11.1與三角形有關的線段第十一章三角形11.1.1三角形的邊逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2三角形的有關概念及表示方法三角形的分類三角形的三邊關系1.三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.特別解讀識別三角形的三個條件：1.三條線段；2.不在同一條直線上；3.首尾順次相接.線段位置線段數量線段連接方式知識點三角形的有關概念及表示方法1知1－講2.三角形的三元素(邊、角、頂點)(如圖11.1－1)知1－講3.三角形中角與邊的對應關系頂點ABC頂點處的角∠A或∠BAC∠B或∠ABC∠C

或∠ACB頂點所對的邊BC

或aAC

或bAB

或c知1－講4.三角形的表示方法頂點是A，B，C

的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.三個字母沒有先后順序知1－講方法點撥數三角形個數的方法：1.按組成三角形的圖形個數來數(如單個三角形，由兩個圖形組成的三角形，?，最后求和)；2.從圖中的某一條線段開始，按一定的順序找出能組成三角形的另兩條邊；3.先固定一個頂點，再變換另外兩個頂點，找出不共線的三點共有多少組.注意：無論采用哪種方法，數三角形的個數時要做到不重不漏.知1－講例1[母題教材P4練習T1]如圖11.1－2，在△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點，連接BE，AD交于點F.知1－練解題秘方：緊扣“三角形及其元素的定義”及幾何圖形計數的常用方法進行解答.知1－練(1)圖中共有多少個三角形？請把它們表示出來.(2)請寫出△

BDF的三個頂點、三條邊及三個內角.解：圖中共有8個三角形，分別是△ABF，△AEF，△BDF，△ABE，△ABD，△ACD，△BCE，△ABC.△BDF的三個頂點是點B，D，F，三條邊是線段BD，DF，BF，三個內角是∠FBD,∠FDB，∠BFD.知1－練(3)以AB為邊的三角形有哪些？(4)以∠C為內角的三角形有哪些？解：以AB為邊的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.以∠C為內角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－練1-1.如圖所示(1)圖中共有___個三角形，它們分別是_______________________________________________；(2)以AE

為邊的三角形有________________________；6△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ACD，△AEC△AEB，△AED，△AEC知1－練(3)∠B分別為△

ABD，△

ABE，△ABC

中邊___________的對角；(4)△ADE

的三條邊分別是_____________，三個內角分別是________________________；(5)∠ADC

是__________________的內角．AD，AE，ACAD，ED，AE∠ADE，∠DEA，∠DAE△ADC，△AED知1－練1.等腰三角形及等邊三角形知識點三角形的分類2知2－講三角形類型概念圖例等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角等邊三角形三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形.等邊三角形是特殊的等腰三角形知2－講2.三角形的分類(1)按內角的大小分類(如圖11.1－3)銳角三角形(最大內角為銳角)直角三角形(最大內角為直角)鈍角三角形(最大內角為鈍角)三角形知2－講(2)按邊的相等關系分類(如圖11.1－4)三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形知2－講特別提醒1.三角形按內角的大小分類和按邊的相等關系分類是兩種不同的分類方法，各自獨立，但無論按哪種標準分類，原則都是不重不漏.2.對于等腰直角三角形，按邊的相等關系分類屬于等腰三角形，按內角的大小分類屬于直角三角形.知2－講根據下列所給條件，判斷△ABC的形狀(若已知的是角，則按角的分類標準去判斷；若已知的是邊，則按邊的分類標準去判斷)：(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.例2解題秘方：根據三角形的分類標準進行判斷.知2－練(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；解：∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，∴∠A＜∠B＜∠C＜90°，∴△ABC是銳角三角形.通過最大內角的度數去判斷∵∠C＝120°＞90°，∴△ABC是鈍角三角形.知2－練(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.解：∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形.∵AB＝BC＝4，AC＝5，∴△ABC是等腰三角形.知2－練2-1.已知△

ABC的三邊長為a，b，c,且滿足(a－2)2＋|b－2|＋|c－2|=0，則此三角形是()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．一般三角形A知2－練文字語言數學語言理論依據圖形三角形兩邊的和大于第三邊a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b兩點之間線段最短三角形兩邊的差小于第三邊a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b(a＞b＞c)1.三角形的三邊關系知識點三角形的三邊關系3知3－講2.三角形三邊關系的應用(1)判斷三條線段能否組成三角形；(2)已知三角形的兩邊長，確定第三邊長(或周長)的取值范圍；(3)三角形的邊長用字母表示時，求字母的取值范圍；(4)證明線段的不等關系.(5)代數式的化簡.知3－講特別提醒1.三角形中的“兩邊”指任意兩邊，應用時常選取兩條較小的邊的和與第三邊作比較，選取最大邊與最小邊的差與第三邊作比較.2.已知三角形的兩邊長a，b(a＞b)，根據三角形的三邊關系可知，第三邊長c的取值范圍是a－b＜c＜a＋b.知3－講以下列長度的三條線段(或滿足三條線段的比)為邊，能構成三角形的有哪些？(1)6cm，8cm，10cm；(2)5cm，8cm，2cm；(3)三條線段之比為4∶5∶6；(4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0).例3解題秘方：緊扣“三角形的三邊關系”進行判斷.知3－練(1)6cm，8cm，10cm；解：∵6cm＋8cm>10cm，∴長度為6cm，8cm，10cm的三條線段能構成三角形.知3－練(2)5cm，8cm，2cm；(3)三條線段之比為4∶5∶6；解：∵5cm＋2cm<8cm，∴長度為5cm，8cm，2cm的三條線段不能構成三角形.設這三條線段的長分別為4x，5x，6x(x>0).∵4x＋5x>6x，∴三條線段之比為4∶5∶6能構成三角形.知3－練(4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0).解∵a＋1＋a＋2>a＋3，∴長度為a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三條線段能構成三角形.綜上可知，能構成三角形的有(1)(3)(4)．知3－練方法總結：快速判斷三條線段能否構成三角形的方法只要滿足三條線段中較短的兩條線段之和大于第三條線段的條件，或者只要滿足最長線段與最短線段的差小于第三條線段的條件就能構成三角形，否則不能.知3－練3-1.長為9cm，6cm，4cm，3cm的四根木條，選其中三根組成三角形，則選擇方法有()A．1種 B．2種 C．3種 D．4種B知3－練3-2.長度分別為2，3，3，4的四根細木棒首尾相連，圍成一個三角形(木棒允許連接，但不允許折斷)，得到的三角形的最長邊長為()A．4 B．5 C．6 D．7B知3－練[母題教材P3例(2)]用一根長18cm的鐵絲圍成一個三角形，其中三邊長分別為4cm，xcm，ycm且有兩邊相等.求x，y的值.例4知3－練思路引導：知3－練

知3－練4-1.若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和6cm，則這個等腰三角形的周長是________

.15cm知3－練4-2.已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為()A．4，2B．3，3C．4，2或3，3D．以上都不對C知3－練三角形的邊三角形三邊關系分類按邊分類組成元素邊頂點角11.1與三角形有關的線段第十一章三角形11.1.2三角形的高、中線與角平分線11.1.3三角形的穩定性逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2三角形的高三角形的中線三角形的角平分線三角形的穩定性1.三角形的高的定義和性質特別提醒1.三角形的高是一條垂線段，一個端點是頂點，另一個端點是垂足.2.畫三角形高的關鍵：找準頂點和對邊；步驟：過直線外一點作該直線的垂線段.定義從△ABC

的頂點A

向它所對的邊BC

所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD

叫做△

ABC的邊BC

上的高圖形知識點三角形的高1知1－講性質∵AD

是△ABC

的邊BC

上的高(已知)，∴AD⊥BC

于點D(或∠ADB=∠ADC=90°)圖形∵AD⊥BC

于點D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)，∴線段AD

是△ABC

的邊BC

上的高(三角形的高的定義)知1－講2.三角形高的畫法：用三角板過三角形的某一頂點向其對邊或對邊所在直線畫垂線，交對邊或對邊延長線于一點，所得的垂線段就是這條邊上的高.拓寬視野三角形的三條高所在直線交于一點，這一點稱為這個三角形的垂心.知1－講3.三角形三條高的位置銳角三角形直角三角形鈍角三角形圖形知1－講銳角三角形直角三角形鈍角三角形三條高的位置三條高都在三角形內部直角邊上的高分別與另一條直角邊重合，還有一條高在三角形內部鈍角兩邊上的高在三角形的外部，最長邊上的高在三角形內部三條高的交點三條高交于三角形內一點三條高交于三角形的直角頂點三條高沒有交點，但三條高所在的直線交于三角形外一點知1－講正確畫出△ABC

的邊AC上的高的是圖11.1-6中的()例1知1－練解題秘方：緊扣“三角形高的定義”進行判斷.解：A.圖中AD

不是△

ABC邊AC

上的高，不合題意；B.圖中BD不是△ABC

邊AC上的高，不合題意；C.圖中AD

是△ABC

邊BC

上的高，不合題意；D.圖中BD

是△

ABC邊AC

上的高，符合題意.答案：D知1－練1-1.用三角板作△ABC的邊BC

上的高，下列三角板的擺放位置正確的是()A知1－練1.定義：連接三角形一個頂點和它所對的邊的中點，所得的線段叫做該三角形這條邊上的中線.特別解讀三角形的中線把三角形分成的兩個三角形的面積和周長的關系：1.兩個三角形的面積相等；2.兩個三角形的周長的差等于這兩個三角形另兩邊的差.知識點三角形的中線2知2－講

知2－講2.三角形三條中線的位置：任何三角形都有三條中線，三條中線都在三角形的內部，并且三條中線相交于一點，這點在三角形的內部，如圖11.1-8所示.中線是一條線段，一個端點是頂點，另一個端點是中點知2－講3.三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心(如圖11.1-9中的點O)知2－講如圖11.1-10，在△ABC

中，AD，BE

分別是△ABC，△ABD的中線.(1)若△

ABD與△ADC

的周長之差為3，AB=8，求AC的長；(2)若S

△ABC=8，求S

△ABE.例2解題秘方：利用中線將三角形分成的兩個三角形的周長之間的關系和面積之間的關系解題.知2－練(1)若△

ABD與△ADC

的周長之差為3，AB=8，求AC的長；解：∵AD

為BC

邊上的中線，∴BD=CD.∴△ABD與△ADC

的周長之差為(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)=AB－AC.∵△ABD

與△ADC

的周長之差為3，AB=8，∴8－AC=3，解得AC=5.知2－練(2)若S

△ABC=8，求S

△ABE.

知2－練2-1.如圖，AD

是△ABC的中線，CE

是△

ACD的中線，DF是△CDE的中線，若S△

DEF=2，則S△ABC

等于()A．16B．14C．12D．10A知2－練2-2.如圖，AD

是△ABC的中線，已知△ABD

的周長為30cm，AB

比AC

長4cm,則△ACD的周長為_______

.26cm知2－練1.定義：三角形一個內角的平分線與它所對的邊相交，頂點和交點之間的線段叫做這個三角形的角平分線.特別提醒1.角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段.2.三角形的角平分線是其內角的平分線的一部分，故角的平分線的性質三角形的角平分線都具有.知識點三角形的角平分線3知3－講

知3－講2.三角形三條角平分線的位置：一個三角形有三條角平分線，它們都在三角形的內部，并且這三條角平分線交于三角形內部一點，如圖11.1-12所示.拓寬視野三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心.知3－講3.三角形三種重要線段的區別三角形的高三角形的中線三角形的角平分線用途舉例(1)證線段垂直；(2)證角相等(1)證線段相等；(2)證面積相等證角相等知3－講三角形的高三角形的中線三角形的角平分線在圖中的位置銳角三角形三條高全在三角形內三條中線全在三角形內三條角平分線全在三角形內直角三角形一條高位于三角形內，另兩條高與兩直角邊重合鈍角三角形一條高位于三角形內，另兩條高位于三角形外知3－講三角形的高三角形的中線三角形的角平分線條數三條三條三條交點位置銳角三角形在三角形內在三角形內在三角形內直角三角形在直角頂點處鈍角三角形在三角形外知3－講三角形中三個重要的點：三條高所在直線的交點叫垂心,三條中線的交點叫重心,三條角平分線的交點叫內心.知3－講如圖11.1-13，D

是△

ABC的邊AC

上一點，DE∥BC交AB

于點E，若∠EDB=∠EBD，求證：BD是△ABC

的角平分線.例3知3－練思路引導：知3－練證明：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC.又∵∠EDB=∠EBD，∴∠DBC=∠EBD.∴BD是△ABC

的角平分線.知3－練3-1.如圖，在△MCD中，AB∥CD，AE與DF