專題06三角函數的概念與三角公式應用

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構建?耀蓿陳紿

K角的概念）--（象限角]

L（終邊相同的角）

—（。知識點一任意角與弧度看轆10耘

凝02梯紀知角凝舞的范圉

>型03豌逋

型04扇拗磯I長與面陲用

/aTtrfrttnt

弧長公式）

L（扇七公式）

三角函數的定義

—±IE.二1E^、

三角函數在各象限符號

。知識點二任意角的三角函數三正切、四舞鋰01三角函統定義及應用

轆02判虻角函數的符號

1E^避03三角函數殘的應用

三角函數的概念三角函數線余弦線

與三角公式應用

二平方關一：si-a+co^Gl）j

SSJ01sina、8Sa、tan卻一求二

「同角三角函數基本關系式,一

,知識點三同角三角函數基本關系式^sinWcosGtana轆02sina、8由次式（圓徹

一*關碇SSjQ3sina=CQ5a.sinacosafi

—與誘導公式型04利用誘導公式化簡求值

一三角函數的語~'奇變偶不變、符號看象限

鋰01兩翩I雯的三角公式正麻晦用

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式超02二-

轆埔助角公式的簡隼應用

。知識點四三角恒等變換公式03

型04三角恒級螃值求值

埔助角近型05三角恒基按給值求角

型06三角恒基靖含化茴

口識盤點?查福訃與

知識點1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

（2）象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為無軸正半軸，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除

端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，

構成的角的集合是S=｛用乃=4-36（r+a,kRZ].

2、弧度制

定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

|。|=:(弧長用1表示)

角a的弧度數公式

①。—；②（兀）

角度與弧度的換算1180radIrad—

弧長公式弧長l=\a\r

2

扇形面積公式S=^lr=^a\r

知識點2任意角的三角函數

三角函數正弦余弦正切

設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點Pa，y),那么

定義

》叫做a的正弦，記作sinax叫做a的余弦，記作cosa士叫做a的正切，記作tana

I+++

II+一一

各象限符號

III一一+

IV一+一

由入

八認冰L0)一4力'斗(1，0)_

三角函數線

有向線段反尸為正弦線有向線段為余弦線有向線段AT為正切線

知識點3同角三角函數基本關系式與誘導公式

1、同角三角函數基本關系式

(1)平方關系：sin2a+cos2a=l.

(3)商數關系：黑：=tan/+E,左GZ).

(3)基本關系式的幾種變形

①sin20=1—cos2a=(1+cosa)(l一cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sino(±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacos祈+],左￡Z).

2、三角函數的誘導公式

公式―-二三四五六

71

角兀+。匹+_Lot

2E+a(%￡Z)~a7i—a2~a2

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa—cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口訣函數名改變，符號看象限函數名不變，符號看象限

奇變偶不變，符號看象限”中的奇、偶是指n/2的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化。

知識點4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a-B)cos(a-j8)=cosacos』+sinasin￡

C(a+￡)cos(a+4)=cosacosjS-sinasin^S

S(a-?)sin(a一4)=sinacos夕—cosasin^

S(a+j8)sin(a+4)=sinacos夕+cosasin夕

tan——tan0

tan(aB)I_ptanatan〃

T(a-￡)

變形：tana—tanyS=tan(a—)5)(1+tanoctan0)

tanoc+tanP

tan(a+0—i—tanatan/

T(a+#

變形：tana+tanP=tan(a+￡)(1—tanatan0)

.TT

【注意】在公式T（a±s）中a,0,a土我都不等于far+］（%￡Z）,即保證tana,tan",tan（a土夫）者B有意義.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

變形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2a-sin2ot=2cos2a_1=1—2sin2oc；

C2a61+cos2a.1—cos2a

：cos9a2，siii9ex2

2tana

T2atan2a—o

1I-tana

3、輔助角公式

一般地，函數/（a）=4sina+bcosa（a,b為常數）可以化為加）="層+必皿0+0）（其中tan9=\

a\

tan(p=%).

X重點突破?看分■必拓

重難點01sina,cosa齊次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結構形式，統一為“切”的表達式，進行求值.常見的結構有：

（1）sina,cosa的二次齊次式（如?sin2a+/?sinotcosa+ccos?。）的問題常采用“切”代換法求解；

（zjeinn/7COS

（2）sina,cosa的齊次分式如公力“上耳劭”的問題常采用分式的基本性質進行變形?

2、切化弦：利用公式tana=f^,把式子中的切化成弦.一般單獨出現正切的時候，采用此技巧.

【典例1］（23-24高三下.河南洛陽?模擬預測）已知tana=2,則對…儂J（）

2smcr—coscr

A.—B.—C.—D.2

333

【典例2］（23-24高三下?四川?模擬預測）已知tana=2,則sin2q+cos2a=（）

A.--B.-C.-D.-

2345

【典例3］（23-24高三下?廣東?月考）若tana=2,則5皿2。+'吆=（）

tana

重難點02sina土cosa與sinacosa關系的應用

對于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa這三個式子，矢口一可求二，

f-—\____

若令sinot+cosa=t（t^［一/，地］）,則sinacosa——2-，sina—cosa—心7（注意根據a的范圍選取正、

負號），體現了方程思想的應用.

已知ac（0,兀），且sina+cosi=[,則sin2a

【典例1］（23-24高三下.吉林長春.三模）

sin6-cose=^^,貝Utan〃=（）

【典例2］（23-24高三上?山東?開學考試）若8e（03,

5

A—B.2cD.3

A，2-I

rm、則（）

【典例3］（23-24高三下?湖南岳陽?二模）已知HGZ,sinI—+6Z+COS--6Z

g

A.cos。+sina△C.sin2a=-9

B.cosa+sina=--D.sin2a=一

3399

重難點03三角函數式的化簡要遵循“三看”原則

一看通過看三角函數式中各角之間的差別與聯系,

式中各角把角進行合理的拆分，從而正確使用公式

二看!看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式,

函數名稱「常見的有“切化弦”

0

分析結構特征，找到變形的方向，常見的有

三看

“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次

結構特征

式配方”等

【注意】化簡三角函數式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降塞與升塞等.

【典例1］（23-24高三下?廣東?二模）tan7.5°-tan82.5°+2tanl5°=（）

A.-2B.-4C.一2班D.-473

2cos65°cosl5°

【典例21（23-24局三下?重慶?模擬預測）的值為（）

tanl50cosl0°+sin10°

A.22+A/31+A/3

B.RD.

2244

【典例3］（23-24高三下?河南焦作?月考）sin80°+c°s50°一"=（）

sin25°2tan25°

A."B.好C.3D.克

2222

法技巧?逆境學霸

一、確定角上（〃￡"+）終邊所在象限的方法

n

ry

法1分類討論法：利用已知條件寫出a的范圍（用女表示），由此確定土的范圍，在對左進行分類討論，從

n

而確定里所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為〃等份，再從工軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區域標上一、二、三、

四……則a原來是第幾象限的角，標號為幾的區域即角區終邊所在的區域。

n

【典例1］（23-24高三下?四川綿陽?三模）已知sin0?tan0〈0,且cosHsinevO,則萬為（）

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

Cf

【典例2］（23-24高三上.廣東廣州.二調）己知sina>0,cosa<0,則l的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【典例3］（23-24高三上?甘肅天水?月考）設4角屬于第二象限，且cos,=-cosw，則|■角屬于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

二、扇形的弧長與面積應用

1、利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

2、求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題.

3、在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

7T

【典例1］（23-24高三上.黑龍江哈爾濱?月考）已知扇形弧長為耳，圓心角為2,則該扇形面積為（）

【典例2］（23-24高三上.江蘇徐州?月考）已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長最小值為（）

A.2B.4C.273D.

【典例3］（23-24高三下.湖南?一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻

勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外樓空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現要計算璜身面積（厚度忽略不計），

3

測得各項數據（圖2）：ABq8cm,AD?2cm,A。25cm,若sin37、丁na3.14,則璜身（即曲邊四邊形ABCD）

面積近似為（）

圖1

A.6.8cm2B.D.22.4cm2

三、三角函數的定義中常見的三種題型及解決辦法

1、已知角a的終邊上一點P的坐標，求角a的三角函數值

方法：先求出點尸到原點的距離，再利用三角函數的定義求解。

2、已知角e的一個三角函數值和終邊上一點P的橫坐標或縱坐標，求與角a有關的三角函數值

方法：先求出點P到原點的距離（帶參數），根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未

知數，從而求解問題。

3、已知角的終邊所在的直線方程（,=依/。0）,求角的三角函數值

方法：先設出終邊上一點P（a,Aa）,awO,求出點尸到原點的距離，再利用三角函數的定義求解，注意a

的符號，對”進行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角a的三角函數值。

【典例1］（23-24高三下.江西?二模）己知角a的終邊經過點貝!jcosa=（）

A.逅B.追C.應D.正

332

【典例2］（23-24高三下?北京朝陽?二模）在平面直角坐標系xOy中，銳角a以。為頂點，。尤為始邊.將a的

終邊繞。逆時針旋轉：后與單位圓交于點尸（x,y）,若cosa=走，則'=（）

410

A.--B.--C.-D.-

5555

【典例3］（23-24高三下?河南?一模）以坐標原點為頂點，x軸非負半軸為始邊的角a,其終邊落在直線>=*

上，則有（）

A.sina=B.cos?=^-C.sina+cosa=+>/2D.tana=±1

四、對sina,cosa,tana的知一求二問題

1、知弦求弦：利用誘導公式及平方關系si/a+cos2a=1求解

2、知弦求切：常通過平方關系，與對稱式sina±cosa,sina?cosa建立聯系，注意tan:的靈活應用

cosa

cinCL

3、知切求弦：先利用商數關系得出sina=tana-cosa或cosa=￡署，然后利用平方關系求解

Ldll（A

【典例1］（23-24高三上?河北邢臺?期末）若sina=-且，且。為第三象限角，貝!jtana=（）

4

AV39Q后「屈

13134

3

【典例2］（23-24高三上?上海松江?期中）已知cos6=y,且singvO,則tan。的值為（）

44「3D.二

A.——B.—C.-

3344

3兀口?.

【典例3】（23-24高三上?內蒙古赤峰?期中）已知tana=3,n<a<一,則cosa—sma=.

2

五、利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟

0?2兀的I

任意負角利用誘導公式任意正角利用誘導公式一利用誘導公式二

的三角函1I銳角三I

的三角函角的三角I角函數I

三或一1數1函數1~或四或五~

也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”.

【典例1】（23-24高三下.河北.三模）已知點P.in20*,cos”型］在角&的終邊上，則產嗎=

)

I46）2l+cos（9

A.逅B.也C.—逅D.—逅

3232

.（兀）（3K）

1sinccH——cos-----cc

【典例2］（23-24高三下?遼寧?三模）已知tana=2,則I2）【2（）

-COS（-6Z）-sin（7l-6Z）

A.-1B.1C.-3D.3

sin（兀一a）cos（2兀一a）cos（龍一a

【典例3］（23-24高三下?全國?專題練習）已知〃a）=------------

COS

（1）化簡〃a）；

（2）若a是第三象限角，且sin（a-7i）=g,求〃￡）的值.

六、給值求值問題的求解策略

1、“給值求值”關鍵是找出已知式與待求式之間的聯系及函數的差異.

①一般可以適當變換已知式，求得另外函數式的值，以備應用；

②變換待求式，便于將已求得的函數值代入，從而達到解題的目的.

2、“湊配角”：用已知角和特殊角將所求角表示出來，例如：

a=(a+B)一氏a=a);~+a

a=2%,o=g[(a+/)+(a_,)];,=；[(o+/)_(a_尸)]等.

【典例1］（23-24高三上?全國?專題練習）已知sina=g,cos（a+夕）=-1,貝ljsin（2a+分）=（）

【典例2］（23-24高三下?山西?三模）若sin2a=立,sin（4-a）="，且。￡9,兀，尸￡兀，孚，則

3▽）614」L2J

cos（a+0=（）

AA/5+A/2Ran275-72

6636

【典例3】（23-24高三下?貴州貴陽二模）已知3夕-3夕=4^11。-$也夕=-：，則13119+0的值為（）

A.-46B.4人C.-275D.2小

七、給值求角問題的求解策略

“給值求角”實質就是轉化為“給值求值”.解決此類題的關鍵是:

（1）求值：求出所求角的某種三角函數值.

（2）界定范圍：根據題設（隱含條件）確定所求角的取值范圍.

（3）求角：由所得函數值結合函數的單調性及角的取值范圍確定角的大小.

【典例1］（23-24高三上海南?月考）已知tan（夕-a）=；,tana=-；，a,77e（0,兀），則2尸-a的值是（）

【典例2］（23-24高三上.河北廊坊?期中）設tze］，匹,且sina+cosa=V5cos/?,則（）

c兀

A.a+,=1B.oc—/3=-^

TT

C.a+/?=5D.a-/3=~~

【典例3］（23-24高三上?河北石家莊.月考）若",匹［嗚］，cosL-^=^,sin^-^=4,則

a+p=.

參考答案與試題解析

專題06三角函數的概念與三角恒等變換

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

思維構建?建精向紿

「［角的概念），象限角；

X終邊相同的角）

耀01^9醴的痂

o知識點一任意角與弧度制耀02根環知角般舞的范圉

>遜03nfSgn5^］軸j誦

型04

K副送）

三角函數的定義

一三教在.跟臉一蠢

。知識點二任意角的三角函數

1E^

三角函數的概念三角函數線

與三角公式應用線

T平方關系：sinb+/a=1

^^01sim.cosa.tan卻~~求二

廠:同備三備函數8*3^^［）：BS?S￡jina/cosa=tana）

整02sina,co訪EH鮑j切

知識點三同角三角函數基本關系式U基本關系式的幾種變形^^03sina=cosa.sna-cosaftj?^

與誘導公式峨04利用法導公式化簡求值

匚三角函數的誘導近7）~~■,談黑不變、醋者象眼

轆oi兩腦］"虻角公式正序n逆用

兩角和與差的正芟、余變、正電公m超02二倍角公式的簡單應用

型靖助角公式的簡單應用

。知識點四三角恒等變換公式二聯近03

型04三角恒登螃值求值

埔助角融型05三角恒基按給值求角

型06三角恒級屐合化簡

口識盤點?查福訃與

知識點1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

（2）象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除

端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，

構成的角的集合是S={用乃=k36（T+a,kGZ}.

2、弧度制

定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

|a|=:（弧長用1表示）

角a的弧度數公式

①廣一出山②（兀）

角度與弧度的換算1801rad—

弧長公式弧長l—\a\r

S=^lr=^\a\r2

扇形面積公式

知識點2任意角的三角函數

三角函數正弦余弦正切

設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點尸（無，y）,那么

定義

y叫做a的正弦，記作sinax叫做。的余弦，記作cosa初做a的正切，記作tana

I+++

II+一一

各象限符號

III一一+

IV一+一

小

斗（助小人冰1,0）一

三角函數線

有向線段MP為正弦線有向線段為余弦線有向線段AT為正切線

知識點3同角三角函數基本關系式與誘導公式

1、同角三角函數基本關系式

(1)平方關系:sin2a+cos2a=l.

(3)商數關系：‘in、=tan巖+E,AGZ).

(3)基本關系式的幾種變形

①sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacoso{a^kn+.%￡Z

2、三角函數的誘導公式

公式—*二三四五六

712E1

角兀+Q+ct

2E+a/￡Z)~a7i—a2-ot2

正弦sina—sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana—tana

口訣函數名改變，符號看象限函數名不變，符號看象限

“奇變偶不變，符號看象限”中的奇、偶是指兀/2的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化。

知識點4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a-汽)cos(a-yff)=cosacos夕+sinasinp

C(a+￡)cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin夕

S(a-.)sin(a—/J)=sinacos夕—cosasin4

S(a+為sin(a+夕)=sinacos夕+cosasin夕

tana—tan§

tan(a夕)】_ptanatan代

T(a-.)

變形：tana—tanP=tan(a一￡)Q+tanatanp)

tana+tan

tan(a+夕)-1++萬

T(a+0l1—tanatanp

變形：tana+tan/3=tan(ot+￡)(1—tanatan0)

.TT

【注意】在公式T?±#中a,B，a±在都不等于析+/(%￡Z),即保證1211。，12114，1211(0(±我)者|5有意義.

2、二倍角公式

sin2a=