2025屆安徽省高三摸底大聯考數學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。2．考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。3．本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內、復數對應的點位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合．則圖中陰影部分表示的集合為（）

A． B． C． D．3．有一組數據，按從小到大排列為：，這組數據的分位數等于他們的平均數，則為（）

A．9 B．10 C．11 D．12

4．已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個底面的圓周都在同一個體積為的球面上，該圓柱的側面積為（）

A． B． C． D．

5．已知，則值為（）

A． B． C． D．1

6．已知雙曲線，點在上，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．

7．已知函數的定義域為是偶函數，是奇函數，則的值為（）

A． B．3 C． D．

8．數列的前項和為，滿足，則可能的不同取值的個數為（）

A．45 B．46 C．90 D．91二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．

9．已知隨機變量滿足：，則（）

A． B．C． D．

10．設函數，定義域為，若關于的不等式的解集為或，下列說法正確的是（）

A．的極大值為0

B．點是曲線的對稱中心

C．直線與函數的圖象相切

D．若函數在區間上存在最小值，則的取值范圍為

11．已知曲線，點為曲線上任意一點，則（）

A．曲線的圖象由兩個圓構成

B．的最大值為

C．的取值范圍為

D．直線與曲線有且僅有3個交點三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．12．已知向量，且，則向是在向量上的投影向量坐標是_______．13．已知函數與的圖象上任意3個相鄰的交點構成直角三角形，則_______．14．用個不同的元素組成個非空集合（，每個元素只能使用一次），不同的組成方案數記作，且當時，．現有7名同學參加趣味答題活動，參加一次答題，即可隨機獲得四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學獲得卡片后，可集齊全4種卡片的概率為________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（13分）在中，內角所對的邊分別為．

（1）求；

（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．

16．（15分）已知橢圓的左、右焦點為，離心率為，點為橢圓上任意一點，且的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與直線分別交橢圓于和兩點，求四邊形的面積．

17．（15分）如圖，在四棱錐中，，平面平面．

（1）證明：；

（2）若，點為棱的中點，求二面角的余弦值．

18．（17分）已知函數．

（1）若為函數的極值點，求的值；

（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．19．（17分）已知數列，對于任意的，都有，則稱數列為“凹數列”．

（1）判斷數列是否為“凹數列”，請說明理由；

（2）已知等差數列，首項為4，公差為，且為“凹數列”，求的取值范圍；

（3）證明：數列為“凹數列”的充要條件是“對于任意的，當時，有”．2025屆安徽省高三摸底大聯考－數學

參考答案、解析及評分細則1．B，所以復數在復平面內對應的點在第二象限．故選B．2．D，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為．故選D．3．B因為該組數據共6個，且，所以這組數據的分位數為第三位數，即6，則，解得．故選B．4．A球的體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側面積為。故選A．5．C因為，所以，可得，即，所以，解得。故選C．

6．B設點，則，即，又兩條漸近線方程為，即，故有，所以．故選B．

7．D因為函數為偶函數，則，即①，又因為函數為奇函數，則，即②，聯立①②可得，所以．故選D．

8．B由題設可得，其中，故，且奇偶交錯出現。（1）若為奇數，由可得對可取遍中的每一個奇數；（2）若為偶數，由可得對可取遍中的每一個偶數，又，當時，；考慮時，調整為3，則對應的可增加，依次對諸至少一個）調整為3后，即，從上述的調整過程可得取遍了中的奇數或偶數（取奇數還是偶數取決于的奇偶性），當時，取遍了中的奇數，合計46個，故選B．

9．BCD因為，所以，解得，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選BCD．

10．ABC對于A，由，解得或，所以，則，當時，；當或時，；可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數的極大值，故A正確；對于B，因為，故B正確；對于C，設切點為，則解得所以直線與函數的圖象相切于，故C正確；對于D，由A選項知在上單調遞增，在上單調遞減，又，令，解得或3，函數在區間上存在最小值，所以的取值范圍為，故D錯誤．故選ABC．

11．AC由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個圓，故A正確；表示點到原點距離的平方，最大值為，故B錯誤；如圖所示，設過點且與圓相切的直線方程為，則點到該直線的距離，解得，即圖中直線的斜率為1，直線的方程為，點到直線的距離，則直線與圓相切，設過點且與圓相切的直線方程為，則點到該直線的距離，解得表示的是點到點的斜率，故的取值范圍為，故C正確；由C項可知直線與圓均相切，所以直線與曲線有且僅有2個交點，故D錯誤．故選AC．

12．由題意知，因為，可得，解得，所以在上的投影向量為．

13．如圖所示，設函數與的交點分別為，由得，所以，則，所以為等腰直角三角形，所以點到直線的距離為，即，解得．

14．根據題干可列出對應取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即個人集齊全4種卡片等價于7個不同元素組成4個非空集合，再將4個非空集合對應4種卡片，所以．

15．解：（1）由，得，①由，得，②

由①②聯立，得，

由，得，所以，

又由，得．

（2）因為的面積為，所以，得．由，即，所以．

由余弦定理，得，即，

所以，可得，

所以的周長為．

16．解：（1）由題意知，且，解得，

則橢圓的方程為．

（2）易知四邊形為平行四邊形，設，聯立直線與橢圓消去并整理得，

由韋達定理得

，

因為與平行，所以這兩條直線的距離，

則平行四邊形的面積．

17．（1）證明：因為，所以，所以，所以，因為，所以，即．

又因為平面平面，平面平面，所以平面，

因為平面，所以。

（2）解：取的中點，連接，由（1）知，因為，易知，

因為為的中點，為的中點，所以，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，

平面的法向量為，

設平面的法向量為，

則

令，則，故，

故

設二面角的大小為，由圖形可知，為銳角，

故二面角的余弦值為．

18．解：（1），由題意知，解得，

經驗證此時為函數的極值點，故．

（2）設，定義域為，

，

設，所以，所以在上單調遞減，又，所以存在使，

所以當時，，即，函數單調遞增，

當時，，即，函數單調遞減，

所以函數的最大值

，

因為恒成立，

即恒成立，設，則，所以單調遞增，所以，即恒成立，

因為在上單調遞減，且，

所以只需恒成立，即，

解得．

故的取值范圍是

19．（1）解：（1）因為，則，又，故，即，數列是