黑龍江省大興安嶺漠河縣第一中學2025屆高一數學第一學期期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知冪函數的圖象過點(2,)，則的值為（）A. B.C. D.2．某甲、乙兩人練習跳繩，每人練習10組，每組40個.每組計數的莖葉圖如下圖，則下面結論中錯誤的一個是（）A.甲比乙的極差大B.乙的中位數是18C.甲的平均數比乙的大D.乙的眾數是213．函數的圖象大致是A. B.C. D.4．高斯是德國著名的數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數()，則函數的值域為（）A. B.C. D.5．土地沙漠化的治理，對中國乃至世界來說都是一個難題，我國創造了治沙成功案例——毛烏素沙漠.某沙漠經過一段時間的治理，已有1000公頃植被，假設每年植被面積以20%的增長率呈指數增長，按這種規律發展下去，則植被面積達到4000公頃至少需要經過的年數為（）（參考數據：取）A.6 B.7C.8 D.96．已知正實數滿足，則的最小值是（）A B.C. D.7．函數y＝的單調增區間為A.（-，） B.（，+）C.(－1，] D.[，4）8．若，則的值為A. B.C.2 D.39．已知集合，集合，則等于（）A. B.C. D.10．Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數（的單位：天）的Logistic模型：其中為最大確診病例數．當時，標志著已初步遏制疫情，則約為（）A.60 B.65C.66 D.69二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為奇函數，，則____________12．已知，且，則______13．圓的圓心到直線的距離為______.14．已知函數，則使不等式成立的的取值范圍是_______________15．設、、為的三個內角，則下列關系式中恒成立的是__________（填寫序號）①；②；③16．已知，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設是函數定義域內的一個子集，若存在，使得成立，則稱是的一個“弱不動點”，也稱在區間上存在“弱不動點”．設函數，（1）若，求函數的“弱不動點”；（2）若函數在上不存在“弱不動點”，求實數的取值范圍18．已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點（1）求的值；（2）求的值19．已知函數定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.（1）判斷并證明函數的奇偶性；（2）判斷并證明函數的單調性；（3）若對所有，恒成立，求的取值范圍.20．已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.21．已知函數是上的奇函數.（1）求的值；（2）比較與0的大小，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】令冪函數且過(2,)，即有，進而可求的值【詳解】令，由圖象過(2,)∴，可得故∴故選：A【點睛】本題考查了冪函數，由冪函數的形式及其所過的定點求解析式，進而求出對應函數值，屬于簡單題2、B【解析】通過莖葉圖分別找出甲、乙的最大值以及最小值求出極差即可判斷A；找出乙中間的兩位數即可判斷B；分別求出甲、乙的平均數判斷C；觀察乙中數據即可判斷D；【詳解】對于A，由莖葉圖可知，甲的極差為，乙的極差為，故A正確；對于B，乙中間兩位數為，故中位數為，故B錯誤；對于C，甲的平均數為，乙的平均數為，故C正確；對于D，乙組數據中出現次數最多為21，故D正確；故選：B【點睛】本題考查了由莖葉圖估計樣本數據的數字特征，屬于基礎題.3、A【解析】利用函數的奇偶性排除選項B、C項，然后利用特殊值判斷，即可得到答案【詳解】由題意，函數滿足，所以函數為偶函數，排除B、C，又因為時，，此時，所以排除D，故選A【點睛】本題主要考查了函數的圖象的識別問題，其中解答中熟練應用函數的奇偶性進行排除，以及利用特殊值進行合理判斷是解答的關鍵，著重考查了分析問題解決問題的能力，屬于基礎題.4、B【解析】先利用換元思想求出函數的值域，再分類討論，根據新定義求得函數的值域【詳解】()，令，可得，在上遞減，在上遞增，時，有最小值，又因為，所以當時，，即函數的值域為，時，；時，；時，；的值域是故選：B【點睛】思路點睛：新定義是通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.5、C【解析】根據題意列出不等式，利用對數換底公式，計算出結果.【詳解】經過年后，植被面積為公頃，由，得.因為，所以，又因為，故植被面積達到4000公頃至少需要經過的年數為8.故選：C6、B【解析】根據題中條件，得到，展開后根據基本不等式，即可得出結果.【詳解】因為正實數滿足，所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.7、C【解析】令，，（）在為增函數，在上是增函數，在上是減函數；根據復合函數單調性判斷方法“同增異減”可知，函數y＝的單調增區間為選C.【點睛】有關復合函數的單調性要求根據“同增異減”的法則去判斷，但在研究函數的單調性時，務必要注意函數的定義域，特別是含參數的函數單調性問題，注意對參數進行討論，指、對數問題針對底數a討論兩種情況，分0<a<1和a>1兩種情況，既要保證函數的單調性，又要保證真數大于零.8、A【解析】利用同角三角函數的基本關系，把要求值的式子化為，即可得到答案.【詳解】由題意，因為，所以，故選A【點睛】本題主要考查了三角函數的化簡求值問題，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，合理化簡、運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力.9、A【解析】根據題意先解出集合B，進而求出交集即可.詳解】由題意，，則.故選：A.10、B【解析】由已知可得方程，解出即可【詳解】解：由已知可得，解得，兩邊取對數有，解得.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據奇偶性求函數值.【詳解】因為奇函數，，所以.故答案為：.12、##【解析】由，應用誘導公式，結合已知角的范圍及正弦值求，即可得解.【詳解】由題設，，又，即，且，所以，故.故答案為：13、1【解析】利用點到直線的距離公式可得所求的距離.【詳解】圓心坐標為，它到直線的距離為，故答案為：1【點睛】本題考查圓的標準方程、點到直線的距離，此類問題，根據公式計算即可，本題屬于基礎題.14、【解析】由奇偶性定義可判斷出為偶函數，結合復合函數單調性的判斷可得到在上單調遞增，由偶函數性質知其在上單調遞減，利用函數單調性解不等式即可求得結果.【詳解】由，解得：或，故函數的定義域為，又，為上的偶函數；當時，單調遞增，設，，在上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞增，又為偶函數，在上單調遞減；由可知，解得.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題考查利用函數單調性和奇偶性求解函數不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調性的作用如下：（1）奇偶性：統一不等式兩側符號，同時根據奇偶函數的對稱性確定對稱區間的單調性；（2）單調性：將函數值的大小關系轉化為自變量之間的大小關系.15、②、③【解析】因為是的內角，故，，從而，，，故選②、③.點睛：三角形中各角的三角函數關系，應注意利用這個結論.16、##【解析】首先根據同角三角函數的基本關系求出，再利用二倍角公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，最后代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0（2）【解析】（1）解方程可得；（2）由方程在上無解，轉化為求函數的取值范圍，利用換元法求解取值范圍，同時注意對數的真數大于0對參數范圍有限制，從而可得結論【小問1詳解】當時，，由題意得，即，即，得，即，所以函數的“弱不動點”為0【小問2詳解】由已知在上無解，即在上無解，令，得在上無解，即在上無解記，則在上單調遞減，故，所以，或又在上恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，記，則在上單調遞減，故，所以，綜上，實數的取值范圍是18、（1）（2）2【解析】（1）根據題意可得，結合三角函數誘導公式即可求解.（2）利用正切函數的誘導公式，及正切函數兩角差公式即可求解.【小問1詳解】解析：（1）由已知可得【小問2詳解】（2）19、（1）為奇函數；證明見解析；（2）是在上為單調遞增函數；證明見解析；（3）或.【解析】（1）根據已知等式，運用特殊值法和函數奇偶性的定義進行判斷即可；（2）根據函數的單調性的定義，結合已知進行判斷即可；（3）根據（1）（2），結合函數的單調性求出函數在的最大值，最后根據構造新函數，利用新函數的單調性進行求解即可.詳解】（1）∵，令，得，∴，令可得：，∴，∴為奇函數；（2）∵是定義在上的奇函數，由題意設，則，由題意時，有，∴，∴是在上為單調遞增函數；（3）∵在上為單調遞增函數，∴在上的最大值為，∴要使，對所有，恒成立，只要，即恒成立；令，得，∴或.【點睛】本題考查了函數單調性和奇偶性的判斷，考查了不等式恒成立問題，考查了數學運算能力.20、（1）；（2）.【解析】(1)求出集合A和B，根據并集的計算方法計算即可；(2)求出，分B為空集和不為空集討論即可.【小問1詳解】，當時，，∴；【小問2詳解】{或x＞4}，當時，，，解得a＜1；當時，若，則解得.綜上，實數的取值范