計數原理第十章第一節分類加法計數原理與分步乘法計數原理考點高考試題考查內容核心素養分類加法計數原理與分步乘法計數原理2017·全國卷Ⅱ·T6·5分乘法原理與排列組合結合解決分工問題邏輯推理2016·全國卷Ⅱ·T5·5分應用分類加法計數原理與分步乘法計數原理求路徑條數邏輯推理命題分析分類加法計數原理與分步乘法計數原理是學習概率統計的基礎，在高考中占有特殊的地位，大多以選擇題和填空題的形式出現，有時與概率統計知識綜合出現在解答題中，主要考查基礎知識、基本運算與思維能力，難度不大，多為送分題.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__________種不同的方法．2．分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__________種不同的方法．m＋nm×n

提醒：1．辨明兩個易誤點(1)切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行．(2)分類的關鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步．2．兩個計數原理應用的步驟第一步，由于計數問題一般是解決實際問題，故首先要審清題意，弄清完成的事件是怎樣的；第二步，分析完成這件事應采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類四類中的哪一種；第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數；第四步，根據分類加法計數原理或分步乘法計數原理計算出完成這件事的方法種數．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(

)(3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)(4)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．(

)×

√

√

×

2．(教材習題改編)某班新年聯歡會原定的6個節目已排成節目單，開演前又增加了3個新節目，如果將這3個新節目插入節目單中，那么不同的插法種數為(

)A．504

B．210

C．336

D．120A

解析：分三步，先插一個新節目，有7種方法，再插第二個新節目，有8種方法，最后插第三個節目，有9種方法．故共有7×8×9＝504種不同的插法．3．(教材習題改編)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、第二象限內不同的點的個數是(

)A．12

B．8

C．6

D．4C

解析：x＝1時，y＝5,6，有點(1,5)，(1,6)，x＝3時，y＝5,6，有點(3,5)，(3,6)，x＝－2時，y＝5,6，有點(－2,5)，(－2,6)，共6個點．4．(教材習題改編)5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有________種．32

解析：每位同學有兩種報名方法2×2×2×2×2＝25＝32(種)．利用分類加法計數原理解題時2個注意點(1)根據問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復．02課堂·考點突破分類加法計數原理[明技法]【典例】

高三一班有學生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，其中男生35人，女生20人．(1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班男生中或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？[提能力]解：(1)完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法．根據分類加法計數原理，任選一名學生任學生會主席共有50＋60＋55＝165(種)不同的選法．(2)完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法．根據分類加法計數原理，共有30＋30＋20＝80(種)不同的選法．五名籃球運動員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服．由于燈光暗淡，看不清自己的外衣，則至少有兩人拿對自己的外衣的情況有(

)A．30種

B．31種C．35種

D．40種B

[刷好題]分步乘法計數原理和分類加法計數原理是學習排列與組合的基礎，高考中一般以選擇題、填空題形式出現，難度中等，分值5分．分步乘法計數原理[析考情]【典例】

(1)(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為(

)A．24

B．18

C．12

D．9(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．[提能力]B

120

解析：(1)從E點到F點的最短路徑有6種，從F點到G點的最短路徑有3種，所以從E點到G點的最短路徑為6×3＝18種，故選B．(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成．[悟技法]1．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有(

)A．12種

B．18種C．24種

D．36種A

[刷好題]2．如圖一管道有6個聯接點，如果一個聯接點堵塞，則整個管道不通．現發現管道不通，那么聯接點堵塞情況有________種．63

解析：因為每個聯接點是否堵塞有2種，而只要一處堵塞，則整個管道不通．故共有26－1＝63種可能．兩個計數原理的綜合應用兩個計數原理的應用，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現，試題難度不大，多為容易題或中檔題．[析考情]命題點1：與數字有關的問題【典例1】

我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”(如2013是六合數)，則“六合數”中首位為2的有(

)A．18個

B．15個C．12個

D．9個B

解析：依題意，這個四位數百位、十位、個位之和為4，由(4,0,0)，(3,1,0)，(2,2,0)，(1,1,2)各能組成3,6,3,3個.3＋6＋3＋3＝15個．[提能力]命題點2：與幾何有關的問題【典例2】

從A到O有________種不同走法(不重復過一點)．5

解析：分三類：一類一步完成A→O，二類兩步完成A→B→O

A→C→O，三類三步完成A→B→C→O

A→C→B→O，共1＋2＋2＝5種．命題點3：涂色問題【典例3】

如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(

)A．72種

B．48種C．24種

D．12種A

與兩個計數原理有關問題的解題策略(1)在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，但在分步時可能又會用到分類加法計數原理．(2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化．[悟技法]1．如果一個三位正整數“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數為凸數(如120,343,275等)，那么所有凸數的個數為(

)A．240

B．204

C．729

D．920A

解析：若a2＝2，則凸數為120與121，共1×2＝2個．若a2＝3，則凸數有2×3＝6個．若a2＝4，則凸數有3×4＝12個，…，若a2＝9，則凸數有8×9＝72個．所以所有凸數有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240個．[刷好題]2．如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區域分開，若相鄰區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(

)A．400種

B．460種C．480種

D．496種C

解析：完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．當使用4種顏色時：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360(種)方法；當使用3種顏色