3.1.2橢圓的簡單幾何性質【考點1：根據橢圓的標準方程研究幾何性質】【考點2：離心率問題】【考點3：相同離心率的橢圓的方程】【考點4：點與橢圓的位置關系】【考點5：直線與橢圓的位置關系】【考點6：直線與橢圓相交的弦長問題

【考點7：中點弦和點差法】知識點1橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的關系c2＝a2－b2知識點2橢圓中的幾個常用結論（1）過橢圓焦點垂直于長軸的弦是最短的弦，長為eq\f(2b2,a)，過焦點最長弦為長軸．（2）過原點最長弦為長軸長2a，最短弦為短軸長2b.（3）與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點的橢圓方程為eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．（4）焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點F1，F2構成的△PF1F2叫做焦點三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當r1＝r2，即點P為短軸端點時，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當|y0|＝b，即點P為短軸端點時，S取得最大值，最大值為bc；③△PF1F2的周長為2(a＋c)．【考點1：根據橢圓的標準方程研究幾何性質】【典例1】已知下列橢圓的方程，分別求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標和頂點坐標．(1)x2(2)25x【變式11】求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率：(1)x2(2)x2(3)4x【變式12】已知橢圓C:x2a2+y2b2A．6 B．5 C．25 D．【變式13】多選題已知橢圓C:x216A．C的焦點坐標為(±5,0) B．C的長軸長為8C．C的短軸長為6 D．C的一個頂點為(0,?4)【考點2：離心率問題】【典例2】下列橢圓的形狀更接近于圓的是（

）A．x22+C．x24+【變式21】下列方程表示的橢圓中，形狀最接近圓的是（

）A．x23+y22=1 B．【變式22】下列橢圓中最接近于圓的是（

）A．x24+y2=1 B．x【變式23】曲線C1:3x2+4y2=12和A．C1 B．C2 C．相同【典例3】設橢圓C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 【變式31】多選題已知橢圓C:x24+y2mA．1 B．3 C．163 【變式32】已知橢圓x225+y2b=1b>0【變式33】橢圓x2a2+y2=1(a>1)A．233 B．2 C．3【考點3：相同離心率的橢圓的方程】【典例4】若橢圓C2的焦點在y軸上，且與橢圓C1：x24+y2【變式41】已知橢圓焦點在x軸，它與橢圓x24+y23=1【變式42】經過點N(1,2)，且與橢圓x212+【變式43】過點(2,1)，焦點在x軸上且與橢圓x24+A．x216+y243=1 【考點4：點與橢圓的位圈關系】【典例5】點1,1與橢圓x225+A．點在橢圓上 B．點在橢圓內C．點在橢圓外 D．不確定【變式51】已知橢圓C:x24A．1,1 B．2C．2,2 【變式52】多選題點Aa,1在橢圓x24+yA．?2 B．?1 C．1 D．【變式53】直線y=kx+1與橢圓x25+y2A．1,+∞ B．0,1∪1,+∞ C．【考點5：直線與橢圓的位置關系】【典例61】直線y=x+1與橢圓x2+yA．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【典例62】已知直線l的方程為mx+y+2m=1，橢圓C的方程為x29+y24=1A．相離 B．相交 C．相切 D．不能確定【變式61】已知橢圓C:x24+y2=1，直線l:x?2y+A．相交 B．相切 C．相離 D．以上選項都不對【變式62】直線l：2m+1x+m+1y?7m?4=0與橢圓C：xA．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【變式63】已知直線l:a+2x+1?ay?a+5=0，橢圓C:xA．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切【考點6：直線與橢圓相交的弦長問題【典例7】已知橢圓C的一個焦點是直線x+my?2=0所過的定點，且短軸長為4．(1)求橢圓C的標準方程；(2)求直線2x?y?4=0與橢圓的相交弦長．【變式71】已知橢圓E的中心在原點，焦點為F1(?23,0)，F2(23,0)，且離心率e=32．過點P(2,?1)的直線l與橢圓E相交于A，A．23 B．22 C．25【變式72】直線x=?1被橢圓x24+A．32 B．32 C．3 【變式73】已知橢圓E的中心在原點，焦點為F1(?23(1)求橢圓E的方程；(2)過點P(2,?1)的直線l與橢圓E相交于A，B兩點且P為AB的中點求弦長AB.

【考點7：中點弦和點差法】【典例8】已知中心在原點，半焦距為4的橢圓x2m2+y2n2=1（m>0，n>0A．x28+C．x28+y24=1【變式81】已知A、B為橢圓x24+y23=1上兩點，O為坐標原點，M（異于點O）為弦AB中點，若ABA．?23 B．?32 C．【變式82】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，M(?2,1)是橢圓A．22 B．C．33 D．【變式83】若橢圓的中心在原點，焦點在y軸，一個焦點為(0,2)，直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點坐標為(?2,1)，則這個橢圓的方程為.一、單選題1．已知傾斜角為π4的直線l與橢圓C:x24+y2=1交于A,B兩點，P為A．?1 B．?12 C．?12．中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為12，且過點2,0的橢圓方程是（

A．x24+y2C．x24+3y3．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F，若A．3?1 B．23?3 C．4?24．已知橢圓C:x2m+y2m+6A．23 B．42 C．435．橢圓x2+my2=1的焦點在yA．14 B．12 C．26．與橢圓9x2+4y2A．x225+C．x220+7．橢圓x218+A．214 B．4 C．628．已知橢圓C:x24+y23=1，直線l經過點T1,12與CA．4x?6y?1=0 B．3x?2y?1=0C．4x+6y?7=0 D．3x+2y?4=0二、填空題9．焦點在x軸上，b=1，e=32的橢圓的標準方程為10．橢圓3x2+411．過點(3,?2)且與橢圓4x2+912．若橢圓x24+y23=1的弦AB13．若橢圓x23+y2