第六章概率1.1條件概率的概念北師大版

數學

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課程標準1.通過對具體情境的分析,結合古典概型,了解條件概率的定義.2.掌握簡單的條件概率的計算問題.3.能利用條件概率公式解決簡單的實際問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點

條件概率

可看作古典概型,此時將A看作一個樣本空間設A,B是兩個事件,且P(A)>0,則稱P(B|A)=為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率.P(B|A)讀作A發生的條件下B發生的概率.顯然,0≤P(B|A)≤1.從集合的角度看,若事件A已發生,則為使B也發生,試驗結果必須是既在A中又在B中的樣本點,即此點必屬于AB(如圖).由于已知A已經發生,故A成為計算條件概率P(B|A)新的樣本空間.名師點睛1.事件B在“事件A發生”這個附加條件下發生的概率與沒有這個附加條件下發生的概率一般是不同的.2.設P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個互斥事件,則P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A);(3)設

和B互為對立事件,則P(|A)=1-P(B|A).思考辨析1.三張獎券中只有一張能中獎,現分別由三名同學不放回地抽取一張,那么最后一名同學中獎的概率是否比前兩位小?提示

設三張獎券為x1,x2,Y,其中Y表示中獎獎券且Ω為所有結果組成的全體,那么該試驗的樣本空間Ω={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y,Yx1x2,Yx2x1}.設“最后一名同學中獎”為事件B,則B={x1x2Y,x2x1Y},∴P(B)=.2.如果已經知道第一名同學沒有中獎,那么最后一名同學中獎的概率是多少?與上一題的結果對比你發現了什么?提示

樣本空間Ω={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y,Yx1x2,Yx2x1},可設“第一名同學沒有中獎”為事件A,則A={x1Yx2,x2Yx1,x1x2Y,x2x1Y},“最后一名同學中獎”為事件B,則B={x1x2Y,x2x1Y},所求概率為與上一題的概率結果不一樣,A表示事件“第一名同學沒有抽到中獎獎券”,B表示事件“最后一名同學抽到中獎獎券”.在這個問題中,第一名同學沒有抽到中獎獎券一定會發生,從而影響了事件B發生的概率.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1.(

)(2)P(A|B)=P(B|A).(

)××2.[人教A版教材習題]設A?B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6.根據事件包含關系的意義及條件概率的意義,直接寫出P(B|A)和P(A|B)的值,再由條件概率公式進行驗證.3.[人教A版教材習題]袋子中有10個大小相同的小球,其中7個白球,3個黑球.每次從袋子中隨機摸出1個球,摸出的球不再放回.求:(1)在第1次摸到白球的條件下,第2次摸到白球的概率;(2)兩次都摸到白球的概率.重難探究·能力素養速提升探究點一利用定義計算條件概率【例1】

(1)已知甲在上班途中要經過兩個路口,在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5,兩個路口連續遇到紅燈的概率為0.3,則甲在第一個路口遇到紅燈的條件下,第二個路口遇到紅燈的概率為(

)A.0.6 B.0.7

C.0.8

D.0.9A解析

設事件A表示“甲在第一個路口遇到紅燈”,事件B表示“甲在第二個路口遇到紅燈”.由題意得P(AB)=0.3,P(A)=0.5,所以★(2)設某動物由出生算起活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4,現有一個20歲的這種動物,則它活到25歲的概率是(

)A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8B解析

設“動物活到20歲”的事件為A,“活到25歲”的事件為B,則P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(AB)=P(B),所以活到20歲的動物活到25歲的概率是規律方法

用定義法求條件概率P(B|A)的步驟分析題意,弄清概率模型,理清事件

↓計算P(A)和P(AB)

↓代入公式P(B|A)=即可變式訓練1甲、乙兩市都位于長江下游,根據一百多年來的氣象記錄,了解到一年中下雨天的比例甲市是20%,乙市是18%,兩地同時下雨是12%,設事件A表示“甲市下雨”,事件B表示“乙市下雨”,所以P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,則P(A|B)=

,P(B|A)=

.

探究點二利用縮小樣本空間法計算條件概率【例2】

已知集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個數,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數的條件下,求乙抽到的數比甲抽到的數大的概率.解

設甲抽到數字a,乙抽到數字b,記作(a,b),甲抽到奇數的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15個樣本點,在這15個樣本點中,乙抽到的數比甲抽到的數大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9個,所以所求概率變式探究將例2中的問題改為“乙抽到的數不小于甲抽到的數的概率”.解

因為甲不放回抽取,故甲乙抽到數不可能相等,所以所求概率仍為規律方法

利用縮小樣本空間法求條件概率的方法(1)縮:將原來的樣本空間Ω縮小為事件A,原來的事件B縮小為AB.(2)數:數出事件A中事件AB所包含的樣本點個數.(3)算:利用

求得結果.變式訓練2拋擲紅、藍兩顆骰子,設事件A為“藍色骰子的點數為3或6”,事件B為“兩顆骰子的點數之和大于8”.(1)求P(A),P(B),P(AB);(2)當已知藍色骰子的點數為3或6時,兩顆骰子的點數之和大于8的概率為多少?解

(1)設x為擲紅骰子得的點數,y為擲藍骰子得的點數,則所有可能的事件為(x,y),建立一一對應的關系,如圖,探究點三條件概率的綜合應用【例3】

在某次考試中,要從20道題中隨機抽出6道題,若考生至少能答對其中4道題即可通過,至少能答對其中5道題就獲得優秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道他在這次考試中已經通過,求他獲得優秀成績的概率.解

設事件A=“該考生6道題全答對”,事件B=“該考生答對了其中5道題,另1道答錯”,事件C=“該考生答對了其中4道題,另2道題答錯”,事件D=“該考生在這次考試中通過”,事件E=“該考生在這次考試中獲得優秀”,則事件A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知P(D)=P(A∪B∪C)規律方法

若事件B,C互斥,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即為了求比較復雜事件的概率,往往可以先把它分解成兩個或若干個互不相容的較簡單事件之和,求出這些簡單事件的概率,再利用加法公式即可求得復雜事件的概率.變式訓練3一批同型號產品由甲、乙兩廠生產,產品結構如下表:等級廠別總計甲廠乙廠合格品4756441119次品255681總計5007001200(1)從這批產品中隨意地取一件,則這件產品恰好是次品的概率是

;

(2)已知取出的產品是甲廠生產的,則這件產品恰好是次品的概率是

.

學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎練1.[探究點二]100件產品中有5件次品,不放回地抽取兩次,每次抽1件,已知第一次抽出的是次品,則第二次抽出正品的概率為(

)B12345678910111213141516172.[探究點一·2024江蘇豐縣月考]現有甲、乙兩所學校從萬華巖中小學生研學實踐基地、王仙嶺旅游風景區、雄鷹戶外基地三條線路中隨機選擇一條線路去研學,記事件A為“甲和乙至少有一所學校選擇王仙嶺旅游風景區”,事件B為“甲和乙選擇的研學線路不同”,則P(B|A)=(

)B123456789101112131415161712345678910111213141516173.[探究點一]某地區空氣質量監測資料表明,一天的空氣質量為優良的概率是0.75,連續兩天為優良的概率是0.6,已知某天的空氣質量為優良,則隨后一天的空氣質量為優良的概率是(

)A.0.8 B.0.75C.0.6 D.0.45A12345678910111213141516174.[探究點二]5個乒乓球,其中3個新的,2個舊的,每次取一個,不放回地取兩次,則在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為

.

12345678910111213141516175.[探究點三]一個盒子中有4個白球,m個紅球,從中不放回地每次任取1個,連取2次,已知在第二次取到紅球的條件下,第一次也取到紅球的概率為,則m=

.

6123456789101112131415161712345678910111213141516176.[探究點二]盒中有25個球,其中10個白的、5個黃的、10個黑的,從盒子中任意取出一個球,已知它不是黑球,則它是黃球的概率為

.

12345678910111213141516177.[探究點二]從1,2,…,15中,甲、乙依次任取一數(不放回),在已知甲取到的數是5的倍數的條件下,甲取的數大于乙取的數的概率是

.

12345678910111213141516178.[探究點三]某校從學生文藝部7名成員(4男3女)中,挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.(1)求男生甲被選中的概率;(2)在已知男生甲被選中的條件下,女生乙被選中的概率;(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617B級關鍵能力提升練9.已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡,這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著,現需要一只卡口燈泡,電工師傅每次從中任取一只并不放回,則在第一次抽到的是螺口燈泡的條件下,第二次抽到的是卡口燈泡的概率為(

)D123456789101112131415161710.書架上有三本數學書和兩本語文書,某同學一共取了兩次書,每次取一本,取后不放回,若“第一次從書架上取出一本語文書”記為事件A,“第二次從書架上取出一本數學書”記為事件B,那么在第一次取得語文書的條件下第二次取得數學書的概率P(B|A)的值是(

)C123456789101112131415161711.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數,事件A為“取到的2個數之和為偶數”,事件B為“取到的2個數均為偶數”,則P(B|A)等于(

)B123456789101112131415161712.(多選題)將3顆骰子各擲一次,記事件A表示“三個點數都不相同”,事件B表示“至少出現一個3點”,則(

)CD123456789101112131415161713.

假定生男孩和生女孩是等可能的,某家庭有兩個小孩,如果已經知道這個家庭有女孩,則這兩個小孩都是女孩的概率是

.

123456789101112131415161714.甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測試成績如下(單位:分).甲組:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙組:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74現從這20名學生中隨機抽取一人,將“抽出的學生為甲組學生”記為事件A;“抽出的學生的英語口語測試成績不低于85分”記為事件B,則P(AB)=

,P(A|B)=

.

123456789101112131415161715.盒內裝有16個大小、形狀完全相同的球,其中6個是玻璃球,10個是木質球.玻璃球中有2個是紅色的,4個是藍色的;木質球中有3個是紅色的,7個是藍色的.現從中任取1個,已知取到的是藍球,該球是玻璃球的概率是多少?1234567891011121314151617解

由題意得球的分布如表:顏色玻璃球木質球總計紅235藍4711總計61016123456789101112131415161716.一袋中共有10個大小相同的黑球和白球.若從袋中任意摸出2個球,至少有1個白球的概率為,(1)求