遼寧省七校2024-2025學年高二

上學期期初考試數學試卷

數學試題

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在題目給出的四個選

項中，只有一項符合題目要求）

1.已知復數2=（1+z）+入（1-i）是純虛數，則實數入=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.已知某圓錐的底面半徑為g，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側面積

為（）

A.2V311B.3兀C.4V3nD.6兀

3.設TH,71為空間中兩條不同直線，％?為空間中兩個不同平面，下列命題中正

確的為（）

A.若TH上有兩個點到平面a的距離相等，則

B.若根、及是異面直線，加ua,m/7p,n//a,則a〃0

C.若他不垂直于a,〃ua,則m必不垂直于n

D.若mla,nu小則“TH〃n”是“a1夕”的既不充分也不必要條件

4.已知函數/（x）=Zsin（a）x+（p）（a）>0,Z>0,OWcpWn）的部分圖象如圖

所示，且/（0）=1,則（）

兀7T

A?f(x)=2sinB?f(x)=2sin(2x~)

jrTT

Cf(x)=2sin(2x-?,^-)D.f(x)=2sin

5.如圖，在正四面體Z5CD中，點E是線段幺。上靠近點。的四等分點，則異

面直線EC與8。所成角的余弦值為（）

3a口加?3舊”V13

AA.----o.---U.-----U.------

26132613

高二數學共4頁第1頁

6.下列命題正確的是（）

A.若）=（T2）,彼=（療,1）,且則掰=0

B.若花，貝!）之萬不共線

C.若赤,云是平面內不共線的向量，且存在實數y使得況+>雙=>赤+反,

則4B,。三點共線

若（））（）則在己上的投影向量為\

D.N=-M=l,2,B

4

7.已知2+5cos26if=cos。,cos（2cr+y0）=—

則cos/?的值為（）

8.在△48。中，尸o是邊48上一定點，滿足耳R二？足，且對于邊上任一點

3

尸，恒有詼?瓦》造?第，則△48C為（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

二.多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項

中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯

的得0分）

9.已知復數句,句，下列結論正確的有（）

A.若㈤=卜|[,則Z；=Z；B.若Z]-Z2>0,則Z-2

C.若復數Z,滿足Z2=IL+5i,則Z2在復平面對應的點是（-1,7）

2-z

D.若Z[=-4+3i是關于x的方程x2+Px+q=0（p,qeR）的一個根，貝|。=8

10.設函數g（x）=sins?>0）向左平移￡個單位長度得到函數,已知“X）在

5a）

[0,2句上有且只有5個零點，則下列結論正確的是（）

A.〃x）的圖象關于直線x=g對稱B.0的取值范圍是[與,卷]

C.“X）在總上單調遞增

D.在（0,2萬）上,方程/（尤）=1的根有3個，方程/（x）=-l的根有3個

高二數學共4頁第2頁

11.化學中經常碰到正八面體結構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），

如六氟化硫（化學式SFf）、金剛石等的分子結構.將正方體六個面的中心連線可得

到一個正八面體（如圖1）,已知正八面體F的（如圖2）棱長為4,

貝I（）

A.正八面體的外接球體積為等

B.正八面體￡-/3。-尸的內切球表面積為等

C.若點尸為棱￡8上的動點，則NP+C尸的最小值為4百

D.若點。為棱北上的動點,則三棱錐￡-慳。的體積為定值竽

三.填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.tan（n+a）=2,則sin（a-3兀）+cos（5兀-a）=-----

sin（-ClAcos（兀+a）

4__?__?__?

13.在AABC中，/=l，。為AABC的外心，若AOAB=AO-AC=2>

^AB-AC的值為--------------?

14.在AABC中，角A,5,。的對邊分別為。，6,。，若

（）IT

sin5+CB咤,則2a+c的取值范圍為

sinC

四.解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟）

15.如圖，在底面是矩形的四棱錐尸-/BCD中，尸/，平面/BCD,E是的中點.

（1）求證：P8//平面E/C；

（2）求證：平面PDC，平面PAD.

高二數學共4頁第3頁

l,—?-*■"TT"—?—*

16.已知向量a=(sinx,1),b=(1,sin(^—―x)A/(x)=a?6

3

(1)求函數/(x)的單調遞增區間和最小正周期；

(2)若當x€[0,看]時，關于x的不等式)(x)-1W機有解，求實數機的

取值范圍.

17.已知△48C的內角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足上=L

c-ab-a

(i)求角z；

(2)若△45C的外接圓的面積為g,sinB+sinC罵之sinA，求△45C的

OI

面積.

18.如圖，在四棱錐尸-45CQ中，尸C,平面48cD,AB//DC,DCLAC.

(I)求證：平面B4C；

(II)若PC=AB=AC=1,求PB與平面B4c成角的正弦值；

(III)設點E為48的中點，過點C,E的平面與棱尸5交于點R且E4〃平

ffiCEF,求巫的值.P

19.若函數/(X)滿足:對任意xeRJ(x)=y>1萬,則稱/(X)為函

數,，

⑴判斷工(x)=sin(gx+|^/(x)=tan|x是不是W函數(直接寫出結論)；

(2)已在函數/(x)是M函數，且當xe0,y時，/(x)=sinx,求/(x)在|私3兀的

解析式；

(3)在(2)的條件下，xe[0,6可時，關于x的方程〃x)=a(。為常數)有解，

求該方程所有解的和S.

高二數學共4頁第4頁

高二聯考數學試卷參考答案及評分標準

一、單選題

1-8.BDBCACBB

二、多選題

9.CD10.BC11.BCD

三、填空題

12.313.214.（73,277]

四、解答題

15.（13分）

解：（1）連接AD交/C于點G,連接EG.

?四邊形/BCD是矩形，.G是BD的中點.

又E為尸。的中點，:.PB^EG................................................................4分

?.?EGu平面胡C,尸80平面切C,PB/7EAC.....................6分

(2)???PAL^ABCD,CDu面48CD,PALCD.

?.?ABC。是矩形，ADLCD.

而P/cAD=/,PA,ADu平面PAD,；.CD_L平面PAD..................11分

又「CDu平面尸DC.二平面PDC_L平面尸/D...............................13分

16.(15分)

(1)因為/(x)=ab=sinx+sinI--x1=^sin.x+-^-cosx=sinlx+

所以函數/（尤）的最小正周期7=2萬；.....................4分

TTJT

因為函數〉=sin%的單調增區間為一萬+2左犯萬+2左）,keZ,

JTTTTT

所以---F2k冗<x-\——<—F2kji,左￡Z,

232

S777T

解得----F2k兀（xW—F2k兀,左￡Z,

66

所以函數/（無）的單調增區間為7+2版,>2版,^GZ；...................8分

（2）不等式有解，即怨1nln；

r-j-t、[八兀匕r*r、i兀/7T,7〃中.7TC.5TT.71

因0,以—VxH—V—,3^sin——sin—>sin—,

4jf331212123

1

故當x+?=q，即x=°時，/(x)取得最小值，且最小值為〃0)=弓,

所以也2百—1..............................................................15分

17、(15分)

(1)解：(1)因為」_上＞=1

c-ab-a

所以bQb-a)+c(C-Q)=(c-q)Qb-a),

所以廬-ab+c2-ac=bc-ac-ab+c^,即b2+c2-a2=bc,..........4分

222

由余弦定理可得：b+c-a=2bccosAf

所以cos^=—,

2

因為ZE(0,n),

所以A吟；....................................7分

(2)因為△/8C的外接圓的面積為衛L,

3

設△A8C的外接圓半徑為r,

即.=衛_,

3

解得r=^L,

r3

由正弦定理得=2廣a=2rsinA=2xW^■義坐......

10分

sinA32

因為sinB+sinC=5^~^sinA，由正弦定理得b+c=$歹a=5,

由(1)知b2+c2-a2—be,

所以(6+c)2-7=3bc,得36c=25-7=18,則bc=6,

所以△48。的面積為SARBC=■^■bcsinA="^_X6義^^.........

15分

18、(17分)

(1)因為尸C_L平面/BCD,CDu平面/BCD,所以尸C_LCD,

又。CL/C,AC^PC=C,NC,PCu平面尸NC,

所以。C_L平面尸/C................................................5分

(2)VCD//AB,DCJ_平面PAC

AB_L平面PAC,?.ZAPB為所求

：Rt△PAC中，PC=AC=1,PA=V2

，RtAPAB中，PB=V3

.?.sinNAPB⑨..................................................11分

3

2

(3)因為以〃平面CEP,平面尸N3c平面CEF=EV,

P/u平面尸NB,所以尸M/E尸，因為點E為A8的中點,

所以點尸為尸3的中點，所以P言F=：1......................17分

19、(17分)

(1)工口)=311,+1是屈函數，證明如下:

4714立「43兀44

因為工(x)=sin—x+—=cos-x,又工=cos—(-----x)=COS(2K——X)=COST

323233

43兀44所以營+x],

=cos)(3+x)=cos(2兀+/)=cos7

故/(x)=sin13+|J是M函數,

2

力(x)=tan§x是M函數，證明如下:

3712-x)=tan(7i-122

因為力--xtan—-tan—tan—K,

333

「(3兀)2/3兀、1/2、2

J21+xJ=tan—―Fx)—tan(兀+,所以

233

2

故人(x)=tan—x是M函數4分

3

3兀3兀

(2)因為/(x)=/----x，所以函數/(x)的周期為7=1，又/(x)=/-----x

22

4

所以函數/(無)關于直線》=牛7r對稱，

因為—71,371時，所以X—0,—,

、i/371「3711「3兀9兀13兀、..3兀、「八

當x---e0,—,BPxe-時，/(%)=/(%--)=sm(x--)=cosx,.........7分

3兀「3兀3兀]「9兀IN-、~3兀、,「3兀/3兀5—\

當x—彳￡—，即工￡—53TT時，/(x)=/(x--)=/[--(x--)]=/(3TT-x),

一9兀"I「3兀]

又xe—,37i時，3兀一尤e0,—,所以

44

3ir37i3兀

/W=f(x-y)=/[y-(x-y)]=f(3n-x)=sin(3兀-x)=sinx

3兀9兀

LCOSX,XG

T?T

綜上,y(x)在會,3兀上的解析式為/(x)=<..................io分

包兀

sinx,xe,3

4

,、?，、「，3兀3兀?3兀八3兀

(3)由(2)知，當--,~z~時，——x￡。,~~所以

4224

巧

3yr3兀sinx,xe[0,

sn得至」4

/(x)=f(--x)=i(^--x)=-cosx,If(x)=3ir3ni

-cosx,xe[r—,—]

3

又函數的周期為「W，所X?O,6可時，/(X)的