第1頁/共1頁2023北京初三二模數學匯編特殊的平行四邊形一、填空題1．（2023·北京海淀·統考二模）如圖，正方形，點在直線上，點到直線的距離為3，點到直線的距離為2，則正方形的邊長為________．

二、解答題2．（2023·北京平谷·統考二模）如圖，直線，是上一點，是上一點，連接，以為圓心長為半徑畫弧，在點的右側交直線于點，再分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接交于點，連接．

(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形，判斷四邊形的形狀；(2)證明（1）中的結論．3．（2023·北京海淀·統考二模）如圖，平行四邊形的對角線，交于點，為的中點．連接并延長至點，使得．連接，．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求證：四邊形為矩形．4．（2023·北京房山·統考二模）如圖，點O為的對角線的中點，直線l繞點O旋轉，當時，與邊分別交于點E，F，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的面積．5．（2023·北京西城·統考二模）已知：如圖1，線段a，b．求作：矩形ABCD，使得，．

作法：如圖2．

1．在直線上截?。?．過點B作直線，在直線m上截?。?．分別以點A和點C為圓心，b，a的長為半徑畫弧，兩弧的交點為D．(點D與點C在直線的同側)4．連接．則四邊形為所求的矩形．根據上面設計的尺規作圖過程，(1)使用直尺和圓規，在圖2中補全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明：證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形(___________)．(填推理的依據)∵直線，∴___________，∴四邊形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依據)．6．（2023·北京西城·統考二模）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點，連接交于點是上的一點，且，連接．

(1)求證：；(2)求證：是的切線．7．（2023·北京西城·統考二模）如圖，矩形的對角線相交于點O，過點D作的平行線交的延長線于點E．

(1)求證：；(2)連接，若，，求的長．8．（2023·北京昌平·統考二模）如圖，在菱形中，對角線交于點，點是過點作的平行線與過點作的垂線（垂足為）的交點.(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，求證：四邊形是矩形.

參考答案1．【分析】過點分別作的垂線，垂足分別為，則，，證明，則，進而勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，

過點分別作的垂線，垂足分別為，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了點到直線的距離，正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．2．(1)四邊形EFGM為菱形；(2)見解析．【分析】（1）利用尺規作圖即可；（2）由題意可得，平分，再根據證明角相等，然后根據等角對等邊即得，進而通過鄰邊相等的平行四邊形證明即可．【詳解】（1）如圖，

猜想：四邊形為菱形．（2）解：由作圖可知：，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，

∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形．【點睛】本題考查尺規作圖、菱形的判定和平行線性質，解此題關鍵是掌握菱形的判定方法．3．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明為的中位線，則，且，又，則，即可得證；（2）根據平行四邊形的性質得出，則，根據已知的，可得，則四邊形是菱形，可得，結合（1）的結論，即可得證．【詳解】（1）證明：∵平行四邊形的對角線，交于點，∴，又，∴為的中位線，∴，且，又為的中點，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（2）∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，∴平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查了中位線的性質與判定，平行四邊形的性質，菱形的性質與判定，矩形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定定理是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)3【分析】（1）根據證明得再證明四邊形是平行四邊形，最后根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行證明即可；（2）過點C作交延長線于點H，求出，再根據菱形的面積計算公式求解即可．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∵O為的中點，∴在和中，，∴∴∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是菱形，（2）過點C作交于點H，

∴°，∵四邊形是菱形，∵，∴，∴，∵，∴，∴的面積【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，菱形的判定與性質和以及菱形面積求法等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．5．(1)見解析(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；；有一個內角是直角的平行四邊形是矩形．【分析】（1）按照步驟操作即可；（2）根據矩形的判定定理推導，填空即可.【詳解】（1）解：補全圖形如下：

（2）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．∵直線，∴，∴四邊形ABCD是矩形(有一個內角是直角的平行四邊形是矩形)．故答案是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；；有一個內角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查尺規作圖，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．6．(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角及菱形的性質得到點是的中點即可解答；（2）根據菱形的性質及全等三角形的判定得到，再根據全等三角形的性質得到，最后利用四邊形的內角和及切線的判定即可解答．【詳解】（1）解：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴點是的中點，∴；

（2）解：連接，

∵四邊形是菱形，∴，，∴在和，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴在四邊形中，，∴，∴，∴是的切線．【點睛】本題考查了菱形的性質，直角所對的圓周角是，等腰三角形的性質，切線的判定，全等三角形的判定與性質，掌握菱形的性質是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)【分析】（1）根據矩形的對角線相等可得，對邊平行可得，再證明出四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等可得，從而得證；（2）如圖，過點O作于點F，欲求，只需在直角中求得的值即可．結合三角形中位線求得，結合矩形、平行四邊形的性質以及勾股定理求得即可．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴；（2）如圖，過點O作于點F，

∵四邊形是矩形，∴點O是的中點，∴∴∴，∴點是的中點，∴是的中位線，∴又∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．在中，由勾股定理可得：．【點睛】本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，熟記各性質并求出四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據菱形的性質可得，進而可得，根據兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）先證四邊形是平行四邊形，再根據可證四邊形是矩