22.1平行四邊形的性質第二十二章四邊形第2課時平行四邊形的對角線性質逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2平行四邊形的性質——對角線互相平分平行四邊形的面積課時導入如果從澤當出發，向南行進，以穿越藏南分水嶺遇到的第一個小鎮哲古為起點，做一個連線游戲，往西南，連接洛扎；往東，連接隆子;往東南，連接錯那.于是我們看到，一個標準的平行四邊形清晰地鑲嵌在山南南端.你想了解平行四邊形的知識嗎？知識點平行四邊形的性質——對角線互相平分知1－講感悟新知1探究

如圖，在?ABCD

中，連接AC，BD，并設它們相交于點O,OA與OC，OB與OD有什么關系？你能證明發現的結論嗎？我們猜想，在?ABCD中，OA=OC，OB=OD.知1－講感悟新知與證明平行四邊形的對邊相等、對角相等的方法類似，我們也可以通過三角形全等證明這個猜想.請你結合圖完成證明.已知：如圖，在?ABCD

中，對角線AC，BD相交于點O.求證：

OA=OC，OB=OD.證明：在△AOB和△COD中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

∠BAO=∠DOC.又∵∠AOB=∠COD.∴△AOB≌△COD.∴OA=OC，

OB=OD.知1－講歸納感悟新知由此我們又得到平行四邊形的一個性質：平行四邊形的對角線互相平分知1－講感悟新知方法點撥：平行四邊形的性質定理1、平行線的性質、全等三角形的判定和性質在有關平行四邊形的問題中，常結合在一起綜合考查，而利用平行四邊形的邊角性質、平行線的性質獲得三角形全等的條件是解題的關鍵.知1－講感悟新知例1

已知：如圖，O為?ABCD兩條對角線的交點，AC=24mm，BD=38mm，BC=28mm.求△AOD的周長.知1－講感悟新知解：在?ABCD

中，∵AC=24mm，BD=38mm，∴又∵BC=28cm，∴AD=BC=28cm.∴△AOD的周長=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm).知1－講歸納感悟新知

在應用平行四邊形的性質時，我們應從邊、角、對角線這三個方面去考慮，解本例時，我們由“平行四邊形的對角線互相平分”可以得出“平行四邊形被它的兩條對角線分成四個小三角形，相鄰兩個小三角形的周長之差等于平行四邊形中對應的兩鄰邊之差”.知1－練感悟新知1.如圖，在?ABCD中，AB=5cm，AC=6cm，BD=8cm.求△AOB和△AOD的周長.知1－練感悟新知在?ABCD中，AC與BD互相平分．又因為AC＝6cm，BD＝8cm，所以OA＝OC＝

AC＝3cm，OB＝OD＝

BD＝4cm.因為AB＝5cm，且32＋42＝52，即OA2＋OB2＝AB2，所以∠AOB＝90°，所以∠AOD＝90°，所以AD＝

＝5(cm)．所以△AOB的周長為AB＋OA＋OB＝5＋3＋4＝12(cm)，△AOD的周長為OA＋OD＋AD＝3＋4＋5＝12(cm)．解：知1－練感悟新知2.如圖，?ABCD的周長是38，對角線AC，BD相交于點O，△AOD和△AOB的周長差是5.求AB的長.解：由?ABCD的周長是38，可知AB＋AD＝＝19①，由△AOD與△AOB的周長之差是5，可知AD－AB＝5②，由①、②聯立成方程組，得解得

故AB的長為7.知1－練感悟新知3.如圖，在?ABCD中，E是AD的中點，∠ABE=∠EBC，AB=2.求?ABCD的周長.解：在?ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC.因為AD∥BC，所以∠AEB＝∠EBC.又因為∠ABE＝∠EBC，所以∠ABE＝∠AEB，所以AB＝AE＝2.因為E是AD的中點，所以AD＝2AE＝4.所以?ABCD的周長為AD＋BC＋AB＋CD＝4＋4＋2＋2＝12.知1－練感悟新知4.【

中考·常州】如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，則下列說法一定正確的是(

)A．AO＝OD

B．AO⊥OD

C．AO＝OC

D．AO⊥ABC知1－練感悟新知5.如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AC＋BD＝16，CD＝6，則△ABO的周長是(

)A．10B．14C．20D．22B感悟新知例2知1－講

如圖，已知?ABCD與?EBFD的頂點A，E，F，C在一條直線上，求證：AE＝CF.感悟新知知1－講導引：平行四邊形的性質提供了邊的平行與相等，角的相等與互補，對角線的平分，當所要證明的結論中的線段在對角線上時，往往利用平行四邊形的對角線互相平分這一性質．因此本例要證對角線上的AE＝CF，可考慮利用對角線互相平分這一性質，先連接BD交AC于點O，再進行證明．感悟新知知1－講證明：如圖，連接BD交AC于點O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)．∵四邊形EBFD是平行四邊形，∴OE＝OF(平行四邊形的對角線互相平分)，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性質)．知1－講歸納感悟新知

本例易受全等三角形思維定式的影響．欲證的兩線段相等且又屬于不同的三角形，習慣上就聯想到證這兩個三角形全等，這樣雖然能達到證明的目的，卻忽視了平行四邊形特有的性質，易走彎路．因此在解決平行四邊形的有關問題中，應注意運用平行四邊形的性質．知1－練感悟新知1.

已知：如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F.求證：OE=OF.知1－練感悟新知證明：在?ABCD中，OA＝OC.因為AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEO＝∠CFO＝90°.在△AOE和△COF中，所以△AOE≌△COF.所以OE＝OF.知1－練感悟新知2.已知：如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，M是OA的中點，N為OC的中點，求證：BM=DN，BM∥DN.知1－練感悟新知證明：在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，又因為M是OA的中點，N為OC的中點，所以OM＝ON.在△MOB和△NOD中，所以△MOB≌△NOD.所以BM＝DN，∠MBO＝∠NDO.所以BM∥DN.知1－練感悟新知3.已知：如圖，E為?ABCD的邊AD延長線上一點，且AD=DE，EB交DC于點F.求證：DF=FC.知1－練感悟新知證明：在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，因為AE∥BC，所以∠E＝∠FBC.因為AD＝BC，AD＝DE，所以DE＝BC.在△DEF和△CBF中，所以△DEF≌△CBF.所以DF＝FC.知1－練感悟新知4.【中考·青島】如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BC，垂足為E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，則AE的長為(

)A.B.C.D.D知1－練感悟新知5.【中考·眉山】如圖，EF過?ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的周長為18，OE＝1.5，則四邊形EFCD的周長為(

)A．14B．13C．12D．10C知1－練感悟新知6.如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，連接AF，CE，則下列結論：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④圖中共有四對全等三角形．其中正確結論的個數是(

)A．4B．3C．2D．1B感悟新知知識點平行四邊形的面積2知2－講在平行四邊形中，從一條邊上的任意一點，向對邊畫垂線，這點與垂足間的距離(或從這點到對邊垂線段的長，或者說這條邊和對邊的距離)，叫做以這條邊為底的平行四邊形的高．這里所說的“底”是相對高而言的．在平行四邊形中，有時高是指垂線段本身，如作平行四邊形的高，就是指作垂線段．所以平行四邊形的高，在作圖時一般是指垂線段本身．在進行計算時，它的意義是距離，即長度．感悟新知知2－講平行四邊形的面積等于它的底和高的積，即S

?ABCD

＝a·h．其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊與其對邊的距離，即對應的高，如圖(1)．要避免學生發生如圖(2)的錯誤．為了區別，有時也可以把高記成ha、hAB，表明它們所對應的底是a或AB．感悟新知知2－講1.面積公式：平行四邊形的面積＝底×高(底為平行四邊形的任意一條邊，高為這條邊與其對邊間的距離)．2.等底等高的平行四邊形的面積相等．要點精析(1)求面積時，底和高一定要對應，必須是底邊上的高；(2)等底等高的平行四邊形與三角形面積間的關系：三角形面積＝與它等底等高的平行四邊形面積的一半.感悟新知知2－講例3已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，直線EF過O點，交DA于點E，交BC于點F.求證：OE=OF，AE=CF，DE=BF.感悟新知知2－講證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且對角線AC，BD相交于點O，∴OA=OC，∠EAO=∠FCO.又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE=OF，AE=CF.又∵AD=CB，∴DE=AD-AE=CB-CF=BF.知2－講歸納感悟新知求平行四邊形的面積時，根據平行四邊形的面積公式，要知道平行四邊形的一邊的長及這條邊上的高．平行四邊形的高不一定是過頂點的垂線段，因為平行線間的距離處處相等．知2－練感悟新知1.如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E，F，?ABCD的面積為24.求圖中陰影部分的面積.知2－練感悟新知解：在?ABCD中，OD＝OB，AD∥BC.因為AD∥BC，所以∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，所以△DOE≌△BOF.所以S△DOE＝S△BOF.所以陰影部分的面積為S△AOE＋S△BOF＋S△DOC＝S△AOE＋S△DOE＋S△DOC＝S△ADC＝

S?ABCD＝×24＝12.知2－練感悟新知2.如圖，若?ABCD的周長為36cm，過點D