛指揮部在某重要河流的一段危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是15度/秒，燈B轉動的速度是5度/秒．假定這一帶兩岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°．(1)若燈B射線先轉動4秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？(2)如圖2，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前．若燈A射出的光束與燈B射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉動過程中，∠BAC與∠BCD的數量關系是否發生變化？若不變，請直接寫出其數量關系；若改變，請說明理由．【答案】(1)2秒或17秒(2)不變，【分析】（1）設A燈轉動x秒時兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：①在燈A射線轉到AN之前；②在燈A射線轉到AN之后．分別求得x的值即可．（2）設燈A轉動的時間為x秒，根據角的和差關系分別用含x的代數式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到兩角的數量關系．(1)設A燈轉動x秒時兩燈的光束互相平行，①當0＜x＜12時，15x＝(x＋4)×5，解得x＝2；②12＜x＜24時，180?15(x?12)＝(4＋x)×5，解得x＝17；③24＜x＜32時，15(x?24)＝(4＋x)×5，解得x＝38，38＞32，不符合題意，舍去．綜上所述，當A燈轉動2秒或17秒時兩燈的光束互相平行．(2)設燈A轉動的時間為x秒，則∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．∴∠CAN＝180°?15x，∴∠BAC＝45°?（180°?15x）＝15x?135°，∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°?10x．∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°?∠BCA＝10x?90°＝10（x?9°），∵∠BAC＝15x?135°＝15（x?9°），∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．【點睛】本題考查了平行線的性質及角的和差關系，分類討論是解題的關鍵．【經典例題七平行線的判定與性質綜合（折疊問題）】【例7】（2022春·浙江杭州·七年級校考期中）一條兩邊沿互相平行的圍巾按圖所示折疊，已知∠DAB∠ABC=8°，且DFCG，則∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【答案】B【分析】將圍巾展開，利用折疊的性質和平行線的性質推導即可．【詳解】解：如圖，將圍巾展開，則∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，設∠ABC=x，則∠DAB=x+8°，∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，即2x+2（x+8°）=180°，解得x=41°，∴∠DAB+2∠ABC=（x+8°）+2x=131°．故選：B．【點睛】本題考查折疊的性質與平行線的性質，根據∠FDC+∠FDM=180°列方程是解題的關鍵．【變式訓練】【變式1】（2022春·黑龍江牡丹江·七年級校考期末）一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【答案】A【分析】先根據平行線的性質可得的度數，根據折疊的性質可得，進而可得，即可判斷①③；再利用平行線的性質可得、的度數，即可判斷②；再根據折疊的性質可得的度數，進而可得的度數，即可判斷④【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形∴由折疊的性質可得故①正確故③正確故②正確又由折疊的性質可得：故④正確故選：A【點睛】本題主要考查平行線的性質和折疊的性質，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質和折疊的性質．【變式2】（2022春·福建福州·七年級校考期中）如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【答案】【分析】設∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質可得∠ADF=180°m，則∠ADC=180°m+2x，由圖（2）折疊性質可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數．【詳解】解：設∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°m，∴∠ADC=180°m+2x，由圖（2）折疊性質可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO∠CDE=．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質及角的有關計算，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的性質．【變式3】（2022秋·貴州銅仁·九年級統考階段練習）如圖，將一張上、下兩邊平行（即ABCD）的紙帶沿直線MN折疊，EF為折痕．(1)試說明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連續兩次利用定理“兩直線平行，內錯角相等”即可求證；（2）先利用求出，再利用求出，最后利用關系式求解即可．【詳解】（1）解：證明：∵，∴．∵，∴，∴．（2）∵，∠2＝54°∴．根據折疊的性質知：，∴．又∵，即，∴，∴．【點睛】本題考查平行的性質，折疊的性質，掌握平行的性質和折疊前后對應的角相等是解題的關鍵．【經典例題八平行線的判定與性質綜合（旋轉問題）】【例8】（2022秋·八年級課時練習）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時針旋轉，旋轉的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當α＝15°時，DC∥ABB．當OC⊥AB時，α＝45°C．當邊OB與邊OD在同一直線上時，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個旋轉過程，共有10個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【答案】A【分析】設OC與AB交點為M，OD與AB交點為N，當α＝15°時，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可證DC∥AB；當OC⊥AB時，α+∠A＝90°，可得α＝30°；當邊OB與邊OD在同一直線上時，應分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況；整個旋轉過程，因OC、OB、OD、OA都有交點，只有AB和CD存在平行，根據圖形的對稱性可判斷有兩個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行．【詳解】解：設OC與AB交點為M，OD與AB交點為N，當α＝15°時，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正確；當OC⊥AB時，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B錯誤；當邊OB與邊OD在同一直線上時，應分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況，故C錯誤；整個旋轉過程，因OC、OB、OD、OA都有交點，只有AB和CD存在平行，根據圖形的對稱性可判斷有兩個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行，故D錯誤；故選A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，垂直的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.【變式訓練】【變式1】（2022春·江蘇宿遷·七年級校考階段練習）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立即回轉，B燈發出的光束自BP逆時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉動30°，B燈每秒轉動10°，B燈先轉動2秒，A燈才開始轉動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設燈旋轉的時間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數，再根據平行線的性質可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設燈旋轉的時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈先轉動2秒，燈才開始轉動，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當時，，，，，，即，解得，符合題設；②如圖，當時，，，，，，即，解得符合題設；③如圖，當時，，，同理可得：，即，解得，不符題設，舍去；綜上，燈旋轉的時間為1秒或秒，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質、一元一次方程的幾何應用等知識點，正確求出時間的取值范圍，并據此分三種情況討論是解題關鍵．【變式2】（2022春·江西南昌·七年級校考階段練習）如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，在射線CD轉動一周的時間內，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間t=_____．【答案】5秒或95秒【分析】分①AB與CD在EF的兩側，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據內錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；②CD旋轉到與AB都在EF的右側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；③CD旋轉到與AB都在EF的左側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解．【詳解】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側時，∠ACD＝120°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠ACD＝∠BAC，即120°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝5；如圖②CD旋轉到與AB都在EF的右側時，∠DCF＝360°?(3t)°?60°＝300°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即300°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝95；如圖③CD旋轉到與AB都在EF的左側時，∠DCF＝(3t)°?(180°?60°＋180°)＝(3t)°?300°，∠BAC＝t°?110°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即(3t)°?300°＝t°?110°，解得t＝95，此時∠BAC＝t°?110°＜0°，∴此情況不存在．綜上所述，當時間t的值為5秒或95秒時，CD與AB平行．故答案為：5秒或95秒．【點睛】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵，要注意分情況討論．【變式3】（2022春·北京·七年級校考期中）“一帶一路”讓中國和世界聯系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時針旋轉至便立即回轉，燈射線從開始順時針旋轉至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉動的速度是每秒，燈轉動的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若燈射線先轉動秒，燈A射線才開始轉動，在燈射線到達之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時開始轉動，兩燈射出的光束交于點，且，則在燈射線到達之前，轉動的時間為______秒．【答案】(1)60(2)秒或秒(3)或【分析】（1）設，則，根據，可列出關于x的等式，解出x即可求解；（2）設A燈轉動秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當時，根據，可得；當時，根據，可得；（3）分類討論當時和當時，畫出圖形，分別根據平行線的性質結合題意構建方程解決問題即可．（1）設，則，∵，即，∴，∴．故答案為：60；（2）設A燈轉動秒，兩燈的光束互相平行，由題意可知，．當時，如圖，，．，，．，解得；當時，如圖，，．，，．∵，∴，，解得

．綜上所述，當30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）設燈A射線轉動時間為秒，當時，過點作，，，，，，，，又，∴，解得：，∴，此時與共線，不符合題意；當時，同的圖可得，則，解得：；如圖中，當時，同可知．因為此時，，解得：．綜上可知，t的值為100或140．故答案為：100或140．【點睛】本題主要考查平行線的性質，平行公理及推論，一元一次方程的應用．利用數形結合和分類討論的思想是解題關鍵．【培優檢測】1．下列說法中，正確的是（）A．不相交的兩條直線是平行線B．過一點有且只有一條直線與已知直線平行C．從直線外一點作這條直線的垂線段叫做點到這條直線的距離D．在同一平面內，一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則與另一條也垂直．【答案】D【分析】運用平行線，垂線的定義，點到直線的距離及平行公理及推論判定即可．【詳解】A、不相交的兩條直線是平行線，要在同一平面內的前提條件下，故A選項錯誤；B、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故B選項錯誤；C、從直線外一點作這條直線的垂線段叫做點到這條直線的距離，應為垂線段的長度，故C選項錯誤；D、在同一平面內，一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則與另一條也垂直，故D選項正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線，垂線的定義，點到直線的距離及平行公理及推論，解題的關鍵是熟記定義與性質．2．在探究平行線的判定——基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行時，老師布置了這樣的任務：請同學們分組在學案上（如圖），用直尺和三角尺畫出過點P與直線AB平行的直線PQ；并思考直尺和三角尺在畫圖過程中所起的作用．小菲和小明所在的小組是這樣做的：他們選取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的畫圖方法畫出AB的平行線PQ，并將實際畫圖過程抽象出平面幾何圖形（如圖）．以下是小菲和小明所在小組關于直尺和三角尺作用的討論：①在畫平行線的過程中，三角尺由初始位置靠著直尺平移到終止位置，實際上就是先畫∠BMD=45°，再過點P畫∠BMD=45°②由初始位置的三角尺和終止位置的三角尺各邊所在直線構成一個“三線八角圖”，其中QP為截線③初始位置的三角尺和終止位置的三角尺在“三線八角圖”中構成一組同位角④在畫圖過程中，直尺可以由直線CD代替⑤在“三線八角圖”中，因為AB和CD是截線，所以，可以下結論“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”其中，正確的是（

）A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤【答案】B【分析】這種畫法就是畫同位角∠DMB和∠DEP相等，從而判斷PQ∥AB，從而根據平行線的判定定理對各小題進行判斷．【詳解】在畫平行線的過程中，三角尺由初始位置靠著直尺平移到終止位置，實際上就是先畫∠BMD=45°，再過點P畫∠BMD=45°，所以①正確；由初始位置的三角尺和終止位置的三角尺各邊所在直線構成一個“三線八角圖”，其中CD為截線，所以②錯誤；初始位置的三角尺和終止位置的三角尺在“三線八角圖”中構成一組同位角，所以③正確；在畫圖過程中，直尺可以由直線CD代替，所以④正確；⑤在“三線八角圖”中，因為AB和PQ是一組平行線，CD為截線，所以，可以下結論“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”，所以⑤錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．3．如圖，直線、與直線相交，給出下列條件：①；②；③；④．能判斷的是（

）．A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③【答案】B【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【詳解】：①∵∠1=∠2，∴a∥b，故此選項正確；②∠3=∠5無法得出a∥b，故此選項錯誤；③∵∠4+∠7=180°，∴a∥b，故此選項正確；④∵∠5+∠3=180°，∴∠2+∠5=180°，∴a∥b，故此選項正確；綜上所述，正確的有①③④．故選B．【點睛】此題考查平行線的判定，正確把握平行線的幾種判定方法是解題關鍵．4．將一副三角板頂點重合，三角板ABC繞點A順時針轉動的過程中，∠EAB度數符合下列條件時，三角尺不存在一組邊平行的是（三角板邊AB＝AE）（）A．∠EAB＝30° B．∠EAB＝45° C．∠EAB＝60° D．∠EAB＝75°【答案】C【分析】由旋轉的性質和平行線的判定依次判斷，可求解．【詳解】當∠EAB=30°時．∵∠CAB=90°，∴∠CAE=60°=∠E，∴AC∥DE，故A不合題意；當∠EAB=45°，∴∠BAD=45°=∠B，∴BC∥AD，故B不合題意；當∠EAB=60°時，三角尺不存在一組邊平行．當∠EAB=75°時，如圖，延長AB交DE于點M，∴∠BAD=15°，∴∠EMA=∠D+∠MAB=45°=∠ABC，∴BC∥DE．故選C．【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行線的判定，熟練運用旋轉的性質是本題的關鍵．5．如圖所示，下列推理正確的選項是（

）①若，則AB//CD

②若AD//BC，則∠A=∠，③若AB//CD，則，④若AB//CD，則∠A+∠4+∠1=180°⑤若，則AD//BCA．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤【答案】D【分析】根據平行線的判定與性質進行判斷．【詳解】①若∠1=∠2，則AB∥CD，依據：內錯角相等，兩直線平行，故正確；②若AD∥BC，則∠A=∠3，故錯誤；③若AB∥CD，則∠3＝∠4，故錯誤；④若AB//CD，則∠A+∠4+∠1=180°，依據：兩直線平行，同旁內角互補，故正確；⑤若，則AD//BC．依據：同旁內角互補，兩直線平行，故正確；所以正確的有①④⑤.故選D．【點睛】考查了平行線的判定與性質．平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．6．如圖，，，,，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作一條直線，過點作一條直線，根據兩直線平行，內錯角相等可得，，然后計算，再根據兩直線平行，同旁內角互補可得，最后根據計算即可得解.【詳解】過點作一條直線，過點作一條直線，，，，，，，.故選.【點睛】本題考查了平行線的性質，熟記性質是解題的關鍵，此類題目，難點在于拐點作平行線.7．如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結論：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正確結論的個數有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據平行線的判定定理得到，故①正確；由平行線的性質得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據平行線同旁內角互補得，再根據題目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根據，得，但根據現有條件無法證明GD=GC，故③錯誤；設∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據角平分線的性質即可得到結論．【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但題目沒給出這個條件且利用現有條件也無法證明GD=GC，∴故③錯誤；設∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的性質，對頂角性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．8．如圖，已知長方形紙片ABCD，點E和點F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點H和點G分別是邊AD和BC上的動點，現將點A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當在上方時，延長、相交于點，根據，推出，得到，求出的度數，再根據即可求解；②當在下方時，延長、相交于點，根據，推出，得到，再根據即可求解．【詳解】解：①當在上方時，延長、相交于點，如圖所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②當在下方時，延長、相交于點，如圖所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故選D．【點睛】本題考查了翻折、平行線的判定和性質、對頂角等知識點，分情況討論，畫出對應圖形進行求解是解答本題的關鍵．9．如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內任意一點（點E不在直線、、上），設，．下列各式：①，②，③，④，的度數可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由題意根據點E有6種可能位置，分情況進行討論，依據平行線的性質以及三角形外角性質進行計算求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=βα．（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=αβ．（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°αβ．（5）（6）當點E在CD的下方時，同理可得∠AEC=αβ或βα．綜上所述，∠AEC的度數可能為βα，α+β，αβ，360°αβ，即①②③④．故選：D．【點睛】本題主要考查平行線的性質的運用，解題時注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等以及分類討論．10．為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發出的光束自AM逆時針旋轉至AN便立即回轉，B燈發出的光束自BP逆時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉動30°，B燈每秒轉動10°，B燈先轉動2秒，A燈才開始轉動，當B燈光束第一次到達BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設燈旋轉的時間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數，再根據平行線的性質可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設燈旋轉的時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈光束第一次到達所需時間為秒，燈先轉動2秒，燈才開始轉動，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當時，，，，，，即，解得，符合題設；②如圖，當時，，，，，，即，解得符合題設；③如圖，當時，，，同理可得：，即，解得，不符題設，舍去；綜上，燈旋轉的時間為1秒或秒，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質、一元一次方程的幾何應用等知識點，正確求出時間的取值范圍，并據此分三種情況討論是解題關鍵．11．觀察如圖所示的長方體.(1)用符號表示下列兩棱的位置關系：AB___A′B′，AA′_____AB，D′A′_____D′C′，AD______BC．(2)A′B′與BC所在的直線是兩條不相交的直線，它們_____平行線.（填“是”或“不是”）【答案】

∥

⊥

⊥

∥

不是【分析】（1）根據長方體的性質進行填空；（2）根據平行線的定義進行填空．【詳解】解：（1）如圖，在矩形ABB1A1中，AB∥A′B′，AA′⊥AB；在矩形A′B′C′D′中，D′A′⊥D′C′；在矩形ABCD中，AD∥BC．故答案分別是：∥，⊥，⊥，∥；（2）根據圖示知，直線A′B′與BC不在同一平面內，所以它們雖然沒有交點，但是它們也不平行．故答案為：不是．【點睛】本題考查平行線的定義、垂直的定義．注意，在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種：平行和相交（重合除外）．12．如圖，現給出下列條件：①，②，③，④，⑤.其中能夠得到AB//CD的條件是_______.(只填序號)【答案】①②⑤【分析】根據平行線的判定定理對各小題進行逐一判斷即可【詳解】解：①∵∠1=∠B，∴AB//CD，故本小題正確；②∵∠2=∠5，∴AB//CD，故本小題正確；③∵∠3=∠4，∴AD//BC，故本小題錯誤；④∵∠1=∠D，∴AD//BC，故本小題錯誤；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，故本小題正確．故答案為①②⑤．【點睛】本題考查的是平行線的判定，熟知同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行是解答此題的關鍵．13．如圖所示，下列結論正確的有_____(把所有正確結論的序號都選上)①若AB∥CD，則∠3＝∠4；②若∠1＝∠BEG，則EF∥GH；③若∠FGH+∠3＝180°，則EF∥GH；④若AB∥CD，∠4＝62°，EG平分∠BEF，則∠1＝59°．【答案】①③④【分析】根據平行線的判定和性質解答即可．【詳解】解：①若AB∥CD，則∠3=∠4；正確；②若∠1=∠BEG，則AB∥CD；錯誤；③若∠FGH+∠3=180°，則EF∥GH；正確④∵AB∥CD，∴∠3=∠4=62°，∵∠BEF=180°∠4=118°，∵EG平分∠BEF，∴∠2=59°，∴∠1=180°∠2∠3=59°，正確；故答案為①③④．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義，三角形的內角和，熟練掌握平行線的定義是解題關鍵．14．如圖，直線上有兩點、，分別引兩條射線、，與在直線異側．若，射線、分別繞點，點以度秒和度秒的速度同時順時針轉動，設時間為秒，在射線轉動一周的時間內，當時間的值為______時，與平行．【答案】2秒或38秒【分析】分與在的兩側，分別表示出與，然后根據內錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；旋轉到與都在的右側，分別表示出與，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；旋轉到與都在的左側，分別表示出與，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解．【詳解】解：存在．分三種情況：如圖，與在的兩側時，，，，，要使，則，即，解得；此時，；旋轉到與都在的右側時，，，，，要使，則，即，解得，此時，；旋轉到與都在的左側時，，，，，要使，則，即，解得，此時，，此情況不存在．綜上所述，當時間的值為秒或秒時，與平行．故答案為：秒或秒．【點睛】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵，要注意分情況討論．15．如圖，直線分別與直線，相交于點，，且．點在直線，之間，連接，，射線是的平分線，在的延長線上取點，連接，若，，則的度數為___________．【答案】##度【分析】過分別作的平行線，，則，設，則，，設，分別表示出，，利用等式的性質得到，進而即可求解．【詳解】解：如圖，過分別作的平行線，，則，設，則，∵射線是的平分線，∴，∵，，，設∴，∴①，∵∵②∴由①②可得∵，故答案為：【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．16．已知，平分，，，則___________．【答案】##30度【分析】作于，作于，則，設，則，，再根據角平分線的定義可得，設，則，然后根據平行線的性質可得，，，，從而可得，代入可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，作于，作于，則，設，則，，平分，，設，則，，，，，，，，，又，，解得，則，故答案為：．【點睛】本題考查了平行公理推論、平行線的性質等知識點，通過作輔助線，構造平行線是解題關鍵．17．如圖已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正確的結論有____．（填序號）【答案】①②③④【分析】根據平行線的性質逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵ABCD，CDEF，∴ABEF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵ABCD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）（2）得，2∠1∠4=90°，故②正確；∵ABEF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）（1）得，2∠3∠2=180°，故③正確；∵CDEF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°∠1，∴∠3+∠4∠1=90°，∵2∠1∠4=90°，∴∠1=45°+∠4，∴∠3+∠4=135°，故④正確．綜上，正確的結論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟練應用判定定理和性質定理是解題的關鍵，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．18．已知，點、分別為、上的點，點、、為、內部的點，連接、、、、、，于，，，平分，平分，則（小于平角）的度數為______．【答案】【分析】過點，做平行于，根據平行線的傳遞性及性質得，同理得出，令，則，，則，通過等量關系先計算出，再根據角平分線的性質及等量代換進行求解．【詳解】解：過點，做平行于，如下圖：，，則，，同理可得：，令，則，，則，則，，，，平分，平分，，，故答案是：．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質，解題的關鍵是添加適當的輔助線，找到角之間的關系，利用等量代換的思想進行計算求解．19．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直線MN的兩側中，直線MN經過點C，且，其中，，，點E、F均落在直線MN上．（1）如圖1，當點C與點E重合時，求證：；聰明的小麗過點C作，并利用這條輔助線解決了問題．請你根據小麗的思考，寫出解決這一問題的過程．（2）將三角形DEF沿著NM的方向平移，如圖2，求證：；（3）將三角形DEF沿著NM的方向平移，使得點E移動到點，畫出平移后的三角形DEF，并回答問題，若，則________．（用含的代數式表示）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；．【分析】（1）過點C作，得到，再根據，，得到，進而得到，最后證明；（2）先證明，再證明，得到，問題得證；（3）根據題意得到，根據（２）結論得到∠DEF=∠ECA=，進而得到，根據三角形內角和即可求解．【詳解】解：（1）過點C作，，，，，，，，，；

（2）解：，，又，，，，，，；（3）如圖三角形DEF即為所求作三角形．

∵，∴，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，∵，∴∠ACB=，∴，∴∠A=180°=．故答案為為：．【點睛】本題考查了平行線的判定，三角形的內角和等知識，綜合性較強，熟練掌握相關知識，根據題意畫出圖形是解題關鍵．20．（1）學習了平行線以后，香橙同學想出了過一點畫一條直線的平行線的新方法，她是通過折紙做的，過程如（圖1）．①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b，使直線b經過點P，且，要求保留折紙痕跡，畫出所用到的直線