一曲線的參數方程1參數方程的概念2圓的參數方程[學習目標]1.理解曲線參數方程的有關概念.2.掌握圓的參數方程.3.能夠根據圓的參數方程解決最值問題.[知識鏈接]曲線的參數方程中，參數是否一定具有某種實際意義？在圓的參數方程中，參數θ有什么實際意義？提示聯系x，y的參數t(θ，φ，…)可以是一個有物理意義或幾何意義的變數，也可以是無實際意義的任意實數.圓的參數方程中，其中參數θ的幾何意義是OM0繞點O逆時針旋轉到OM的位置時，OM0轉過的角度.[預習導引]1.參數方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t）,y＝g（t）))①，并且對于t的每一個允許值，由方程組①所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數x，y之間關系的變數t叫做參變數，簡稱參數.相對于參數方程而言，直接給出的點的坐標間的關系的方程叫做普通方程.2.圓的參數方程(1)如圖所示，設圓O的半徑為r，點M從初始位置M0開始出發，按逆時針方向在圓O上作均速圓周運動，設M(x，y)，點M轉過的角度是θ，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r·cosθ，,y＝r·sinθ))(θ為參數)，這就是圓心在原點，半徑為r的圓的參數方程.(2)圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的普通方程與參數方程普通方程參數方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ,y＝b＋rsinθ))(θ為參數)要點一參數方程的概念例1已知曲線C的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2))(t為參數，a∈R)，點M(－3，4)在曲線C上.(1)求常數a的值；(2)判斷點P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲線C上？解(1)將M(－3，4)的坐標代入曲線C的參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝1＋2t，,4＝at2，))消去參數t，得a＝1.(2)由(1)可得，曲線C的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2，))把點P的坐標(1，0)代入方程組，解得t＝0，因此P在曲線C上，把點Q的坐標(3，－1)代入方程組，得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝1＋2t，,－1＝t2，))這個方程組無解，因此點Q不在曲線C上.規律方法點與曲線的位置關系滿足某種約束條件的動點的軌跡形成曲線，點與曲線的位置關系有兩種：點在曲線上、點不在曲線上.(1)對于曲線C的普通方程f(x，y)＝0，若點M(x1，y1)在曲線上，則點M(x1，y1)的坐標是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若點N(x2，y2)不在曲線上，則點N(x2，y2)的坐標不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.(2)對于曲線C的參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))(t為參數)，若點M(x1，y1)在曲線上，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝f（t），,y1＝g（t）))對應的參數t有解，否則參數t不存在.跟蹤演練1已知曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數，0≤θ＜2π).判斷點A(2，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))是否在曲線C上？若在曲線上，求出點對應的參數的值.解把點A(2，0)的坐標代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝3sinθ))，得cosθ＝1，且sinθ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此點A(2，0)在曲線C上，對應參數θ＝0，同理，把Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))代入參數方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(3)＝2cosθ，,\f(3,2)＝3sinθ.))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(\r(3),2)，,sinθ＝\f(1,2).))又0≤θ＜2π，∴θ＝eq\f(5,6)π，所以點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(3,2)))在曲線C上，對應θ＝eq\f(5,6)π.要點二圓的參數方程及其應用例2設曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝－1＋3sinθ))(θ為參數)，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為eq\f(7\r(10),10)的點的個數為()A.1B.2C.3 D.4解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋3cosθ，,y＝－1＋3sinθ.))得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲線C表示以(2，－1)為圓心，以3為半徑的圓，則圓心C(2，－1)到直線l的距離d＝eq\f(7,\r(10))＝eq\f(7\r(10),10)＜3，所以直線與圓相交.所以過圓心(2，－1)與l平行的直線與圓的2個交點滿足題意，又3－d＜eq\f(7\r(10),10)，故滿足題意的點有2個.答案B規律方法1.本題利用三角函數的平方關系，消去參數；數形結合，判定直線與圓的位置關系.2.參數方程表示怎樣的曲線，一般是通過消參，得到普通方程來判斷，特別要注意變量的取值范圍.跟蹤演練2已知實數x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.解由已知，可把點(x，y)視為圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上的點，設eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ為參數).則x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝11＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，∴11－6eq\r(2)≤x2＋y2≤11＋6eq\r(2).∴x2＋y2的最大值為11＋6eq\r(2)，最小值為11－6eq\r(2).要點三參數方程的實際應用例3某飛機進行投彈演習，已知飛機離地面高度為H＝2000m，水平飛行速度為v1＝100m/s，如圖所示.(1)求飛機投彈ts后炸彈的水平位移和離地面的高度；(2)如果飛機追擊一輛速度為v2＝20m/s同向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機應在距離汽車的水平距離多遠處投彈？(g＝10m/s2)解(1)如圖所示，建立平面直角坐標系，設炸彈投出機艙的時刻為0s，在時刻ts時其坐標為M(x，y)，由于炸彈作平拋運動，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－\f(1,2)gt2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－5t2，))令y＝2000－5t2＝0，得t＝20(s)，所以飛機投彈ts炸彈的水平位移為100tm，離地面的高度為(2000－5t2)m，其中，0≤t≤20.(2)由于炸彈水平分運動和汽車的運動均為勻速直線運動，以汽車參考系.水平方向S相對＝v相對t，所以飛機應距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1600(m).規律方法本題通過點的坐標的參數方程利用運動學知識使問題得解.由于水平拋出的炸彈做平拋運動，可以分解為在水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動，炸彈飛行的時間也就是它作自由落體運動所用的時間.跟蹤演練3如果本例條件不變，求：(1)炸彈投出機艙10s后這一時刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飛機迎擊一輛速度為v2＝20m/s相向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機應在距離汽車的水平距離多遠處投彈？解(1)將t＝10代入eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100t，,y＝2000－5t2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1000，,y＝1500，))所以炸彈投出機艙10s后這一時刻的水平位移和高度分別是1000m和1500m.(2)由于炸彈水平分運動和汽車的運動均為勻速直線運動，以汽車為參考系.水平方向s相對＝v相對t，所以飛機應距離汽車投彈的水平距離為s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2400(m).1.曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上點的橫、縱坐標之間的聯系，而參數方程是通過參數反映坐標變量x、y間的間接聯系.在具體問題中的參數可能有相應的幾何意義，也可能沒有什么明顯的幾何意義.曲線的參數方程常常是方程組的形式，任意給定一個參數的允許取值就可得到曲線上的一個對應點，反過來，對于曲線上的任一點也必然對應著參數相應的允許取值.2.求曲線參數方程的主要步驟第一步，畫出軌跡草圖，設M(x，y)是軌跡上任意一點的坐標.畫圖時要注意根據幾何條件選擇點的位置，以利于發現變量之間的關系.第二步，選擇適當的參數.參數的選擇要考慮以下兩點：一是曲線上每一點的坐標x，y與參數的關系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數唯一確定.第三步，根據已知條件、圖形的幾何性質、問題的物理意義等，建立點的坐標與參數的函數關系式，證明可以省略.1.下列方程：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝m))(m為參數)；(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝n))(m，n為參數)；(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2；))(4)x＋y＝0中，參數方程的個數為()A.1 B.2C.3 D.4解析由參數方程的概念知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m,y＝m))是參數方程，故選A.答案A2.當參數θ變化時，由點P(2cosθ，3sinθ)所確定的曲線過點()A.(2，3) B.(1，5)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D.(2，0)解析當2cosθ＝2，即cosθ＝1，3sinθ＝0.∴過點(2，0).答案D3.參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝2))(t為參數)表示的曲線是()A.兩條直線 B.一條射線C.兩條射線 D.雙曲線解析當t＞0時eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥2，,y＝2，))是一條射線；當t＜0時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－2，,y＝2，))也是一條射線，故選C.答案C4.已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1,y＝t2))(t為參數)，若y＝1，則x＝________.解析當y＝1時，t2＝1，∴t＝±1，當t＝1時，x＝2；當t＝－1時，x＝0.∴x的值為2或0.答案2或05.已知直線y＝x與曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα，))(α為參數)相交于兩點A和B，求弦長|AB|.解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝2cosα，,y－2＝2sinα.))∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圓心為(1，2)，半徑r＝2，則圓心(1，2)到直線y＝x的距離d＝eq\f(|1－2|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(14).一、基礎達標1.已知O為原點，參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數)上的任意一點為A，則|OA|＝()A.1 B.2C.3 D.4解析|OA|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1，故選A.答案A2.已知曲線C的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數)，曲線C不經過第二象限，則實數a的取值范圍是()A.a≥2 B.a＞3C.a≥1 D.a＜0解析∵曲線C的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數)，∴化為普通方程為(x－a)2＋y2＝4，表示圓心為(a，0)，半徑等于2的圓.∵曲線C不經過第二象限，則實數a滿足a≥2，故選A.答案A3.圓心在點(－1，2)，半徑為5的圓的參數方程為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5－cosθ，,y＝5＋2sinθ))(0≤θ＜2π)B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋5cosθ，,y＝－1＋5sinθ))(0≤θ＜2π)C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜π)D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜2π)解析圓心在點C(a，b)，半徑為r的圓的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ，))(θ∈[0，2π)).故圓心在點(－1，2)，半徑為5的圓的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋5cosθ，,y＝2＋5sinθ))(0≤θ＜2π).答案D4.將參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ為參數)化為普通方程為()A.y＝x－2 B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)解析將參數方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3].答案C5.若點(－3，－3eq\r(3))在參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，,y＝6sinθ))(θ為參數)的曲線上，則θ＝________.解析將點(－3，－3eq\r(3))的坐標代入參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6cosθ，,y＝6sinθ))(θ為參數)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(1,2)，,sinθ＝－\f(\r(3),2)，))解得θ＝eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z.答案eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z6.已知圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ＝1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為________.解析由圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα.))可求得其在直角坐標系下的方程為x2＋(y－1)2＝1，由直線l的極坐標方程ρsinθ＝1可求得其在直角坐標系下的方程為y＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1，,x2＋（y－1）2＝1))可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝±1，,y＝1.))所以直線l與圓C的交點的直角坐標為(－1，1)，(1，1).答案(－1，1)，(1，1)7.已知曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ))(θ為參數)，如果曲線C與直線x＋y＋a＝0有公共點，求實數a的取值范圍.解∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ，))∴x2＋(y＋1)2＝1.∵圓與直線有公共點，則d＝eq\f(|0－1＋a|,\r(2))≤1，解得1－eq\r(2)≤a≤1＋eq\r(2).二、能力提升8.若P(2，－1)為圓O′：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋5cosθ，,y＝5sinθ))(0≤θ＜2π)的弦的中點，則該弦所在直線l的方程是()A.x－y－3＝0 B.x＋2y＝0C.x＋y－1＝0 D.2x－y－5＝0解析∵圓心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.∴直線l方程為x－y－3＝0.答案A9.如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數，則圓x2＋y2－x＝0的參數方程為________.解析將x2＋y2－x＝0配方，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)，∵圓的直徑為1.設P(x，y)，則x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，∴圓x2＋y2－x＝0的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數).答案eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數)10.曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝sint＋1))(t為參數)與圓x2＋y2＝4的交點坐標為________.解析∵sint∈[－1，1]，∴y∈[0，2].∵方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝sint＋1))表示的曲線是線段x＝1(0≤y≤2).令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，∵0≤y≤2，∴y＝eq\r(3).答案(1，eq\r(3))11.設點M(x，y)在圓x2＋y2＝1上移動，求點P(x＋y，xy)的軌跡.解設點M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，點P(x′，y′).則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝cosθ＋sinθ，①,y′＝cosθsinθ，②))①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y′＋\f(1,2))).∴所求點P的軌跡為拋物線x2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))的一部分eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\r(2)，|y|≤\f(1,2))).12.已知點M(x，y)是圓x2＋y2＋2x＝0上的動點，若4x＋3y－a≤0恒成立，求實數a的取值范圍.解由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又點M在圓上，∴x＝－1＋cosθ，且y＝sinθ(θ為參數)，因此4x＋3y＝4(－1＋cosθ)＋3sinθ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tanφ＝eq\f(4,3)確定)∴4x＋3y的最大值為1.若4x＋3y－a≤0恒成立，則a≥(4x＋3y)max，故實數a的取值范圍是[1，＋∞).三、探究與創新13.已知圓系方程為x2＋y2－2axcosφ－2aysinφ＝0(a＞0，且為已知常數，φ為參數)(1)求圓心的軌跡方程；(2)證明圓心軌跡與動圓相交所得的公共弦長為定值.(1)解由已知圓的標準方程為：(x－acosφ)2＋(y－asinφ2)＝a2(a＞0).設圓心坐標為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝asinφ))(φ為參數)，消參數得圓心的軌跡方程為x2＋y2＝a2.(2)證明由方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2axcosφ－2aysinφ＝0,x2＋y2＝a2))得公共弦的方程：2axcosφ＋2aysinφ＝a2，即xcosφ＋ysinφ－eq\f(a,2)＝0，圓x2＋y2＝a2的圓心到公共弦的距離d＝eq\f(a,2)為定值.∴弦長l＝2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)a(定值).3參數方程和普通方程的互化[學習目標]1.了解參數方程化為普通方程的意義.2.掌握參數方程化為普通方程的基本方法.3.能夠利用參數方程化為普通方程解決有關問題.[知識鏈接]普通方程化為參數方程，參數方程的形式是否唯一？提示不一定唯一.普通方程化為參數方程，關鍵在于適當選擇參數，如果選擇的參數不同，那么所得的參數方程的形式也不同.[預習導引]參數方程與普通方程的互化(1)曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過消去參數而從參數方程得到普通方程.(2)如果知道變數x，y中的一個與參數t的關系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數與參數的關系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))就是曲線的參數方程.在參數方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致.要點一把參數方程化為普通方程例1在方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ,y＝b＋tsinθ，))(a，b為正常數)中，(1)當t為參數，θ為常數時，方程表示何種曲線？(2)當t為常數，θ為參數時，方程表示何種曲線？解方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ，①,y＝b＋tsinθ，②))(a，b是正常數)，(1)①×sinθ－②×cosθ得xsinθ－ycosθ－asinθ＋bcosθ＝0.∵cosθ、sinθ不同時為零，∴方程表示一條直線.(2)(i)當t為非零常數時，原方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－a,t)＝cosθ，③,\f(y－b,t)＝sinθ.④))③2＋④2得eq\f(（x－a）2,t2)＋eq\f(（y－b）2,t2)＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一個圓.(ii)當t＝0時，表示點(a，b).規律方法1.消去參數的常用方法：將參數方程化為普通方程，關鍵是消去參數，如果參數方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法.如果參數方程是分式方程，在運用代入消元或加減消元之前要做必要的變形.另外，熟悉一些常見的恒等式至關重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k2,1＋k2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,1＋k2)))eq\s\up12(2)＝1等.2.把參數方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數，并且要注意參數的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響.本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數的不同，可表示不同的曲線.跟蹤演練1參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數)化成普通方程為________.解析∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα，))cos2α＋sin2α＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.答案x2＋(y－1)2＝1要點二把普通方程化成參數方程例2求方程4x2＋y2＝16的參數方程：(1)設y＝4sinθ，θ為參數；(2)若令y＝t(t為參數)，如何求曲線的參數方程？若令x＝2t(t為參數)，如何求曲線的參數方程？解(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cosθ.∴4x2＋y2＝16的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數)(2)將y＝t代入橢圓方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，則x2＝eq\f(16－t2,4).∴x＝±eq\f(\r(16－t2),2).因此，橢圓4x2＋y2＝16的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(16－t2),2),y＝t))，和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(16－t2),2)，,y＝t))(t為參數).同理將x＝2t代入橢圓4x2＋y2＝16，得橢圓的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝4\r(1－t2)))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝－4\r(1－t2)))(t為參數).規律方法1.將圓的普通方程化為參數方程(1)圓x2＋y2＝r2的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ為參數)；(2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ為參數).2.普通方程化為參數方程關鍵是引入參數(例如x＝f(t)，再計算y＝g(t))，并且要保證等價性.若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過x＝f(t)，y＝g(t)，調整t的取值范圍，使得在普通方程轉化為參數方程的過程中，x，y的取值范圍保持一致.跟蹤演練2設y＝tx(t為參數)，則圓x2＋y2－4y＝0的參數方程是________.解析把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝eq\f(4t,1＋t2)，y＝eq\f(4t2,1＋t2)，∴參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，,y＝\f(4t2,1＋t2).))(t為參數).答案eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，,y＝\f(4t2,1＋t2).))(t為參數)要點三參數方程的應用例3已知x、y滿足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值.解由圓的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圓的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ.))(θ∈[0，2π)).(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝eq\f(3,4)，且φ的終邊過點(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1.(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ).其中tanφ＝－eq\f(3,4).且φ的終邊過點(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值為36，最小值為16.規律方法1.運用參數思想解題的關鍵在于參數的選擇.選擇參數時，應注意所選擇的參數易于與兩個坐標產生聯系.由于三角函數的巨大作用，常選擇角為參數，若軌跡與運動有關，常選擇時間為參數.2.解決與圓有關的最大值和最小值問題，常常設圓的參數方程，然后轉化為求三角函數的最大值和最小值問題.3.注意運用三角恒等式求最值：asinθ＋bcosθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)，且φ的終邊過點(a，b).跟蹤演練3如圖，已知點P是圓x2＋y2＝16上的一個動點，定點A(12，0)，當點P在圓上運動時，利用參數方程求線段PA的中點M的軌跡.解因為圓x2＋y2＝16的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數)，所以可設點P(4cosθ，4sinθ)，設點M(x，y)，由線段中點坐標公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4cosθ＋12,2)，,y＝\f(4sinθ,2)))(θ為參數)，即點M的軌跡的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋6，,y＝2sinθ))(θ為參數)，所以點M的軌跡是以點(6，0)為圓心、2為半徑的圓.1.參數方程和普通方程的互化參數方程化為普通方程，可通過代入消元法和三角恒等式消參法消去參數方程中的參數，通過曲線的普通方程來判斷曲線的類型.由普通方程化為參數方程要選定恰當的參數，尋求曲線上任一點M的坐標x，y和參數的關系，根據實際問題的要求，我們可以選擇時間、角度、線段長度、直線的斜率、截距等作為參數.2.同一道題參數的選擇往往不是唯一的，適當地選擇參數，可以簡化解題的過程，降低計算量，提高準確率.求軌跡方程與求軌跡有所不同，求軌跡方程只需求出方程即可，而求軌跡往往是先求出軌跡方程，然后根據軌跡方程指明軌跡是什么圖形.3.參數方程與普通方程的等價性把參數方程化為普通方程后，很容易改變了變量的取值范圍，從而使得兩種方程所表示的曲線不一致，因此我們要注意參數方程與普通方程的等價性.1.與普通方程x2＋y－1＝0等價的參數方程為(t為參數)()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝cos2t)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cost,y＝sin2t))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1－t),y＝t)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tant,y＝1－tan2t))解析A化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].B化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].C化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1].D化為普通方程為x2＋y－1＝0，x∈R，y∈R.答案D2.將參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t2＋\f(1,t2)))(t為參數)化為普通方程為________.解析由x＝t＋eq\f(1,t)得x2＝t2＋eq\f(1,t2)＋2，又y＝t2＋eq\f(1,t2)，∴x2＝y＋2.∵t2＋eq\f(1,t2)≥2，∴y≥2.答案x2－y＝2(y≥2)3.參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝sinθ＋cosθ))(θ為參數)表示的曲線的普通方程是________.解析y2＝(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝1＋x，又x＝sin2θ∈[－1，1]，∴曲線的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1).答案y2＝x＋1(－1≤x≤1)4.已知某條曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝at2))(其中t是參數，a∈R)，點M(5，4)在該曲線上.(1)求常數a；(2)求曲線C的普通方程.解(1)由題意，可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2t＝5，,at2＝4，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝2，,a＝1，))所以a＝1.(2)由已知及(1)可得，曲線C的方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2，))由第一個方程，得t＝eq\f(x－1,2)，代入第二個方程，得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)))eq\s\up12(2)，即(x－1)2＝4y為所求.一、基礎達標1.曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝|sinθ|，,y＝cosθ))(θ為參數)的方程等價于()A.x＝eq\r(1－y2) B.y＝eq\r(1－x2)C.y＝±eq\r(1－x2) D.x2＋y2＝1解析由x＝|sinθ|得0≤x≤1；由y＝cosθ得－1≤y≤1.故選A.答案A2.已知直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝－2－t))(t為參數)與圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋1，,y＝2sinθ))(θ為參數)，則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標分別是()A.eq\f(π,4)，(1，0) B.eq\f(π,4)，(－1，0)C.eq\f(3π,4)，(1，0) D.eq\f(3π,4)，(－1，0)解析直線消去參數得直線方程為y＝－x，所以斜率k＝－1即傾斜角為eq\f(3π,4).圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4，圓心坐標為(1，0).答案C3.參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(2t,1＋t2)))(t為參數)化為普通方程為()A.x2＋y2＝1B.x2＋y2＝1去掉(0，1)點C.x2＋y2＝1去掉(1，0)點D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)點解析x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)))eq\s\up12(2)＝1，又∵x＝－1時，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉點(－1，0).答案D4.若x，y滿足x2＋y2＝1，則x＋eq\r(3)y的最大值為()A.1 B.2C.3 D.4解析由于圓x2＋y2＝1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ，))(θ為參數)，則x＋eq\r(3)y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，故x＋eq\r(3)y的最大值為2.故選B.答案B5.在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.若極坐標方程為ρcosθ＝4的直線與曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t為參數)相交于A，B兩點，則|AB|＝________.解析由ρcosθ＝4，知x＝4.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3，))∴x3＝y2(x≥0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,x3＝y2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－8.))∴|AB|＝eq\r(（4－4）2＋（8＋8）2)＝16.答案166.在極坐標系中，圓C1的方程為ρ＝4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面坐標系，圓C2的參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋acosθ，,y＝－1＋asinθ))(θ為參數)，若圓C1與C2相切，則實數a＝________.解析圓C1的直角坐標方程為x2＋y2＝4x＋4y，其標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8，圓心為(2，2)，半徑長為2eq\r(2)，圓C2的圓心坐標為(－1，－1)，半徑長為|a|，由于圓C1與圓C2外切，則|C1C2|＝2eq\r(2)＋|a|＝3eq\r(2)或|C1C2|＝|a|－2eq\r(2)＝3eq\r(2)?a＝±eq\r(2)或a＝±5eq\r(2).答案±eq\r(2)或±5eq\r(2)7.已知曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)－\f(1,\r(t))，,y＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，))(t為參數，t＞0).求曲線C的普通方程.解由x＝eq\r(t)－eq\f(1,\r(t))兩邊平方得x2＝t＋eq\f(1,t)－2，又y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，則t＋eq\f(1,t)＝eq\f(y,3)(y≥6).代入x2＝t＋eq\f(1,t)－2，得x2＝eq\f(y,3)－2.∴3x2－y＋6＝0(y≥6).故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6).二、能力提升8.已知在平面直角坐標系xOy中圓C的參數方程為：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ為參數)，以Ox為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝0，則圓C截直線所得弦長為()A.eq\r(2) B.2eq\r(2)C.3eq\r(2) D.4eq\r(2)解析圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ,y＝1＋3sinθ))的圓心為(eq\r(3)，1)，半徑為3，直線普通方程為ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,6)－sinθsin\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(1,2)y＝0，即eq\r(3)x－y＝0，圓心C(eq\r(3)，1)到直線eq\r(3)x－y＝0的距離為d＝eq\f(|（\r(3)）2－1|,\r(3＋1))＝1，所以圓C截直線所得弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－12)＝4eq\r(2).答案D9.過原點作傾斜角為θ的直線與圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosα，,y＝2sinα))相切，則θ＝________.解析直線為y＝xtanθ，圓為(x－4)2＋y2＝4，直線與圓相切時，易知tanθ＝±eq\f(\r(3),3)，∴θ＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).答案eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)10.在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝1－2t))(t為參數)與曲線C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asinθ,y＝3cosθ))(θ為參數，a＞0)有一個公共點在x軸上，則a＝________.解析曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，曲線C2的普通方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1，直線2x＋y＝3與x軸的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，故曲線eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1也經過這個點，代入解得a＝eq\f(3,2)(舍去－eq\f(3,2)).答案eq\f(3,2)11.在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系.已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))，圓C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝－\r(3)＋2sinθ))(θ為參數).(1)設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；(2)判斷直線l與圓C的位置關系.解(1)由題意知，M，N的平面直角坐標分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))).又P為線段MN的中點，從而點P的平面直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，故直線OP的平面直角坐標方程為y＝eq\f(\r(3),3)x.(2)因為直線l上兩點M，N的平面直角坐標分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，所以直線l的平面直角坐標方程為x＋eq\r(3)y－2＝0.又圓C的圓心坐標為(2，－eq\r(3))，半徑為r＝2，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2－3－2|,2)＝eq\f(3,2)＜r，故直線l與圓C相交.12.已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數)，曲線C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數).(1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數；(2)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C′1，C′2.寫出C′1，C′2的參數方程.C′1與C′2公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同？說明你的理由.解(1)C1是圓，C2是直線.C1的普通方程為x2＋y2＝1，圓心C1(0，0)，半徑r＝1.C2的普通方程為x－y＋eq\r(2)＝0.因為圓心C1到直線x－y＋eq\r(2)＝0的距離為1，所以C2與C1只有一個公共點.(2)壓縮后的參數方程分別為C′1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝\f(1,2)sinθ))(θ為參數)，C′2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),4)t))(t為參數)，化為普通方程為C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(2),2)，聯立消元得2x2＋2eq\r(2)x＋1＝0，其判別式Δ＝(2eq\r(2))2－4×2×1＝0，所以壓縮后的直線C′2與橢圓C′1仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點的個數相同.三、探究與創新13.已知曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0，0≤θ＜2π).解(1)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint))消去參數t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，∴C1的極坐標方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0；(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))∴C1與C2的交點的極坐標分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).二圓錐曲線的參數方程[學習目標]1.掌握橢圓的參數方程及應用.2.了解雙曲線、拋物線的參數方程.3.能夠利用圓錐曲線的參數方程解決最值、有關點的軌跡問題.[知識鏈接]1.橢圓的參數方程中，參數φ是OM的旋轉角嗎？提示橢圓的參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數)中的參數φ不是動點M(x，y)的旋轉角，它是點M所對應的圓的半徑OA(或OB)的旋轉角，稱為離心角，不是OM的旋轉角.2.雙曲線的參數方程中，參數φ的三角函數secφ的意義是什么？提示secφ＝eq\f(1,cosφ)，其中φ∈[0，2π)且φ≠eq\f(π,2)，φ≠eq\f(3,2)π.3.類比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的參數方程嗎？提示eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt，,y＝2pt2))(p＞0，t為參數，t∈R.)[預習導引]1.橢圓的參數方程普通方程參數方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ,y＝bsinφ))(φ為參數)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝bcosφ,y＝asinφ))(φ為參數)2.雙曲線的參數方程普通方程參數方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ))(φ為參數)3.拋物線的參數方程(1)拋物線y2＝2px的參數方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t∈R，t為參數).(2)參數t表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數.

要點一橢圓參數方程的應用例1已知A、B分別是橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的右頂點和上頂點，動點C在該橢圓上運動，求△ABC重心G的軌跡的普通方程.解由題意知A(6，0)，B(0，3).由于動點C在橢圓上運動，故可設動點C的坐標為(6cosθ，3sinθ)，點G的坐標為(x，y)，由三角形重心的坐標公式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6＋0＋6cosθ,3)，,y＝\f(0＋3＋3sinθ,3)))(θ為參數)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝1＋sinθ.))故重心G的軌跡的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數).規律方法本題的解法體現了橢圓的參數方程對于解決相關問題的優越性.運用參數方程顯得很簡單，運算更簡便.跟蹤演練1已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數)，曲線C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.(1)化C1為普通方程，C2為參數方程；并說明它們分別表示什么曲線？(2)若C1上的點P對應的參數為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：x－2y－7＝0距離的最小值.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cost＝x＋4，,sint＝y－3.))∴曲線C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓.曲線C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1表示中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.其參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ，))(θ為參數)(2)依題設，當t＝eq\f(π,2)時，P(－4，4)；且Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ)).又C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)|5cos(θ＋φ)－13|，從而當cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中φ由sinφ＝\f(3,5)，cosφ＝\f(4,5)確定))，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值eq\f(8\r(5),5).要點二雙曲線參數方程的應用例2求證：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個定值.證明由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得兩條漸近線的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，設雙曲線上任一點的坐標為(asecφ，btanφ)，它到兩漸近線的距離分別是d1和d2，則d1·d2＝eq\f(|absecφ＋abtanφ|,\r(b2＋a2))·eq\f(|absecφ－abtanφ|,\r(b2＋（－a）2))＝eq\f(|a2b2（sec2φ－tan2φ）|,a2＋b2)＝eq\f(a2b2,a2＋b2)(定值).規律方法在研究有關圓錐曲線的最值和定值問題時，使用曲線的參數方程非常簡捷方便，其中點到直線的距離公式對參數形式的點的坐標仍適用，另外本題要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的應用.跟蹤演練2如圖，設P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點，F1、F2是兩個焦點，證明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.證明設P(secφ，tanφ)，∵F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，∴|PF1|＝eq\r(（secφ＋\r(2)）2＋tan2φ)＝eq\r(2sec2φ＋2\r(2)secφ＋1)，|PF2|＝eq\r(（secφ－\r(2)）2＋tan2φ)＝eq\r(2sec2φ－2\r(2)secφ＋1)，|PF1|·|PF2|＝eq\r(（2sec2φ＋1）2－8sec2φ)＝2sec2φ－1.∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.要點三拋物線參數方程的應用例3設拋物線y2＝2px的準線為l，焦點為F，頂點為O，P為拋物線上任一點，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點M的軌跡方程.解設P點的坐標為(2pt2，2pt)(t為參數)，當t≠0時，直線OP的方程為y＝eq\f(1,t)x，QF的方程為y＝－2teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，它們的交點M(x，y)由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,t)x,y＝－2t\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))))確定，兩式相乘，消去t，得y2＝－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，∴點M的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0(x≠0).當t＝0時，M(0，0)滿足題意，且適合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0.規律方法1.拋物線y2＝2px(p＞0)的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數)，參數t為任意實數，它表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數.2.用參數法求動點的軌跡方程，其基本思想是選取適當的參數作為中間變量，使動點的坐標分別與參數有關，從而得到動點的參數方程，然后再消去參數，化為普通方程.跟蹤演練3已知拋物線的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數)，其中p＞0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E，若|EF|＝|MF|，點M的橫坐標是3，則p＝________.解析根據拋物線的參數方程可知拋物線的標準方程是y2＝2px，所以yeq\o\al(2,M)＝6p，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，±\r(6p)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以eq\f(p,2)＋3＝eq\r(p2＋6p)，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(負值舍去).答案21.圓的參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))中的參數θ是半徑OM的旋轉角，橢圓參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))中的參數φ是橢圓上點M的離心角.2.橢圓eq\f(（x－m）2,a2)＋eq\f(（y－n）2,b2)＝1(a＞b＞0)的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋acosφ，,y＝n＋bsinφ))(φ為參數).3.雙曲線的參數方程中，參數φ的三角函數cotφ、secφ、cscφ的意義分別為cotφ＝eq\f(1,tanφ)，secφ＝eq\f(1,cosφ)，cscφ＝eq\f(1,sinφ).4.拋物線y2＝2px的參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數)，由于eq\f(y,x)＝eq\f(1,t)，因此t的幾何意義是拋物線的點(除頂點外)與拋物線的頂點連線的斜率的倒數.5.利用圓錐曲線的參數方程，可以方便求解一些需要曲線上點的兩個坐標獨立表示的問題，如求最大值、最小值問題、軌跡問題等.1.參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝et＋e－t，,y＝2（et－e－t）))(t為參數)的普通方程是()A.拋物線 B.一條直線C.橢圓 D.雙曲線解析由參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝2et＋2e－t，,y＝2（et－e－t）))平方相減可得4x2－y2＝16，即eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1，故答案為D.答案D2.橢圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cosφ，,y＝3sinφ))(φ為參數)的焦點坐標為()A.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)解析利用平方關系化為普通方程：eq\f(（x－4）2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.∴焦點(0，0)，(8，0).答案D3.參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)，,y＝\r(2＋sinα)))(α為參數)表示的普通方程是________.解析因x2＝1＋sinα，y2＝2＋sinα，所以y2－x2＝1，又因x＝sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,4)))，所以答案為y2－x2＝1(|x|≤eq\r(2)且y≥1).答案y2－x2＝1(|x|≤eq\r(2)且y≥1)4.點P(1，0)到曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(參數t∈R)上的點的最短距離為()A.0 B.1C.eq\r(2) D.2解析d2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.∵t∈R，∴deq\o\al(2,min)＝1，∴dmin＝1.答案B5.已知點P是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一點，求點P到直線l：x＋2y＝0的距離的最大值.解因為P為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一點，故可設P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈[0，2π).又直線l：x＋2y＝0.因此點P到直線l的距離d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))),\r(5)).又θ∈[0，2π)，∴dmax＝eq\f(2\r(2),\r(5))＝eq\f(2\r(10),5)，即點P到直線e：x＋2y＝0的距離的最大值為eq\f(2\r(10),5).一、基礎達標1.參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數)化為普通方程為()A.x2＋eq\f(y2,4)＝1 B.x2＋eq\f(y2,2)＝1C.y2＋eq\f(x2,4)＝1 D.y2＋eq\f(x2,4)＝1解析易知cosθ＝x，sinθ＝eq\f(y,2)，∴x2＋eq\f(y2,4)＝1，故選A.答案A2.方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xcosθ＝a，,y＝bcosθ))(θ為參數，ab≠0)表示的曲線是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一部分解析由xcosθ＝a，∴cosθ＝eq\f(a,x)，代入y＝bcosθ，得xy＝ab，又由y＝bcosθ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲線應為雙曲線的一部分.答案D3.若點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4t2，,y＝4t))(t為參數)上，則|PF|等于()A.2 B.3C.4 D.5解析拋物線為y2＝4x，準線為x＝－1，|PF|為P(3，m)到準線x＝－1的距離，即為4.答案C4.當θ取一切實數時，連接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)兩點的線段的中點的軌跡是()A.圓 B.橢圓C.直線 D.線段解析設中點M(x，y)，由中點坐標公式，得x＝2sinθ－2cosθ，y＝3cosθ＋3sinθ，即eq\f(x,2)＝sinθ－cosθ，eq\f(y,3)＝sinθ＋cosθ，兩式平方相加，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝2，是橢圓.答案B5.實數x，y滿足3x2＋4y2＝12，則2x＋eq\r(3)y的最大值是________.解析因為實數x，y滿足3x2＋4y2＝12，所以設x＝2cosα，y＝eq\r(3)sinα，則2x＋eq\r(3)y＝4cosα＋3sinα＝5sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq\f(4,5)，cosφ＝eq\f(3,5).當sin(α＋φ)＝1時，2x＋eq\r(3)y有最大值為5.答案56.拋物線y＝x2－eq\f(2x,t)的頂點軌跡的普通方程為________.解析拋物線方程可化為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,t2)，∴其頂點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)，－\f(1,t2)))，記M(x，y)為所求軌跡上任意一點，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,t)，,y＝－\f(1,t2)，))消去t得y＝－x2(x≠0).答案y＝－x2(x≠0)7.如圖所示，連接原點O和拋物線y＝eq\f(1,2)x2上的動點M，延長OM到點P，使|OM|＝|MP|，求P點的軌跡方程，并說明是什么曲線？解拋物線標準方程為x2＝2y，其參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝2t2.))得M(2t，2t2).設P(x，y)，則M是OP中點.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t＝\f(x＋0,2)，,2t2＝\f(y＋0,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4t,y＝4t2))(t為參數)，消去t得y＝eq\f(1,4)x2，是以y軸為對稱軸，焦點為(0，1)的拋物線.二、能力提升8.若曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ－1))(θ為參數)與直線x＝m相交于不同兩點，則m的取值范圍是()A.R B.(0，＋∞)C.(0，1) D.[0，1)解析將曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ，,y＝cosθ－1))化為普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1).它是拋物線的一部分，如圖所示，由數形結合知0≤m＜1.答案D9.圓錐曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(t為參數)的焦點坐標是________.解析將參數方程化為普通方程為y2＝4x，表示開口向右，焦點在x軸正半軸上的拋物線，由2p＝4?p＝2，則焦點坐標為(1，0).答案(1，0)10.設曲線C的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))(t為參數)，若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________.解析eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))化為普通方程為y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以化為極坐標方程為ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.答案ρcos2θ－sinθ＝011.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα，))(α為參數)，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.解(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設點P的直角坐標為(eq\r(3)cosα，sinα).因為C2是直線，所