上海市普通中學三校聯考2025屆高二數學第一學期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數列{an}滿足……，則稱數列{an}為“半差遞增”數列.已知“半差遞增”數列{cn}的前n項和Sn滿足，則實數t的取值范圍是（）A. B.（-∞，1）C. D.（1，+∞）2．已知橢圓C：（）的長軸的長為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.3．已知函數，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.4．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.5．對于兩個平面、，“內有無數多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．從直線上動點作圓的兩條切線，切點分別為、，則最大時，四邊形（為坐標原點）面積是（）A. B.C. D.7．準線方程為的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.8．如圖是拋物線拱形橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結果精確到）（參考數值：）A B.C. D.9．執行如圖所示的算法框圖，則輸出的結果是（）A. B.C. D.10．已知等差數列滿足，則等于（）A. B.C. D.11．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，若，則_________.14．若不等式的解集是，則的值是___________.15．與雙曲線有共同漸近線，并且經過點的雙曲線方程是______16．在空間直角坐標系中，向量為平面ABC的一個法向量，其中，，則向量的坐標為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F為PA中點，，．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求二面角A－BC－P的余弦值18．（12分）已知復數，其中i是虛數單位，m為實數（1）當復數z為純虛數時，求m的值；（2）當復數在復平面內對應的點位于第三象限時，求m的取值范圍19．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點是線段上的動點（1）證明：；（2）設平面與平面的夾角為，求的最小值20．（12分）已知橢圓）過點A（0，），且與雙曲線有相同的焦點（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上異于A的兩點，且滿足，試判斷直線MN是否過定點，并說明理由21．（12分）已知數列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和22．（10分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據,利用遞推公式求得數列的通項公式.再根據新定義的意義,代入解不等式即可求得實數的取值范圍.【詳解】因為所以當時,兩式相減可得,即,所以數列是以公比的等比數列當時,所以，則由“差半遞增”數列的定義可知化簡可得解不等式可得即實數的取值范圍為故選：A.2、D【解析】由題設可得求出橢圓參數，即可得方程.【詳解】由題設，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.3、B【解析】根據函數單調性定義、二次函數性質及對稱軸方程，即可求解參數取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數，則，即的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數單調性定義，二次函數性質，屬于基礎題.4、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.5、B【解析】根據平面的性質分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內有無數多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內有無數多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.6、B【解析】分析可知當時，最大，計算出、，進而可計算得出四邊形（為坐標原點）面積.【詳解】圓的圓心為坐標原點，連接、、，則，設，則，，則，當取最小值時，，此時，，，，故，此時，.故選：B.7、D【解析】的準線方程為.【詳解】的準線方程為.故選：D.8、C【解析】先建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，將點坐標代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C9、B【解析】列舉出循環的每一步，利用裂項相消法可求得輸出結果.【詳解】第一次循環，不成立，，；第二次循環，不成立，，；第三次循環，不成立，，；以此類推，最后一次循環，不成立，，.成立，跳出循環體，輸出.故選：B.10、A【解析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【詳解】因為得，因此，.故選：A.11、A【解析】根據平面向量垂直的性質，結合平面向量數量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A12、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，，利用向量數量積的坐標運算可得，然后利用定積分性質可得，原式，最后利用微積分基本定理計算，，利用定積分的幾何意義計算，即可得答案.【詳解】解：因為，，且，所以，解得，所以====.故答案為：.14、【解析】利用和是方程的兩根，再利用根與系數的關系即可求出和的值，即可得的值.【詳解】由題意可得：方程的兩根是和，由根與系數的關系可得：，所以，所以，故答案為：15、【解析】設雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結果【詳解】設與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設為，只需根據已知條件求出即可.16、【解析】根據向量為平面ABC的一個法向量，由求解.【詳解】因為，，所以，又因為向量為平面ABC的一個法向量，所以，解得，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）記PC交DE于點N，然后證明FN∥AC，進而通過線面平行的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標系，進而通過空間向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】因為四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N，所以N為PC的中點連接FN，在△PAC中，F，N分別為PA，PC的中點，所以FN∥AC，因為平面DEF，平面DEF，所以AC∥平面DEF.【小問2詳解】因為PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，所以DA，DC，DP兩兩垂直，如圖以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系則，，，，所以，設平面PBC的法向量為，則，令x=1，則.因為PD垂直于梯形ABCD所在的平面，所以是平面ABC的一個法向量，所以.由圖可知所求二面角為銳角，即所求二面角的余弦值為.18、（1）4（2）【解析】（1）根據純虛數，實部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據第三象限，實部小于零，虛部小于零，列式即可.【小問1詳解】因為為純虛數,所以解得或，且且綜上可得,當為純虛數時;【小問2詳解】因為在復平面內對應的點位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結論.（2）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系寫出點與點的坐標由于軸，可設，可得出與的坐標設為平面的法向量，求出法向量.是關于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則，因為軸，可設，可求得，設為平面的法向量則令，解得，所以又因為是平面的法向量所以，因為，所以所以當時，取到最小值20、（1）（2）直線過定點；理由見解析【解析】（1）根據題意可求得，進而求得橢圓方程；（2）考慮直線斜率是否存在，設直線方程并聯立橢圓方程，得到根與系數的關系式，然后利用，將根與系數的關系式代入化簡得到，結合直線方程,化簡可得結論.【小問1詳解】依題意，，所以，故橢圓方程為：【小問2詳解】當直線MN的斜率不存在時，設M（），N（，），則，,此時M，N重合，不符合題意；當直線MN的斜率存在時，設MN的方程為：，M（，），N（），與橢圓方程聯立可得：，即，∴，即，∴，∴，∴，當時，,直線MN：，即，令，則，∴直線過定點【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時過定點的問題，解答時要注意解題思路的順暢，解答的難點在于運算量較大且復雜，需要十分細心.21、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算