第五章萬有引力與宇宙航行

測試卷

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的班級、姓名、

學號填寫在試卷上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，將答案填在選擇題上方的答題表中。

3.回答第n卷時，將答案直接寫在試卷上。

第I卷（選擇題共48分）

一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的四個選項中，第1-8題只有一項符合題

目要求，第9-12題有多項符合題目要求。全部選對的得4分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。）

1.如圖所示為我國首次執(zhí)行火星探測任務的“天間一號”探測器運行的部分軌跡圖。以火星中心為參考系，

不考慮“天問一號”的質量變化，“天問一號”探測器在近火點A與遠火點B的萬有引力的大小之比為P，動能

之比為4,則下列關系式正確的是（）

A

A.P=qB.p=q~C.p1=qD.pq=l

【答案】A

【詳解】令火星的質量為“，“天問一號”的質量為冽，近火點到火星的距離為打，遠火點到火星的距離為

”—Mm

廠2。“天間一號''探測器在近火點A受到的萬有引力為月=37廠“天問一號”探測器在遠火點8受到的萬有引

G2

力為4=—根據開普勒第二定律，有-rtvAAt=-r2vBAt根據動能的表達式Ek=^-mv聯立可得p=q

R222

故選Ao

2.2023年春節(jié)黃金檔期中我國科幻電影《流浪地球2》再獲口碑、票房雙豐收，極具科幻特色的“太空電

梯”設定吸引了眾多科幻愛好者研究的興趣。太空電梯是從地面基座連接距離地球表面約36000km靜止軌道

空間站的直立式電梯，若地球的半徑近似為6400km,下列關于太空電梯設定的說法，正確的是（）

A.電梯軌道基座能建設在廣州市

B.若發(fā)生意外，斷裂在太空里的電梯部件將不會掉落到地球上

C.若電梯臨時停在距離地表為18000km的高空，其重力加速度只有地球表面的:

D.登上靜止軌道空間站的宇航員受到的萬有引力約為地面的占

44

【答案】D

【詳解】A.由于要與同步軌道的空間站進行連接，故太空電梯應該建立在同步衛(wèi)星軌道所在的平面內，即

赤道上，故A錯誤；

B.太空電梯的設定實際為建于地球之上，由大型基座、牽引鋼纜等組建連接于同步軌道的垂直電梯，實際

是地表建筑物，跟隨地球自轉且具有相同的角速度，故其自轉的角速度，線速度明顯小于第一宇宙速度，

故除靜止軌道外的部分斷裂皆因其受到的萬有引力大于向心力，均會掉落，電影內也有這一情節(jié)，故B錯

誤；

C.距離地表18000km的高空處，距離地心距離約為18000+6400km,約為地球半徑的3.8倍，根據萬有引

力定律根g=9”其重力加速度約為地球表面的1/15,故C錯誤；

r

D.靜止軌道為地球表面高36000km處，該處到地心距離為42400km,約為地球半徑的6倍，根據

g坐引力約為地球表面的《，故口正確。故選口。

3r44

3.第一宇宙速度又叫做環(huán)繞速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度。理論分析表明，逃逸速度是環(huán)繞速度的

四倍。有些恒星，在它一生的最后階段，強大的引力把物質緊緊地壓在一起，密度極大，其逃逸速度大于

光速，這樣的天體稱為黑洞。已知地球的半徑約為6400km,地球表面附近的重力加速度約為lOm/s:光速

約為3.0x108mzs，不考慮地球的自轉。倘若地球保持質量不變收縮成為黑洞，該黑洞半徑的最大值接近()

A.0.01mB.0.1mC.ImD.10m

【答案】A

GMm

【詳解】地球表面附近有k=mg臨界狀態(tài)光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示為

W=/根據萬有引力提供向心力可得^1二相《聯立解得R。。01m

故選Ao

4.天文學家發(fā)現一個略大于木星的氣體行星(HD188753Ab),它圍繞天鵝座“HD188753”系統(tǒng)的主星公轉,

公轉周期為3.3日，軌道半徑約為二天文單位，若忽略其它星球對它的影響，認為它圍繞主星做勻速圓周

運動。設地球至太陽的距離為1天文單位，地球繞太陽公轉周期為365日。根據上述數據，可求出（）

A.行星與地球的質量之比

B.主星與太陽的質量之比

C.行星與地球的第一宇宙速度之比

D.行星與地球的表面重力加速度之比

【答案】B

【詳解】AB.由萬有引力提供向心力G牛可知行星與地球的質量在計算中約去，不可求出;

產T2

中心天體主星與太陽的質量可以求出M=之2主星與太陽的質量之比可以求出。=生三故A錯誤，B

GT2M太端窈2

正確;

C由G饕=機1'解得星球的第一宇宙速度人

由于行星與地球的質量和半徑都未知，所以行星

與地球的第一宇宙速度之比不可求出，故C錯誤;

D.由6爺=機g,解得星球的重力加速度8=竿-由于行星與地球的質量和半徑都未知，所以行星與地

球的表面重力加速度之比不可求出，故D錯誤。故選B。

41

5.金星與地球半徑接近，金星的質量約為地球質量叫，地球和金星各自的衛(wèi)星公轉半徑的倒數：與公轉

速度的平方/的關系圖像如圖所示，下列判斷正確的是（）

B.取相同公轉速度，金星的衛(wèi)星的周期較大

C.圖線。表示的是地球的衛(wèi)星，圖線6表示的是金星的衛(wèi)星

D.取相同公轉半徑，金星的衛(wèi)星向心加速度較大

【答案】A

【詳解】A.根據=*可得第一宇宙速度為八?等金星與地球半徑接近，金星的質量約為地球

4_

質量的（，則金星的第一宇宙速度較小，故A正確；

C.根據=機且可得工=上?可知地球的質量較大，則［一/圖像的斜率較小，則圖線。表示的是

rrrGMr

地球的衛(wèi)星，圖線。表示的是金星的衛(wèi)星，故c錯誤；

B.由于圖線6表示的是地球的衛(wèi)星，圖線a表示的是金星的衛(wèi)星，取相同公轉速度，則金星的衛(wèi)星的軌道

半徑較小，根據7=迎可知金星的衛(wèi)星的周期較小，故B錯誤；

V

D.由于圖線6表示的是地球的衛(wèi)星，圖線。表示的是金星的衛(wèi)星，取相同公轉半徑，金星的衛(wèi)星的速度較

2

小，根據。=1可知金星的衛(wèi)星向心加速度較小，故D錯誤。故選A。

r

6.潮汐現象是指在月球和太陽引力作用下形成的海水周期性漲落現象。某同學查閱資料發(fā)現月球繞地球轉

動的軌道半徑約為地球半徑的60倍，地球質量約為月球質量的80倍，地球表面的重力加速度為g,不考慮

星球的自轉影響，由以上數據可估算出（）

A.月球繞地球做圓周運動的加速度為冬

60

B.月球繞地球做圓周運動的線速度為地球第一宇宙速度的］

60

C.月球表面的重力加速度為高

80

D.月球對地球海水引力產生加速度的最大值為益而

【答案】D

【詳解】A.由G%=蜂可得地球表面的重力加速度且=攀由=加月a；

r=60R

可得，月球繞地球做圓周運動的加速度。=/故A錯誤；

3600

B.由。=必可得，月球繞地球做圓周運動的線速度v=也還為地球第一宇宙速度的正，故B錯誤；

r3030

C.月球的半徑未知，無法計算出月球表面的重力加速度，故C錯誤；

,_m?1GMg

G=X22=

D.海水與月球最小距離為59R,月球對地球海水引力產生的加速度最大。=f59R^8059R278480

故D正確。故選D。

7.上世紀70年代，蘇聯在科拉半島與挪威的交界處進行了人類有史以來最大規(guī)模的地底挖掘計劃。當蘇

聯人向地心挖掘深度為d時，井底一個質量為，”的小球與地球之間的萬有引力為尸，已知質量分布均勻的

球殼對殼內物體的引力為零，質量分布均勻的地球的半徑為凡質量為M,萬有引力常量為G,則尸大小

等于（）

GMmGMm（R-d）GMmR3GMm

A-歷丁B-一喪—c-不丁D-k

【答案】B

【詳解】將地球分為半徑為（R—d）的球和厚度為d球殼兩部分，球殼對小球的引力為零，則P等于半徑

為（R—d）的球對小球的引力，有尸=/二J設半徑為（D球的質量為犯，由密度公式得

加=0丫=0±乃&所以迫=（R-"）3解得,1的大小為歹/加叫―/）,B正確，ACD錯誤。故選B。

3MR3N

8.2023年3月30日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將宏圖一號01組衛(wèi)星發(fā)射

升空，并進入預定的極地軌道做勻速圓周運動。它是由“一顆主星+三顆輔星”構成的衛(wèi)星組，猶如在太空中

飛行的車輪。已知宏圖一號衛(wèi)星組的運行軌道距離地面的高度為力（約為530km）,地球半徑為R,自轉周

期為T,地球極地表面的重力加速度為g,衛(wèi)星組經過赤道上空的時候，攜帶的攝像機都可以對赤道進行一

次拍攝，要使攝像機在1天的時間內將整個赤道拍攝下來，則每次拍攝赤道的長度至少為（）

A|僅+小）3B旦］（〃+R）3

?2川g.列g

C27?］（〃+R）3Da］（〃+河

【答案】C

【詳解】由空依=縹匚可得/但迎空,1天時間內衛(wèi)星經過赤道的次數為

r品VGM

?=2^=2T石黑焉又地球表面或附近有mg=^^所以〃=2TL2工二）3所以要使攝像機在1天

的時間內將整個赤道拍攝下來，則每次拍攝赤道的長度至少為A/故選C。

9.如圖所示，M是赤道上的物體在隨地球自轉，N是赤道平面內的一顆人造地球衛(wèi)星，運行方向自西向東。

7T

已知地球同步衛(wèi)星距地面高度為5.6倍地球半徑，設地心為O,MN與ON間的夾角。最大為二，則（）

A.N的軌道半徑為地球半徑的2倍

B.N與M的轉動周期之比為2VLi

C.N與M的線速度大小之比為6.6后:1

D.N與M的加速度大小之比為1:4

【答案】AC

【詳解】A.當MN連線正好與地表相切時，與QV間的夾角。最大，由幾何得，N的軌道半徑為地球

半徑的2倍，A正確；

B.由開普勒第三定律，N衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星的周期之比為，=,3=\3=上\3又因為物體乂的

轉動周期和地球同步衛(wèi)星的周期相同，所以N與M的轉動周期之比為1：3.3反，故B錯誤；

C.由丫=竺可得，N與M的線速度大小之比為也=竺、型絲=6.6月故C正確；

TvMR1

D.由%=絲1廠，可得N與M的加速度大小之比為區(qū)=￥x孚=71.9故D錯誤。故選AC。

10.2022年7月25日，我國問天實驗艙與天和核心艙順利完成對接任務。問天實驗艙與火箭分離后經歷6

次變軌，來到與核心艙相距52公里的位置上，然后在計算機控制下軌道逐漸升高，與核心艙的距離不斷減

小，實現對接的初始條件。順利完成對接后一起做勻速圓周運動，以下說法正確的是（）

A.問天實驗艙從脫離火箭至剛與核心艙接觸過程中機械能增大

B.問天實驗艙從接近核心艙至對接完成過程中系統(tǒng)機械能守恒

C.問天實驗艙在追核心艙的過程中，問天實驗艙的加速度始終指向地心

D.若空間站距離地面高度為力，經過時間r通過的弧長為一己知地球半徑為R,引力常量為G,則可求地

球的平均密度為

【答案】AD

【詳解】A.問天實驗艙從脫離火箭至剛與核心艙接觸過程中，需要加速做離心運動，機械能增大，故A

正確；

B.問天實驗艙從接近核心艙至對接完成過程中，需要先加速后減速運動，系統(tǒng)機械能先增大后減小，故B

錯誤；

C.問天實驗艙在追核心艙的過程中，有沿運動軌跡切線方向的加速度，加速度不可能始終指向地心，故C

錯誤

Mmv4M

D.設地球質量空間站質量冽，根據G-=」一=;v=-；丫=；"川地球的平均密度為吆

（R+11）-R+ht3V

聯立以上各式得p=3s2?故D正確。故選AD。

11.北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內全天候、全天時為各類用

戶提供高精度、高可靠定位、導航、授時服務。在北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中有A、B兩顆衛(wèi)星在同一平面內沿同

一方向繞地球做勻速圓周運動，某一時刻，衛(wèi)星A和衛(wèi)星B相距最近，距離為2人經過t時間，衛(wèi)星A和

衛(wèi)星B第一次相距最遠，距離為4廠。不考慮衛(wèi)星間的萬有引力，已知地球的半徑為廣，萬有引力常量為G,

衛(wèi)星A的周期為「（北＜/）,下列說法正確的是（）

3?

A.地球的密度為可

B.衛(wèi)星B的周期為

々+iA

C.衛(wèi)星B的環(huán)繞速度小于7.9km/s

D.地球對衛(wèi)星A的萬有引力大于地球對衛(wèi)星B的萬有引力

【答案】AC

Mm4乃2A

【詳解】A.由題意可知，衛(wèi)星A的運動半徑為r,即衛(wèi)星A為近地衛(wèi)星，根據G-^二以亍乙V=^r3,

M,3?

。="得"=而7，A正確;

2乃2?2tT、

B.經過f時間，兩衛(wèi)星由最近第一次變?yōu)樽钸h，則〒"="得B錯誤;

iA"TA

C.衛(wèi)星B的軌道半徑較大，環(huán)繞速度應小于第一宇宙速度7.9km/s,C正確；

D.兩衛(wèi)星質量未知，故無法求得地球對兩衛(wèi)星萬有引力的大小關系，D錯誤。故選AC。

12.2022年7月，由清華大學天文系祝偉教授牽頭的國際團隊宣布在宇宙中發(fā)現兩個罕見的恒星系統(tǒng)。該

系統(tǒng)均是由兩顆互相繞行的中央恒星組成，被氣體和塵埃盤包圍，且該盤與中央恒星的軌道成一定角度，

呈現出“霧繞雙星”的奇幻效果。假設該系統(tǒng)中兩恒星甲、乙的質量分別為叫、㈣，兩恒星繞行的周期均為T,

引力常量為G。忽略塵埃盤對雙星引力的影響，忽略恒星的自轉，且恒星的半徑遠小于兩恒星之間的距離。

下列說法正確的是（）

A.恒星甲、乙繞行的加速度大小之比為叫：外

B.恒星甲、乙繞行的軌道半徑之比為〃々：叫

c.兩恒星之間的距離為通三正

V47

D.恒星甲繞行的線速度大小為2期飛

]11ml+m2）T

【答案】BC

【詳解】A.設恒星甲、乙繞行的軌道半徑分別為公4,根據萬有引力提供向心力有Go；；12a2

解得%：%=小2：叫，A錯誤。

4兀24兀2

B.根據萬有引力提供向心力有67上車二叫彳下。=機2亍廠々解得彳：0=加2：叫，B正確。

「4兀24/

C.根據萬有引力提供向心力有6（力『二叫亍6=冽2亍0兩恒星之間的距離乙=4+&解得

G(/+m)T2

L=1,C正確。

4兀2

2

色/Grn^T繞行的線速度大小匕=F4=J/2兀G：2T

D.恒星甲繞行的軌道半徑彳3

---------L=----------------1

叫+色'4兀Y叫+加2)、（叫+加2）T

D錯誤。故選BC。

第II卷（非選擇題共52分）

二、計算題（滿分52分）

13.中國空間站繞地球做勻速圓周運動。已知空間站的質量為"z,地球質量為M,地球半徑為R,引力常量

尸GMm

為G,空間站運行時離地高度為九空間站的機械能為石=-2（R+〃）（取無窮遠處引力勢能為零）。

（1）求中國空間站運行時的引力勢能綜；

（2）若，w=9.0xl（）4kg,M=6.0xl024kg,A=6400km,/z=400km,G=6.67xlO-11N-m2/kg2,不考慮空

氣阻力和地球自轉的影響，試估算將空間站從地面發(fā)送至離地高度為〃的軌道處做圓周運動，發(fā)射裝置對

空間站做的功卬（保留一位有效數字）。

GMm

【答案】（1）-12

(R+h)；(2)3X10J

cMmv2

【詳解】（1）設中國空間站在軌道運動的速度為v,動能為E-根據牛頓運動定律有G（R+7）2='"方外

10廠廠廠GMm廠GMm

又線=5加入￡=1+綜=_而而解得丸=一布

（2）當中國空間站發(fā)射前/z=0設此時引力勢能為耳，，有￡小=-牛

根據功能關系有W=E-4解得W=-2失+〃）+—1一代入數據得W=3x1012J

14.宇航員站在某質量分布均勻的星球表面一斜坡上P點，沿水平方向以初速度vo拋出一個小球，測得小

球經時間f落到斜坡另一點。上，斜坡的傾角為a,已知該星球的半徑為R,引力常量為G,球的體積公式

是萬4尺3。求：

（1）該星球表面的重力加速度g；

（2）該星球的密度；

（3）該星球的第一宇宙速度。

【答案】⑴皿詈；⑵嚷夢；⑶2%Rtana

【詳解】（1）小球做平拋運動過程中，水平方向，有％=即豎直方向，有、=38產

由幾何知識可得tana=）聯立解得g=&L處4

Xt

（2）對于星球表面質量為;〃。的物體，有G空鑒=/g；丫=告"代所以。=普=學整

R3V27iRtG

（3）該星球的第一宇宙速度等于它的近地衛(wèi)星的運行速度，故G翳=加，；G^=mg

解得丫=秒聆工

15.天宮空間站是我國自主建設的一個空間站系統(tǒng)，空間站總重量n=180t的軌道高度％=400km,空間站

1122

繞地球一周T=93min。已知地球質量M為G.OxlO9kg,半徑R=6.4x103km。G=6.67xlO-N.m/kg,

忽略其他天體的影響。

（1）天宮空間站在軌期間環(huán)繞地球的運行速度大小也（結果保留兩位有效數字）

（2）為了解釋不接觸的兩物體發(fā)生引力作用，法拉第在電磁學中建立了場的概念。其后，場的概念被應用

到萬有引力中。類比電場強度定義，判斷地球在空間站所處的引力場強度心；（結果保留兩位有效數字）

（3）忽略地球自轉的影響，宇航員在空間站中的重力是在地球表面上的幾倍？請分析說明宇航員在磅秤上

的視重近似為零。

3

【答案】（1）v=7.7xl0ni/s:（2）8.3N/kg,方向指向地心；（3）0.89,宇航員在天宮空間站受到地球的

吸引力提供他繞地球做圓周運動的向心力，因此磅秤對他的彈力幾乎為0,根據牛頓第三定律可知，他對磅

秤的彈力也幾乎為0,所以他的視重幾乎為0。

【詳解】（1）根據勻速圓周運動規(guī)律，可知v=出產解得v=7.7xl03mzs

（2）電場強度定義公式為E=￡設在空間站放置一個質量機很小的物體，定義其受到地球的引力/與它質

q

量m的比值為地球在該處的引力場強度，則鯨=￡其中尸:、2G聯立解得EG=廿=8.3N/kg

m（J