第第頁專題5.5三角恒等變換（重難點題型精講）1．兩角差的余弦公式對于任意角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0.

此公式給出了任意角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的正弦、余弦與其差角SKIPIF1<0-SKIPIF1<0的余弦之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作SKIPIF1<0.

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數值乘積的和.2．兩角和的余弦公式(1)公式的結構特征(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“-”，兩角差時用“+”.3．兩角和與差的正弦公式(1)兩角和與差的正弦公式的結構特征(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.

①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.4．兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式的結構特征符號變化規律可簡記為“分子同，分母反”.5．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式(1)角的代換代換法是一種常用的思想方法，也是數學中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用尤為突出.

常用的角的代換形式：①SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)-SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)；

③SKIPIF1<0=SKIPIF1<0[(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)]；

④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0[(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)]；

⑤SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)-(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)；

⑥SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)+(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0).(2)常值代換

用某些三角函數值代換某些常數，使之代換后能運用相關的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要特別注意的是“1”的代換.(3)輔助角公式通過應用公式SKIPIF1<0[或SKIPIF1<0將形如SKIPIF1<0(a,b都不為零)的三角函數式收縮為一個三角函數SKIPIF1<0[或SKIPIF1<0].這種恒等變形實質上是將同角的正弦和余弦函數值與其他常數積的和收縮為一個三角函數，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的變形應用(1)倍角公式的逆用

①SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

②SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.

③SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.

(2)配方變形

SKIPIF1<0.

(3)因式分解變形

SKIPIF1<0.

(4)升冪公式

SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.

【題型1兩角和與差的三角函數公式的應用】【方法點撥】公式運用之妙，存乎一心.使用時強調一個“活”字，而“活”的基礎來源于對公式結構本身的深刻理解.【例1】（2022·四川省模擬預測（理））已知α，β都為銳角，cosα=17，cosα+β=?A．12 B．?7198 C．?【解題思路】由同角三角函數的基本關系可得sinα和sin(α+β)，代入【解答過程】解：∵α，β都是銳角，cosα=17∴sinα=1?co∴cosβ=cos[(α+β)?α]=cos【變式1-1】（2022·江蘇南京·高二期中）已知α,β均為銳角，且sinα+β=2sinα?β，則A．13 B．12 C．2【解題思路】根據兩角和差的正弦公式，結合商數關系化簡即可得解.【解答過程】解：因為sinα+β=2sin即3cosαsinβ=sinαcos【變式1-2】（2022·湖北黃岡·高三階段練習）已知cosα+π12=35，A．3?4310 B．45 C．?【解題思路】根據同角三角函數的基本關系求出sinα+π12【解答過程】解：因為α∈0,π2，所以α+所以sinα+π=sinα+故選：D.【變式1-3】（2022·天津市高一階段練習）若0<α<π2，?π2<β<0，cosπ4A．33 B．?33 C．5【解題思路】根據題意求得sinπ4+α【解答過程】由題意，可得π4<π因為cosπ4+α=13，則cos=1【題型2利用和（差）角公式求三角函數式的值】【方法點撥】解決三角函數求值的四個切入點：(1)觀察角的特點.充分利用角之間的關系，盡量向同角轉化，利用已知角構建待求角.(2)觀察函數特點.向同名函數轉化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用輔助角公式求解.(4)觀察結構特點，從整體出發，利用公式變形，并能正用、逆用、交替使用這些公式.【例2】（2022·湖南·高三階段練習）2cos10°A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】把分子中的cos10°化為cos【解答過程】原式=2cos30°?20【變式2-1】（2022·寧夏·高三期末（文））sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【解題思路】結合誘導公式、兩角和的正弦公式求得正確答案.【解答過程】sin=cos【變式2-2】（2022·河南高三階段練習（文））已知tanα=?3，則cosα+πA．225 B．?22 C．?【解題思路】利用兩角和的余弦公式和三角函數的基本關系式，化簡的原式=2【解答過程】由cosα+【變式2-3】（2022·山東·高一階段練習）若cosα=35，則cosA．43100 B．11100 C．?43【解題思路】化簡得cosπ6+α【解答過程】解：因為cosπ6=(32cosα?=cos2α?【題型3利用和（差）角公式化簡三角函數式】【方法點撥】(1)化簡三角函數式的標準和要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數式的種數、項數及角的種類盡可能少；③使三角函數式的次數盡可能低；④使分母中盡量不合三角函數式和根式.(2)化簡三角函數式的常用方法:①切化弦；②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一課時練習）化簡：(1)sinα+βcosβ?12【解題思路】（1）由sin(α+2β)=（2）由sin10【解答過程】(1)∵∴sin(α+β)(2)sin10°+sin=?12sin【變式3-1】設3π4<θ<【解題思路】利用誘導公式及兩角和與差的正弦公式化簡計算即可.【解答過程】cosπ4sin∵3π4<θ<5∴cos【變式3-2】（2022·四川省高一階段練習（理））化簡下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【解題思路】（1）將67°寫成67o（2）切化弦，結合輔助角公式，兩角和的正弦公式運算即可求解；．（3）將2α+β改成α+β+α，β改成α+β?α的形式，結合兩角和的正弦公式即可求解．【解答過程】(1)解：原式=sin75°?8°+=tan75°=tan(2)解：原式==2=22(3)解：原式==sinα+βcosα?1【變式3-3】（2022·全國·高一課前預習）化簡：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【解題思路】（1）結合同角三角函數的基本關系式、兩角差的正弦公式計算出正確答案.（2）結合兩角和與差的正弦公式計算出正確答案.【解答過程】(1)原式＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50＝sin10°cos60°?sin60°(2)原式＝sin(α＋β)cosα－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α＝sin(α＋β)cosα－12[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－12×2sinαcos(α＋β＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.【題型4利用和（差）角公式證明三角恒等式】【方法點撥】證明條件恒等式要充分關注已知條件與待證恒等式的關系，正確運用條件并合理切入，然后用證明恒等式的一般方法處理.【例4】（2022·全國·高一課時練習）已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【解題思路】轉化sinβ=sin[(α+β)?α]【解答過程】由題意，sinβ=m故sinβ=m又sinβ=∴sin∴(1?m)sin由于α+β≠π2+kπk∈Z，α≠kπ兩邊同除以：(1?m)cos(α+β)cos【變式4-1】（2021·全國·高一課時練習）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【解題思路】（1）根據兩角和與差的正弦公式展開，然后兩式相加即可得證；（2）根據兩角和與差的正弦公式展開，然后兩式相減即可得證；【解答過程】(1)證明：因為sinα+β=asin所以兩式相加可得2sinαcos(2)證明：因為sinα+β=asin所以兩式相減可得2cosαsin【變式4-2】（2021·全國·高一課時練習）求證：（1）sin(α?β)（2）1cos【解題思路】（1）直接根據差角的正弦公式與同角三角函數的商關系證明即可；（2）由（1）得sin1°【解答過程】證明：（1）sin(α?β)（2）由（1）得sin1°∴1cos0°cos∴1cos【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習）求證：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【解題思路】直接利用兩角和與差的三角函數化簡等式的左側，證明即可．【解答過程】證明：（1）12（2）12（3）?1【題型5利用二倍角公式化簡】【方法點撥】解決三角函數式的化簡問題就是根據題目特點，利用相應的公式，對所給三角函數式進行適當變形.可從“冪”的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個方面，結合所給“形”的特征入手解決.一般采用切化弦、異角化同角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數化為完全平方式等進行變形，同時注意公式的逆用以及“1”的恒等代換，在化簡時，要注意角的取值范圍.【例5】（2021·全國·高一專題練習）化簡：(1)cosπ12cos5π12；(2)cos4α2－sin4α2；【解題思路】（1）利用誘導公式及二倍角正弦公式計算可得；（2）利用平方關系及二倍角余弦公式計算可得；（3）利用二倍角的正切公式計算可得；【解答過程】（1）解：cosπ（2）解：cos4（3）解：tan22.5【變式5-1】（2022·上海·高三專題練習）化簡：1+sinα+【解題思路】根據二倍角正弦公式與二倍角余弦公式對根式進行配方，再根據角的范圍去絕對值，即得結果.【解答過程】1+==cosα2+sin∴1+sinα+【變式5-2】（2022·江蘇·高一課時練習）化簡：(1)sinα+cosα2；(2)2tan15°(4)sin4α?cos4α；(5)1【解題思路】（1）根據同角的三角函數關系式，結合正弦二倍角公式進行求解即可；（2）逆用正切二倍角公式，結合特殊角的正切值進行求解即可；（3）運用切化弦法，結合輔助角公式、二倍角公式、誘導公式進行求解即可；（4）運用平方差公式，結合同角的三角函數關系式、余弦的二倍角公式進行求解即可；（5）運用切化弦法，結合正弦和余弦的二倍角公式進行求解即可；（6）根據誘導公式，結合余弦二倍角公式進行求解即可.【解答過程】(1)sinα+(2)2tan(3)cos(4)sin4(5)1(6)3?sin【變式5-3】（2022·全國·高一專題練習）化簡下列各式：（1）11?tanθ?1【解題思路】（1）對原式通分化簡即得；（2）利用誘導公式、同角的三角函數關系、二倍角的正弦余弦公式化簡即得解.【解答過程】（1）原式=(1+tan（2）原式=cos2α2tanπ【題型6利用二倍角公式求值】【方法點撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據式子的特點構造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化.【例6】（2022·全國·高一單元測試）已知tanα(1)求sinα(2)求tan(β?2α)【解題思路】（1）根據給定條件，利用二倍角的正弦公式結合正余弦齊次式法計算作答.（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式計算作答.【解答過程】（1）因tanα2=（2）因tanα2=12所以tan(β?2α)=?【變式6-1】（2022·湖北黃石·高一期中）已知tan(1)求tanα(2)求1+cos【解題思路】（1）根據兩角和的正切公式，結合正切二倍角公式進行求解即可；（2）根據二倍角的正弦公式和余弦公式，結合同角的三角函數關系式進行求解即可.【解答過程】（1）由tan(α2（2）1+【變式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知sinα=35(1)求tanα的值；(2)求sin【解題思路】（1）利用同角三角函數的基本關系式求解即可.（2）利用正弦及余弦的二倍角公式展開后分式上下同除以cos2α，然后代入【解答過程】(1)∵π2<α<π∴cosα=?1?(2)sin2α?【變式6-3】（2022·北京高一期中）已知2sin(1)tanθ(2)3cos【解題思路】（1）將已知等式分子分母同除cosθ，可構造關于tanθ的方程，求得（2）將所求式子利用二倍角公式化為正余弦的二次式，配湊分母sin2θ+cos2θ=1，分子分母同除cos【解答過程】(1)∵2sinθ+cosθsinθ?3(2)3====7專題5.5三角恒等變換（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·貴州六盤水·高一期末）若θ∈0,π2，sin(πA．35 B．1225 C．25【解題思路】結合誘導公式，同角三角函數的基本關系式、二倍角公式求得正確答案.【解答過程】sin(π?θ)=sinθ=所以sin2θ=22．（3分）（2022·廣東肇慶·高三階段練習）2sin2125°?2A．?12 B．12 【解題思路】根據正弦的二倍角公式，結合誘導公式，以及余弦的和差角公式，化簡即可求得結果.【解答過程】2===?3．（3分）（2022·黑龍江·高三期中）已知cosα?π3=1A．?79 B．?13 C．【解題思路】利用二倍角的余弦公式求得cos2α?【解答過程】解：因為cosα?π3即cos2α?2π4．（3分）（2022·陜西·高一期末）下列各式中，值為12的是（

A．sin15°cos15°C．cos42°sin12°?【解題思路】根據三角函數的和差公式、倍角公式逐一算出每個選項對應式子的值，然后可選出答案.【解答過程】sin15°cos15°=cos42°sin12°?5．（3分）（2022·山東·高三期中）已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sinA．34π B．π4 C．5【解題思路】求出β?α的取值范圍，利用同角三角函數的基本關系以及兩角差的正弦公式求出sinβ?α【解答過程】因為π4≤α≤π，則π2≤2α≤2π，因為因為π≤β≤3π2，則所以，cos2α=?1?sin所以，sinβ?α=所以，β?α=36．（3分）（2022·遼寧·高一階段練習）若在△ABC中，sin(A+C)?sin(A+B)=cos2A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】利用誘導公式及二倍角公式得到2sinB?sin【解答過程】解：因為sin(A+C)?sin所以sinB?sinC=1+cos所以2sinB?sinC=1?cos因為B,C∈0,π，所以B?C∈?π,π，所以B?C=0，即B=C，所以7．（3分）（2023·云南·高三階段練習）已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=A．若cosα+sinB．若tanα=2，則C．tanα、tanβD．tan【解題思路】利用誘導公式、輔助角公式以及三角恒等變換即可判斷.【解答過程】對于A,根據輔助角公式得2sinα+因為α∈0,π2，所以α對于B,tanβ+γ對于C，因為tanα、tanβ可能是方程x則有tanα+β=tanα+tanβ1?tanα?tan整理得tanα8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英國化學家、物理學家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設計了卡文迪許扭秤實驗來測量萬有引力，由此計算出地球質量，他在扭秤兩端分別固定一個質量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠的地方，標記下此時激光所在的點，然后用兩個質量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉，但激光所反射的點卻移動了較大的距離，他用此計算出了萬有引力公式中的常數G，從而計算出了地球的質量．在該實驗中，光源位于刻度尺上點P處，從P出發的光線經過鏡面（點M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點Q處，鏡面繞M點順時針旋轉a角后，反射光線照射在刻度尺的點Q'處，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QA．tanα=3b2a+bB．tanα=3【解題思路】過點M作MD⊥PQ，則DQ'=12a+b，MD=3【解答過程】過點M作MD⊥PQ，因為△PMQ是正三角形．PQ=a，則DQ'=12a+b，MD=則tan60°?tan2α1+二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·河北·高三階段練習）已知tanα?β=?17，tanα+βA．?13 B．13 C．【解題思路】由條件結合兩角差的正切公式求tan2β，再由二倍角公式求tan【解答過程】因為tan2β=tanα+β?α?β=tanα+β?tanα?β1+tan解得tanβ=?10．（4分）（2022·廣東湛江·高一期末）下列各式中，值為12的是（

A．1?2sin215°C．3?tan15°【解題思路】根據二倍角的正弦公式、余弦公式，兩角差的正切公式，逐一化簡計算，即可得答案.【解答過程】對于A：1?2sin對于B：2sin對于C：3?對于D：2cos11．（4分）（2022·江西·高二開學考試）下列計算正確的是（

）A．tan15°+1tan15°?1C．sin15°sin45°【解題思路】根據兩角和的正切公式、二倍角公式、誘導公式求得正確答案.【解答過程】因為tan15°+1cos4sin15°因為tan60°=所以tan37°+故選：ABC.12．（4分）（2022·遼寧·高一階段練習）已知函數fx=2sinA．fx的圖象關于直線x=5π8對稱 B．fC．fx在?5π8,0上單調遞減 D．對任意的m，【解題思路】根據三角恒等變換公式化簡可得fx【解答過程】fx=2sin對A，令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2對B，令2x+π4=kπ，k∈Z，解得x=kπ2?π對C，令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得對D，因為fx的最小正周期T=2π2=π，所以T2=π故選：AD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·吉林·模擬預測）求值tan27.5°+1tan2【解題思路】先用同角三角函數基本關系切化弦，同角正余弦平方和化為1，再利用倍角公式，化為可以求值的角的三角函數.【解答過程】tan27.5°+1tan14．（4分）（2022·四川資陽·一模（理））已知a+β=7π4，則tan【解題思路】將β=7π【解答過程】∵a+β=7π4tanα?1tan故答案為：2.15．（4分）（2022·海南·高三階段練習）已知α是第四象限角，且1?cos2αcosα=16【解題思路】利用二倍角公式化簡1?cos2αcosα=163【解答過程】由1?cos2αcosα=所以6(1?cos2α)=16cosα,∴3因為α是第四象限角，故sinα=?1?(1316．（4分）（2022·湖北襄陽·高三期中）已知tanα=4，β滿足①sinβ>0，且sinβ=1+cosβ，②tan(2α+β)=?10【解題思路】若β滿足的條件①利用sinβ=1+cosβ及sinβ>0進行轉化解出cosβ，sinβ，利用兩角和的正切公式求解；若【解答過程】若β滿足條件①，因為sinβ=1+cosβ解得cosβ=0或cosβ=?1，則sinβ=1或sinβ=0(舍去)，則故tan(α+β)=tan(α+π2則tan(