猜想04與圓相關的幾何綜合（6種模型）

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題型一：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

題型二：阿氏圓

題型三：瓜豆原理

題型四：圓中定值問題

題型五：圓中最值問題

題型六：輔助圓模型

—題型通關專訓?

題型一：兩圓一中垂構造等腰三角形模型

一.選擇題（共2小題）

1.（2022春?新洲區(qū)期末）已知平面直角坐標系中有A（2,2）、B（4,0）兩點，若在坐標軸上取點C,使

△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（）

2.（2022秋?沙洋縣校級期末）平面直角坐標系中，已知A（1,2）、8（3,0）.若在坐標軸上取點C,使4

ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

二.填空題（共2小題）

3.（2022秋?龍亭區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A,8分別在y軸和x軸上，ZABG?=60°,

在坐標軸上找一點P,使得是等腰三角形，則符合條件的點P共有個.

4.（2021秋?鄰水縣期末）平面直角坐標系中，已知A（2,2）、B（4,0）.若在坐標軸上取點C,使△ABC

為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是.

題型二：阿氏圓

—.填空題（共2小題）

1.（2022秋?永嘉縣校級期末）如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓。內(nèi)切于尸為圓O上一動

點，過點P作PM,PN分別垂直于/ACB的兩邊，垂足為M、N,則PM+2PN的取值范圍

為.

A

2.（2021秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在RtZsABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以點C為圓心，3為半徑

做OC，分別交AGBC于。,E兩點，點尸是OC上一個動點，則工B4+PB的最小值為

3

3.（2021秋?定海區(qū)期末）如圖1,正方形。48c邊長是2,以。1為半徑作圓，P為弧AC上的一點，過點

尸作交AB于點連結(jié)PO、PA,設尸〃=%，PA^n.

（1）求證：ZPOA=2ZPAM；

（2）探求小、”的數(shù)量關系，并求"-根最大值;

（3）如圖2：連結(jié)尸8,設PB=h,求料〃+2祖的最小值.

題型三：瓜豆原理

一.填空題（共6小題）

1.（2021秋?忠縣期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°，點。在8C邊上，BC=5,CD=2,點E是邊

AC所在直線上的一動點，連接。E,將DE繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到。尸，連接8R則8F的最

小值為____________________.

2.（2021秋?嘉興期末）如圖，OO的直徑A8=2,C為。。上動點，連結(jié)CB,將C8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)

90°得到CD,連結(jié)OD,則OD的最大值為.

D

3.（2022春?槐蔭區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點、,且BE=1,尸為AB邊上的一

個動點，連接EF,以Ef1為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為

4.（2021秋?沐陽縣校級期末）如圖，線段43=2,點C為平面上一動點，且/ACB=90°,將線段AC的

中點尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A。,連接8。,則線段B0的最大值為.

Q4

5.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=6,tan/ACB=2點尸在邊AC上

運動（可與點A,C重合），將線段2尸繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段。尸，連接2。，CD,則CO

長的最小值為.

6.（2022秋?和平區(qū)校級期末）如圖，長方形A8CD中，AB=3,BC=4,E為BC上一點,且BE=1,F為

A8邊上的一個動點，連接ER將EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG,則CG

的最小值為.

二.解答題（共1小題）

7.(2021秋?武昌區(qū)期末)如圖1,在△ABC中，BE平分/ABC,CT平分/AC8,BE與CF交于點、D.

(1)若/BAC=74°,則/BZ)C=；

(2)如圖2,ZBAC=90°,作交A8于點求證：DM=DE；

(3)如圖3,ZBAC=60°,ZABC=SQ°,若點G為CD的中點，點M在直線BC上，

連接MG,將線段GM繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)90°得GN,NG=MG,連接。N,當。N最短時，直接寫出/

MGC的度數(shù).

題型四：圓中定值問題

一.解答題（共3小題）

1.（2021秋?吉林期末）某公園計劃砌一個形狀如圖1的水池（圖中長度單位：加），后有人建議改為如圖2

的形狀，且外圓直徑不變.

【問題】請你計算兩種方案中的圓形水池的周長，確定哪一種方案砌的圓形水池的周邊需要的材料多.

【猜想驗證】如圖3,如果將圖2中的小圓半徑改為ri,n,n,且ri+r2+r3=r,其他條件不變，猜想【問

題】中的結(jié)論是否改變，并說明理由.

【拓展】如圖4,若將圖3中三個小圓改為W個小圓，小圓半徑分別為廠1,T2,…，廠”，且，l+f2+…+5=

r,直接寫出圖4中所有圓的周長總和.

【應用】元寶是中國古代的貨幣，在今天也有著富貴吉祥的寓意，王師傅準備建設一個形如元寶的花壇，

如圖5,花壇是由4個半圓所圍成，最大半圓的半徑為2.1米，直接寫出花壇周邊需要的材料總長（結(jié)果

保留TT）.

圖1圖2圖3圖4圖5

2.(2022秋?天河區(qū)校級期末)如圖①，已知。。是△A8C的外接圓，ZABC=ZACB=a(45°<a<90°,

。為篇上一點，連接CD交A8于點E.

(1)連接BC,若/CQB=40°,求a的大小；

(2)如圖②，若點8恰好是向中點，求證：C^=BE,BA；

(3)如圖③，將C￡(分別沿2C、AC翻折得到CM、CN,連接MN,若CD為直徑，請問處是否為定

MN

值，如果是，請求出這個值，如果不是，請說明理由.

3.(2021春?海曙區(qū)校級期末)如圖1,E點為x軸正半軸上一點，OE交x軸于4、8兩點，交y軸于C、

。兩點，P點為劣弧標上一個動點，且A(-2,0),E(2,0).

(1)前的度數(shù)為°;

(2)如圖2,連結(jié)尸C,取PC中點G,連結(jié)OG,則0G的最大值為；

(3)如圖3,連接B4,PC.若C。平分/PC。交B4于。點，求線段AQ的長；

(4)如圖4,連接出、PD,當P點運動時(不與8、C兩點重合)，求證：PC+PD為定值,并求出這個

PA

定值.

題型五：圓中最值問題

一.填空題（共3小題）

1.（2022秋?海安市期末）如圖，在△ABC中，AB=8,BC=6,D為BC上一點、,當/CAB最大時，連接

AD并延長到E,使BE=BD,則AD-DE的最大值為.

2.（2022秋?江門期末）如圖，在矩形ABCZ）中，A8=3,BC=4,E為邊BC上一動點，/為AE中點，G

為DE上一點,BF=FG,則CG的最小值為.

3.（2021秋?綿陽期末）如圖，矩形的頂點A,C分別在無軸、y軸上，點2的坐標為（4,3）,QM

是△AOC的內(nèi)切圓，點M點尸分別是OM,x軸上的動點，則8P+PN的最小值是.

解答題（共6小題）

4.（2021秋?汶上縣期末）如圖，在△ABC中，AB^AC,于點。，于點E,以點。為圓

心，OE為半徑作圓。交A。于點孔

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若/AOE=60°,OE=3,在BC邊上是否存在一點尸使PF+PE有最小值，如果存在，請求出PF+PE

的最小值.

A

5.(2021秋?花都區(qū)期末)如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦平分N8AC,過點。作射線

AC的垂線，垂足為M,點￡為線段上的動點.

(1)求證：是O。的切線；

(2)若/3=30°,AB=8,在點E運動過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若

不存在，說明理由；

(3)若點E恰好運動到NAC8的角平分線上，連接CE并延長，交O。于點R交于點P,連接AF,

CP=3,EF=4,求AF的長.

備用圖1備用圖2

6.（2023春?豐城市期末）如圖1,在矩形A8CD中，AD=12,A8=8,點E在射線A8上運動，將

沿翻折，使得點A與點G重合，連接AG交。E于點孔

（1）【初步探究】當點G落在8c邊上時，求BG的長；

（2）【深入探究】在點E的運動過程中，8G是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，

請說明理由；

（3）【拓展延伸】如圖3,點尸為BG的中點，連接AP,點E在射線A2上運動過程中，求AP長的最

Ge

大值.（圖1）（圖2）（圖3）

7.（2021秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點8的坐標分別是（1,0）,（7,0）.

（1）對于坐標平面內(nèi)的一點P,給出如下定義：如果/APB=45°,那么稱點尸為線段AB的“完美點”.

①設A、B、P三點所在圓的圓心為C,則點C的坐標是，G）C的半徑是

②y軸正半軸上是否有線段A8的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標；如果沒有，請說明理由；

（2）若點P在y軸負半軸上運動，則當/AP8的度數(shù)最大時，點P的坐標為.

8.（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖1,已知OO的內(nèi)接四邊形ABC。，AB//CD,BC//AD,AB=6,8C=8.

（1）求證：四邊形ABC。為矩形.

(2)如圖2,E是AD上一點，連接CE交于點F連接AC.

①當點。是々中點時，求線段。尸的長度.

②當16s△DCF=3S四邊形ABCD時，試證明點E為AD的中點.

(3)如圖3,點E是O。上一點(點E不與A、C重合)，連接EA、EC、OE,點I是的內(nèi)心,

點M在線段0E上，且ME=2MO,則線段Ml的最小值為____________

不

BBB

圖1圖2圖3

9.(2020秋?樂亭縣期末)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(6,0),點8(0,6),動點C在以原點。

為圓心，半徑為3的O。上，連接OC,過點。作OOLOC,。。與。。相交于點。(其中點C,O,D

按逆時針方向排列)，連接A8

(1)當OCHNB時，ZBOC的度數(shù)為；

(2)連接AC,8C,點C在。。上運動的過程中，當△ABC的面積最大時，請直接寫出△A8C面積的最

大值是.

(3)連接AD,當OC〃AQ,點C位于第二象限時，

①求出點C的坐標；

②直線BC是否為的切線？并說明理由.

題型六：輔助圓模型

一.解答題（共10小題）

1.（2021秋?武夷山市期末）如圖，C為線段42上一點，分別以AC、8C為邊在A3的同側(cè)作等邊△HAC

與等邊△OC2,連接。

（1）如圖1,當/O”C=90°時，直接寫出。C與CH的數(shù)量關系為；

（2）在（1）的條件下，點C關于直線。”的對稱點為E,連接AE、BE,求證：CE平分/AE隊

（3）現(xiàn)將圖1中△OCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度a（0°<a<90°）,如圖2,點C關于直線07/的

對稱點為E,則（2）中的結(jié)論是否成立并證明.

2.(2021秋?自貢期末)在△ABC中，AB=AC,過點C作CD_LBC,垂足為C,NBDC=/BAC,AC與BD

交于點E.

(1)如圖1,ZABC=60°,BD=6,求。C的長；

(2)如圖2,AM±BD,ANLCD,垂足分別為M,N,CN=4,求。B+OC的長.

3.（2022秋?任城區(qū)校級期末）【閱讀】

輔助線是幾何解題中溝通條件與結(jié)論的橋梁.在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助線,

顯得獨特而隱蔽.

性質(zhì)：如圖①，若/ACB=/AO8=90°,則點。在經(jīng)過A,B,C三點的圓上.

【問題解決】

運用上述材料中的信息解決以下問題：

（1）如圖②，已知D4=O8=QC.

求證：ZADB=2ZACB.

（2）如圖③，點A,8位于直線/兩側(cè).用尺規(guī)在直線/上作出點C,使得NACB=90°.（要求：要有

畫圖痕跡，不用寫畫法）

（3）如圖④，在四邊形ABC。中，ZCAZ）=90°,CBLDB,點P在CA的延長線上，連接。RZADF

=ZABD.

求證：OE是△AC。外接圓的切線.

4.（2021秋?吁哈縣期末）（1）【學習心得】

小剛同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，

可以使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,。是△ABC外一點，且AD=AC,求N8DC的度

數(shù)，若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓OA,則點C、。必在OA上，N8AC是OA的圓心角，而/

BOC是圓周角，從而可容易得到/3OC=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形A8CD中，ZBAD=ZBCD=9O°,/BDC=25°,求/BAC的度數(shù).

小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△A3。的外接圓就是以8。

的中點為圓心，18。長為半徑的圓；4BCD的外接圓也是以BD的中點為圓心，工8。長為半徑的圓.這

22

樣A、B、C、。四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質(zhì)求出/BAC的度數(shù)，請運用小剛的思路

解決這個問題.

（3）【問題拓展】

如圖3,在△ABC中，ZBAC=45°,是BC邊上的高，且8。=6,CD=2,求的長.

A

A

到噎23圖30°

5.（2021秋?寬城區(qū)期末）【問題原型】如圖①，在。。中，弦BC所對的圓心角NBOC=90°,點A在優(yōu)

弧BC上運動（點A不與點8、C重合），連結(jié)A3、AC.

（1）在點A運動過程中，NA的度數(shù)是否發(fā)生變化？請通過計算說明理由.

（2）若BC=2,求弦AC的最大值.

【問題拓展】如圖②，在△A8C中，BC=4,ZA=60°.若M、N分別是A8、8C的中點，則線段MN

的最大值為.

A4

圖①圖②

6.（2021秋?泗陽縣期末）如圖，已知A2_LMN于點2,且AB=10cm,將線段AB繞點B按逆時針方向旋

轉(zhuǎn)角a（0WaW360°）得到線段BC,過點C作CQ_LMN于點D,OO是△80的內(nèi)切圓，直線A。、

BC相交于點

（1）若a=60°,貝！IC￡）=_______cm.

（2）若AOJ_8c

①點H馬。0的位置關系是_______；

A.點8在O。外

8.點H在。。上

C.點以在O。內(nèi)

②求線段AO的長度.

（3）線段AB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,求點O運動的路徑長

7.（2021秋?開福區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點M在無軸負半軸上，。加與尤軸交于A、B

兩點（A在8的左側(cè)），與y軸交于C、。兩點（點C在y軸正半軸上），且CD=2?0M,點8的坐標為

（3,0）,點尸為優(yōu)弧CA。上的一個動點，連結(jié)CP,過點M作于點E,交BP于點、N,連結(jié)

AN.

（1）求OM的半徑長；

（2）當8尸平分/ABC時，求點P的坐標；

（3）當點尸運動時，求線段AN的最小值.

8.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,。是線段BC上一點，延長BC至

點、E,使得CE=CD,過點E作EGLAO于點G,交A?于點尸.

（1）如圖1,連接CG,若4。平分/BAC,CG=2,求的長；

（2）如圖2,反是平面內(nèi)一點，連接DA平分NEDH,/BAH=2/CAD,用等式表示線段B。、

BF、0