3.3幾何概型課時目標1.通過實例體會幾何概型的含義，會區分古典概型和幾何概型.2.掌握幾何概型的概率計算公式，會求一些事件的概率．1．幾何概型的定義設D是一個________的區域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)．每個基本事件可以視為從________內隨機地取一點，區域D內的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件A的發生可以視為恰好取到區域D內的某個指定區域d中的點，這時，事件A發生的概率與d的測度(長度、________、________等)成正比，與d的形狀和位置________．我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．2．在幾何概型中，事件A的概率計算公式為P(A)＝____________________.一、填空題1．用力將一個長為3米的米尺拉斷，假設該米尺在任何一個部位被拉斷是等可能的，則米尺的斷裂處恰在米尺的1米到2米刻度處的概率為________．2．如圖，邊長為2的正方形內有一內切圓．在圖形上隨機撒一粒黃豆，則黃豆落到圓內的概率是________．3．在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10mL，則含有麥銹病種子的概率是________．4．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為________．5．在區間[－1,1]上任取兩數x和y，組成有序實數對(x，y)，記事件A為“x2＋y2<1”，則P(A)＝______________________________________________________________.6．有四個游戲盤，如下圖所示，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎，小明希望中獎機會大，他應當選擇的游戲盤為________．(填序號)7．一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當你到達路口時看到的是綠燈的概率是________．8．在區間[－1,2]上隨機取一個數x，則x∈[0,1]的概率為________．9．有一個圓面，圓面內有一個內接正三角形，若隨機向圓面上投一鏢都中圓面，則鏢落在三角形內的概率為________．二、解答題10．過等腰Rt△ABC的直角頂點C在∠ACB內部隨機作一條射線，設射線與AB相交于點D，求AD<AC的概率．11．如圖，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm，4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算(可重投)，問：(1)投中大圓內的概率是多少？(2)投中小圓與中圓形成的圓環的概率是多少？(3)投中大圓之外的概率是多少？能力提升12．函數f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率為________．13．在轉盤游戲中，假設有三種顏色紅、綠、藍．在轉盤停止時，如果指針指向紅色為贏，綠色為平，藍色為輸，問若每種顏色被平均分成四塊，不同顏色相間排列，要使贏的概率為eq\f(1,5)，輸的概率為eq\f(1,3)，則每個綠色扇形的圓心角為多少度？(假設轉盤停止位置都是等可能的)處理幾何概型問題就要先計算基本事件總體與事件A包含的基本事件對應的區域的長度(角度、面積或體積)，而這往往會遇到計算困難，這是本節難點之一．實際上本節的重點不在于計算，而在于如何利用幾何概型把問題轉化為各種幾何概率問題．為此可參考如下辦法：(1)選擇適當的觀察角度；(2)把基本事件轉化為與之對應的幾何區域；(3)把隨機事件A轉化為與之對應的幾何區域；(4)利用概率公式計算；(5)如果事件A對應的區域不好處理，可以用對立事件概率公式逆向思維．同時要注意判斷基本事件的等可能性，這需要嚴謹的思維，切忌想當然，需要從問題的實際背景出發去判斷．

3．3幾何概型知識梳理1．可度量區域D面積體積無關2.eq\f(d的測度,D的測度)作業設計1.eq\f(1,3)解析P＝eq\f(2－1,3)＝eq\f(1,3).2.eq\f(π,4)解析由題意，P＝eq\f(S圓,S正方形)＝eq\f(π×12,2×2)＝eq\f(π,4).3.eq\f(1,100)解析取出10mL麥種，其中“含有病種子”這一事件記為A，則P(A)＝eq\f(取出種子的體積,所有種子的體積)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100).4．1－eq\f(π,4)解析當以O為圓心，1為半徑作圓，則圓與長方形的公共區域內的點滿足到點O的距離小于或等于1，故所求事件的概率為P(A)＝eq\f(S長方形－S半圓,S長方形)＝1－eq\f(π,4).5.eq\f(π,4)解析如圖，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，則S中每個元素與隨機事件的結果一一對應，而事件A所對應的事件(x，y)與圓面x2＋y2<1內的點一一對應，∴P(A)＝eq\f(π,4).6．①解析①中P1＝eq\f(3,8)，②中P2＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，③中設正方形邊長2，則P3＝eq\f(4－π×12,4)＝eq\f(4－π,4)，④中設圓直徑為2，則P4＝eq\f(\f(1,2)×2×1,π)＝eq\f(1,π).在P1，P2，P3，P4中，P1最大．7.eq\f(8,15)解析P(A)＝eq\f(40,30＋5＋40)＝eq\f(8,15).8.eq\f(1,3)解析由幾何概型知所求的P＝eq\f(1－0,2－－1)＝eq\f(1,3).9.eq\f(3\r(3),4π)解析設圓面半徑為R，如圖所示△ABC的面積S△ABC＝3·S△AOC＝3·eq\f(1,2)AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin60°·Rcos60°＝eq\f(3\r(3)R2,4)，∴P＝eq\f(S△ABC,πR2)＝eq\f(3\r(3)R2,4πR2)＝eq\f(3\r(3),4π).10.解在AB上取一點E，使AE＝AC，連接CE(如圖)，則當射線CD落在∠ACE內部時，AD<AC.易知∠ACE＝67.5°，∴AD<AC的概率P＝eq\f(67.5°,90°)＝0.75.11．解整個正方形木板的面積，即基本事件所占的區域總面積為S＝16×16＝256(cm2)．記“投中大圓內”為事件A，“投中小圓與中圓形成的圓環”為事件B，“投中大圓之外”為事件C，則事件A所占區域面積為SA＝π×62＝36π(cm2)；事件B所占區域面積為SB＝π×42－π×22＝12π(cm2)；事件C所占區域面積為SC＝(256－36π)cm2.由幾何概型的概率公式，得(1)P(A)＝eq\f(SA,S)＝eq\f(9,64)π；(2)P(B)＝eq\f(SB,S)＝eq\f(3,64)π；(3)P(C)＝eq\f(SC,S)＝1－eq\f(9,64)π.12.eq\f(3,10)解析令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的圖象是開口向上的拋物線，與x軸的交點為(－1,0)，(2,0)，圖象在x0軸下方，即f(x0)≤0的x0的取值范圍為x0∈[－1,2]，∴P＝eq\f(2－－1,5－－5)＝eq\f(3,10).13．解由于轉盤旋轉停止位置都是等可能的，并且位置是無限多的，所以符合幾何概型的特點，問題轉化為求圓盤角度或周長問題．因為贏的概率為eq\f(