遼寧省大連市部分學校2024屆高三下學期聯合模擬考試

數學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設集合A={。，L2},5={3,〃?},若A5={2},則()

A,[0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

K答案XA

K解析X因為集合人={0,1,2},5={3,772},若AB={2},則機=2,

即集合§={2,3},所以4。6={0,1,2,3}.

故選：A.

2.已知復數z=(2+i)(l-i),則|z|=()

A.V2B.2C.y/5D.710

K答案工D

K解析Hz=(2+i)(l-i)=2-2i+i-i2=3-i,

故目=心+㈠？=麗

故選：D.

3.某質點的位移y(cm)與運動時間x(s)的關系式為y=sin(0x+彷(0>0,°w(-71,初，

其圖象如圖所示，圖象與y軸交點坐標為0,-F,與直線y的相鄰三個交點的橫

3

C.質點在LQS內的位移圖象為單調遞減

r-J

D.質點在0,黃s內走過的路程為(3-小卜111

k答案』C

5jrJT2冗9JT

［解析》由已知函數圖象得，函數的周期T=------=——，所以。=——=3,故A錯

663T

誤；

令丁=/(X)，所以/(x)=sin(3x+。)，又f⑼=一專,所以sin。=-且，

因為0G(-兀，兀)，所以°=一^或一一-.

33

又=所以sin(g+°l=cose=!,所以。=一：.故B錯誤；

ko/2\2)23

717兀

由已知得了(X)圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線X=片+回=571,

X-—2--18

7兀5兀

+117r

r_18T_，

218

且/(%)在工*內單調遞減,因為「,

1o1oJZJ|_lo1o_

3

所以/(%)在1,-上單調遞減，故C正確；

由圖象得該質點在0,——s內的路程為1--+彳=E^cm,故D錯誤.

1o12)22

故選：C.

4.已知圓C：(X-2)2+(J-2)2=4,直線/：(m+2)x-777j-4=0,若/與圓C交于

A,2兩點，設坐標原點為。，貝11。川+2|08|的最大值為()

A.4有B.65>C.4^/15D.2A/30

K答案』D

(解析工圓c：(x—2)2+(y—2)2=4的圓心為。(2,2),半徑為2,|。。|=2立

直線/的方程可化為鞏%—y)+2光—4=0,于是/過定點(2,2),且|AB|=4,

顯然20c=OA+OB,即40c*=+OB’+2OAOB

^AB=OA+OB-2OAOB^因止匕I+1OB/=；(4|+|A3，)=24,

設|OA|=2Ccos。，|03|=2Csin。，顯然|OA|,|08|e(2應—2,20+2),

貝“。4|+2|O3|=2asin(e+0)<2同，其中tan°=L,當。+夕=工時等號成立,

22

止匕時tan9=2,

|。川=2辰上=粵

(20—2,2拒+2),符合條件,

所以|。4|+2|08|的最大值為2回.

故選：D.

5.已知函數/(x)=e2ax—31nx,若/(x)>d—2ax恒成立，則實數。的取值范圍為

()

3/3、

A.(0,—)B.(—,+<?)

2e2e

3

C.(0,-)D.(一,+8)

ee

(答案》B

K解析U/(x)>X，—2ax等價于+2依>三+31nx=e3“*+31nx，

令g(x)=e*+x,貝!|g'(x)=e*+l〉0,所以g(無)是增函數，

所以e??+2ar>em*+31nx等價于gQax)>g(31nx),

所以2ar>31nx(x>0),所以2a>到絲，

X

令。(X)=也，則磯x)=3-31nx,

XX

所以在(0,e)上，〃(x)>0,人(力單調遞增，在(e,+s)上，h'(x)<0,/z(x)單調遞減,

o33

所以/%)皿=〃卜)=三，故2。〉一，所以實數a的取值范圍為(一,+3).

ee2e

故選：B.

6.已知雙曲線C：上——L=1(〃?〉O)的實軸長等于虛軸長的2倍，則C的漸近線方程

3m+2m

y=±—x

2

C.y=±2xy=±y/2x

K答案』c

K解析U由題意得加+2=2，嬴，解得加=2,

22

C:匕-土=1,故漸近線方程為丁=±2葭

82

故選：C.

7.已知a,b,ce(l,4w),—=--,-=----,一=-----,則下列大小關系正確的是

aInlObInllclnl2

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>c>aD.c>a>b

K答案』B

K解析』設/(x)=xlnx(x>l),g(x)=(18-x)lnx(x>10),

l,d8ln〃7In/76Inc

因為一二----，—=-----，—=-----，

aInlObInllclnl2

所以alna=81nl0,Z?lnZ?=71nll,clnc=61nl2

即/(a)=g(10),/0)=g(n),/(c)=g(12),

,、，、，、,,1s

g'(x)=(18-x)lnx+(z18-x)(lnx)=-ln%+---1,

JV

顯然g'(%)在［10,+8)上單調遞減，

gr(x)<g'(10)<0,所以g⑴在［10,+8)上單調遞減，

所以g。。)>g(ll)>g(12),即/(a)>/伍)>/(c),

又/'(x)=lnx+l,當％>1時，/(力>0,所以〃尤)在(1,+。)上單調遞增,

所以a>b>c,故選：B.

8.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=BD=DC=2,NA=45°.現將△BCD沿

起，使二面角C-5￡>-A大小為120。，則折起后得到的三棱錐C-A5D外接球的表面積

為()

B

A.IO71B.15TI

c.2071D.206兀

［答案》C

k解析》如圖所示，過點。作OE//AB,過點A作AE//8D,兩直線相交于點E,

因為帥=%>=￡>。=2,NA=45°,

所以ZAD5=45°,則

由于。故NCDE即為二面角C—8D—A的平面角，

則NCDE=120。，

過點C作。尸，OE于點P，

因為5￡>_L￡>E,BDLCD,DEcCD=D,DE,CDu平面CDF,

故30,平面CD77,

因為Cbu平面CDE,所以BOLCF,

又BDcDE=D，BD,DEu平面ABDE,

則Cb,平面ABDE，ZCDF=60°,

取AO的中點"，則外接球球心在平面ABD的投影為“，即平面ABDE,

連接方H,AO,CO,則AO=CO,過點。作。G//EH,交直線C尸于點G,

則。〃=EG,

CD=2,CF=CDsin60°=6,DF=CDcos60°=1,

AH=DH=-AD=42,

2

由余弦定理得FH=^JDF2+DH2-2FD-DHcosZFDH

=Jl+2—2xlx@]—f]=6

設OH=h,則EG=/z,故CG=CF-FG=6-h，

由勾股定理得=OG2+CG2=5+（6—〃y，OA2=OH2+AH2=2+/?,

故5+（6—//=2+/，解得/z=6，

故外接球半徑為72+77=75，外接球表面積為471-5=2071.

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某商場為促銷組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有8個大小形狀相同的小球，并標注

18這八個數字，抽獎者從中任取一個球，事件A表示“取出球的編號為奇數”，事件B表

示“取出球的編號為偶數”，事件C表示“取出球的編號大于5”，事件。表示“取出球的編號

小于5”,則（）

A.事件A與事件C不互斥B.事件A與事件B互為對立事件

C.事件B與事件C互斥D.事件C與事件D互為對立事件

k答案』AB

K解析』由題意抽獎者從中任取一個球的樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8},

事件A表示{1,3,5,7},事件B表示{2,4,6,8},事件C表示{6,7,8},事件。表示

{1,2,3,4},

所以AC={7}^0,A3且Ac5=0,BC={6,8}/0,

CcO=0且C￡>={1,2,3,4,6,7,8}CQ,

所以事件A與事件C不互斥，事件A與事件3為對立事件，

事件B與事件C不互斥，事件C與事件。互斥但不對立，

故A,B正確，C,D錯誤.

故選：AB.

10.如圖所示，在直三棱柱ABC-$4G中，若AB工BC,AlA^AB=BC^2,則下

列說法中正確的有（）

A.三棱錐用一ABC表面積為4+4及

B.點N在線段4。上運動，則8N+8戶的最小值為2有

c.G、〃分別為片瓦、CG的中點，過點5G,“的平面截三棱柱ABC-A4G，則該

截面周長為2逐+27

D.點P在側面6CG4及其邊界上運動，點M在棱A3上運動，若直線C]航，AF是共

面直線，則點尸的軌跡長度為指

K答案XABC

K解析》對于A：在直三棱柱ABC-中

平面ABC,BCu平面ABC,所以8片，6。，

又AB?BB[B,48,88]<z平面AB4A,所以平面，

又ABu平面所以ABLBC,

同理可證A4，

又44=45=50=2,

所以SBB1c=SBB1A=QX2x2=2，AB=B[C=《2。+2?=2也.，

所以5仔=5儂=3*2><20=2立，

所以三棱錐片-ABC表面積s=4+4，L故A正確；

對于B：將與AC沿4c旋轉與-ARC共面且位于4c的異側，

如圖所示，

:.BN+B]N=BN+B；NNBB；=<*可=2也，

即點N在線段4。上運動，則BN+B]N的最小值為2石，故B正確，

對于C：延長9、BG，設BH4G=R，連接GR交AG于點S,連接HS,

則過民G,H的截面為如圖所示四邊形5HSG,

R

因為〃是CG的中點，故是qR的中點，

又G為A耳的中點，所以S為“4用7?的重心，

BG=BH=45,GS="氏=；+府=呼?S=；A￡=，

SH=JCS+CQ2=與,

所以截面周長為2石+上乎，故C正確，

對于。C]Mu平面GAB,GM，AP共面，所以APu平面GAB,

又點P在側面BCCE及其邊界上運動，平面CXABn平面BCCXB.=BQ,

所以點P的軌跡為線段8G，且3G=20,故點P的軌跡長度為2&，故D錯誤.

故選：ABC

11.已知拋物線C：V=》的焦點為產，其準線/與x軸的交點為石，過點尸的直線與C交

于A,B兩點，點M為點A在/上的射影，線段人田與了軸的交點為N,線段AN的延

長線交/于點P,則（）

A.\EF\=1

B.AN±MF

C.直線AP與。相切

2

D.tanZAOB（O為坐標原點）有最大值-一

3

K答案】BC

K解析X拋物線C:_/=x的焦點為/準線/為尤=一；,

則所以但刊=；,故A錯誤；

設A（加2，根）（根＞o）,則M?4

所以"MF=H]=-2機，則直線洶7的方程為y=_2相卜

~4~4'7

得m即（日，

令x=0,y=￡,N0

2

m]

所以L貝1]左3?左MF=丁義（一2w）=一1,故A/V_L"F,故B正確;

m2~2-m2m

I1m

因為以=—,所以直線4V的方程為y=-Lx+生,

2m2m2

1m

y——xH—0°

由,2m2,消去X整理得y2—2wy+加2=0,顯然/=0,

y2=x

所以直線ANCAP）與C相切，故C正確;

設4（%,%）（弘〉0）,3（%,%），AB：x=ny+~,

1

x=ny+—1

由＜4，可得y0_幾V——=0,

24

〔V=犬

顯然/＞0,所以%+為="，

所以tanZBOF=逅=』，tanZAOF=^

tanZAOF+tanZBOF

所以tanZAOB=tan(ZAOF+ZBOF)=

1-tanZAOFtanZBOF

3-玉乃N"卜一NTh

1+t-tz%%［佻+/+{|+%%

：（%一%）

1(%+%)+(〃2+1)%%+2

4x7lo

*(%+%)-4%%_4而77

121/2.、1=

4

所以當〃=0時tanNAOB有最大值-一，故D錯誤.

3

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，如圖所示的是《易經》中記載的

幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相

等的圖形代表八卦田.已知正八邊形A5CDEFGH的邊長為2行，點P是正八邊形

K答案U8+40

2冗JT

K解析X由題意知，每個三角形的頂角為一=一，AB=272-

84

作A3垂直。C的延長線于點M,根據正八邊形的特征知，AM=2行+2,

設AP與所成的角為。，則可,

所以AP.=網網cos6=2閭叫cos6,

由Wcos0的最大值為AM=2V2+2，

所以AB的最大值為2亞x(2血+2)=8+40.

13.函數/(X)=tan(ox+0)3>0，M<])的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為

6兀，則函數y=/(x)的(解析』式為.

K答案Xf(x)=tan(

區域①和區域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形ABCD的面積，

可得|AB|=3,設函數的最小正周期為T，貝U|AD|=T,

兀1

由題意可得3T=6兀，解得T=2兀，故一=2兀，可得。=—,

(D2

即f(x)=tan[gx+0),

又/(x)的圖象過點],—1),即tanQx-^+^=tan^+^=-l,

因為9￡,所以+0=解得9=_g.

\乙乙)1ZJq，

故/(x)=tan15X_；J.

14.我國古代數學家趙爽在為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”(如圖

(1)),亦稱“趙爽弦圖”.類比“趙爽弦圖”，可構造如圖(2)所示的圖形，它是由3個全

等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，已知ABC與DEF

的面積之比為7:1,設XA3+〃AC=A￡>,貝|彳+〃=.

K解析工設邊長為。.QE尸邊長為力，

由題意得與.D砂的面積之比為7:1,可彳尋上文旦義==義旦義/義7，

2222

化簡得〃2=7/72,可得不妨設Q==1,

如圖，作CN_LC4,以。為原點建立平面直角坐標系，

1〃a+(〃?+1)2—7

在，ACD中，設=由余弦定理得-；；=―」"一A—，解得“2=1,

22m(m+l)

故AD=1，CD=2,且設。(x,y),作。GLAC,故S=^xWxlx2=3,

ACD222

故得s=J_XJ7XDG=93,解得DG=叵，由勾股定理得CG=±也，

-CD2277

故。(三互,浮)，易知A(J7,0),浮)，C(0,0),

可得A3=(—且,叵)，AC=(-V7,0),AD=(-^,—),

2277

且XA5=A），/JAC=（—1\/7^/u,0）,

、/7i—、/57

可得/L43+〃AC=（—芋4一^-/l）=AD，

1

3

解得《顯然X+〃=—.

2=-

[7

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2

15.如下圖，四棱錐P—A6CD的體積為底面ABCD為等腰梯形，BC//AD,

AB=CD=EAD^3BC=3,PD=5POA.AD,。是垂足，平面上4￡)，平

(2)若M,N分別為PD,PC的中點，求二面角O—"N—3的余弦值.

(1)證明：連接。3,

:平面B4r)_L平面ABCD,POLAD,平面B4T)c平面ABCD=A。，POu平面

PAD,

POL平面ABC。，

因為ADu平面ABC。，所以POLAD,

由題意可知，等腰梯形ABC。的高為1,

故等腰梯形ABCD的面積為：S=1x(l+3)xl=2,

9-ABC7J=§X2xPO=—,

PO=1,

在Rt_R9D中，PD=亞,PO=1.

:.OD-2,即AO—1,

/.。為AD的三等分點，

BOLAD.

又,：POBO=O,BOu面POB,POu面P08,

ADJ_平面FOB,

:PBu平面P08,

(2)解：取中點E，連接3E,則四邊形8CDE為平行四邊形，

BE//CD.

,:M,N分別為PD，PC的中點，

J.MN//CD,

/.MN//BE,

.?.M,N,5E四點共面.

連接OC交5E于產，連接NF,則二面角O—"N—5即二面角O—"N—尸.

：PO1平面ABC。，CDu平面ABC。，

?*.POLCD,

易知四邊形BCEO為正方形，則OCL5E,

■:BEIICD,/.OCVCD,

又尸。OC=O,POu平面POC,OCu平面POC,

CD,平面POC.

'：MN//CD,.?.肱VJ_平面POC,

：NOu平面POC,NFu平面FOC,

:.MN工NO,MNINF.

，NONE是二面角O—"N—5的平面角，

在Rt_7VFO中，NF=-PO=-,OF^-OC^—，

2222

?CM—6?/cz口_NF_^3

??ON——，??cos/ONF-——，

2ON3

二面角O—MN—5的余弦值為

3

16.水平相當的甲、乙、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2

局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者

輪空，依照這樣的規則無限地繼續下去.

（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；

（2）求第九輪比賽甲輪空的概率；

（3）按照以上規則，求前六輪比賽中甲獲勝局數的期望.

解：（1）甲第三輪獲勝的基本事件有：｛第一、二、三輪甲全勝｝，｛第一輪甲輸，第三輪甲

勝｝,

設甲在第，?輪獲勝”，則P⑷4）=黑｝可段片熱Jyj；

⑵設事件G="第九輪甲輪空"，則P（G）=P（G,_C）+P?_C）,

=P(C?-1)P(C?I%)+P?T)P?Q_1)=|[I-P(C?_1)],

pc

???P(c")-g=-g(n-i)~|,P(G)=O，

（3）設一輪比賽中甲勝的局數為X,則X=0,l,2,

P(X=0)=

P(X=2)=

前六輪比賽中甲參與的輪次數為y,則y=3,4,5,6

P(Y=3)=

P(X=5)=C；

二局勝的局數為:---X—=---（局）.

324128

22

17.已知橢圓E:=+2r=l（a〉6〉0）短軸長為2,橢圓E上一點/到？（0,2）距離的最

a~b

大值為3.

（1）求。的取值范圍；

（2）當橢圓E的離心率達到最大時，過原點。斜率為左仕W0）的直線/與E交于AC兩

點，B4、PC分別與橢圓E的另一個交點為&O.

①是否存在實數2,使得3。的斜率左'等于幾左？若存在，求出2的值；若不存在，說明

理由；

②記AC與5。交于點Q,求線段PQ長度的取值范圍.

解：（1）設由題知，2b=2,即b=l,

2

貝|］=+/=1,即犬=片—Q2y2(_1W丁41),

a

iB/(j)=|MP|2=x2+(y-2)2=-(tz2-l)/-4y+tz2+4,

則在［Tl］上的最大值為9,對稱軸為y=<0,

Q—1

①當冷<一1，即時，/(y)111ax=/(—1)=9,成立;

②當-5—~-1，即Q>A/3時，

a-1

-2=?2+4+^-=?2-l+-^-+

/(Vmax=f

a2-1a2-la2-l

+5z2“/-1)上+5=9,

4

當且僅當91=——,即/=3時等號成立，可知不成立;

Q—1

綜上，ae（l,向

1

（2）由（1）得，e—J="21=1—'

aaa

2

所以當Q=也時，離心率達到最大，此時，橢圓月:]+y2=l，

3

①存在丸=一二，理由如下，

2

設4（尤0，也），則。（一％,-依）），其中￡+左2片=1,

即（3/+1）芯=3,PA-.y=^^x+2,

xo

kx-2人

y=h—x+2

%

由＜

2

X21

1—3+y'=1

得[（3左2+1）片—12AXQ+12J%2+12%o（kx。~2）x+-0,

即（5-4代））X2+4x0（Ax0-2）X+3A：Q=0,

所以％。/=3_,/=二^，%=幺瓷義?7+2=苧二1

5-4Ax04Ax0-5/4Ax0-54Ax0-5

所以迎d],PC:y=l^^x+2,

（4履0-54fcv0-5J/

y=^^x+2

由＜2'，得[（3左2+1）%；+12AX0+12]%2+12%（"0+2）x+9x；=0,

即（5+4在0）*+4/（5版0+2）x+3x：=0,

?，3%o-3xkx+2-3x5kr+4

所以To%。=———,x=...-n,y=——0x——彳0+2=0

5+4也D4也+5D/4也+54飆+5

5kx0+45kx0-4

人―7,4Ax+54kx-5-18Ax3,

所以，瓦）的斜率l=一n---------—n=-n=

-3x0-3x030x05

4飆+54kx0-5

②由①知,

3.(3%)5Ax0-43,16Ax0-203.4

BD:y=——kx+-------+——-——二——kx+--------=——kx+-,

5I4Ax0-5J4Ax0-555(4Ax0-5)55

34

BD:y=——kx+—341

由彳55y=--y+-^即

AC:y=kx

13

將丁二一代入橢圓方程得：九=±—,

22

所以，Q的軌跡方程為y=；1—|<x<|

所以，線段P。長度的取值范圍為

18.己知數列｛4｝的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.數列

｛。”｝前幾項和為S.,且滿足$3=。4，。3+。5=2+。4

(1)求為，為；

(2)求數列｛??｝的通項公式及數列｛%｝的前2k項和S2k；

(3)在數列｛4｝中，是否存在連續的三項冊,金+1，5+2,按原來的順序成等差數列?若存

在，求出所有滿足條件的正整數加的值;若不存在，說明理由

解：(1)設等差數列的公差為d,等比數列的公比為4，

貝Uq—1,=2,Q3=1+d,=2g,=1+2d,

因為$3=“4，所以l+2+l+d=2q,即4+d=2q,

因為%+%=2+2，所以1+d+1+2d—2+2q,即3d—2q,

解得d=2,q=3,

所以。9=q+4d=1+8=9,4=—2x33=54；

(2)由(1)知d=2,q=3,

所以對于人N*，有%i—i=1+2伏T)=20l,3=2x31,

n,n=2k—1

所以。〃=<?_i(獲N*)，

2-32,n=2k

S2k=(q+4---+(%+^4---------a”)

=[1+3+---+(2^-1)]+2(1+3+32+---+3M)

次(1+2Z—1)?2,J—3/

=左2+3上_1.

（3）在數列｛4｝中，僅存在連續三項q,%，%按原來的順序成等差數列，此時正整數

m=l,

下面說明理：

若4”=%?，則由金+%>+2=2勺+1，得2x3—+2x3"=2（2左+1）,

化簡得4x3-=2k+1，

此式左邊是偶數，右邊是奇數，不可能成立，

若盤=出1，則由4+4+2=2勺+1，得（2左—1）+（2左+I）=2x2x3i,

化簡得左=3"1

令《=$（左eN*），則￡+「7；=芋一白=皆<°（左eN*），

所以1=工>（>4>…，

所以只有4=1，此時左=L〃z=2xl-l=l,

綜上，在數列｛%｝中，僅存在連續三項%,%，。3按原來的順序成等差數列，此時正整數

m=lf

19.已知函數/（%）=:加+cx（a>0）.

（1）若函數，（九）有三個零點分別為為，巧，％3，且%+4+退=一3，%/=一9，求函

數〃幻的單調區間；

（2）若廣⑴=-：。，3a>2c>2b,證明：函數/⑺在區間（0,2）內一定有極值點；

b

（3）在（2）的條件下，若函數〃尤）的兩個極值點之間的距離不小于百，求一的取值范