2025屆湖北省孝感一中高二數學第一學期期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A. B.C. D.2．等比數列的各項均為正數，且，則（）A.5 B.10C.4 D.3．已知離散型隨機變量X的分布列如下：X123P則數學期望（）A. B.C.1 D.24．定義在區間上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論不正確的是（）A.函數在區間上單調遞增 B.函數在區間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值5．在棱長為1的正方體中，點，分別是，的中點，點是棱上的點且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.6．等比數列的第4項與第6項分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或7．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件8．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.9．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點唯一確定一個平面B.一條直線和一個點唯一確定一個平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內10．已知{an}是以10為首項，－3為公差的等差數列，則當{an}的前n項和Sn，取得最大值時，n=（）A.3 B.4C.5 D.611．已知滿約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.312．若，在直線l上，則直線l一個方向向量為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________14．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，M的準線為l且與x軸相交于點B，A為M上的一點，直線AO與直線l相交于C點，若，，則M的標準方程為______________.15．若直線與平行，則實數________.16．在平面直角坐標系中，直線與的交點為，以為圓心作圓，圓上的點到軸的最小距離為（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）過點作圓的切線，求切線的方程三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某學校高一、高二、高三的三個年級學生人數如下表，按年級分層抽樣的方法評選優秀學生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經檢測她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過5分的概率.18．（12分）直線經過點，且與圓相交與兩點，截得的弦長為，求的方程.19．（12分）已知數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和.20．（12分）已知各項均為正數的等比數列{}的前4項和為15，且.（1）求{}的通項公式；（2）若，記數列{}前n項和為，求.21．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F分別為、的中點.（1）求證：平面BED；（2）求直線與平面FAC所成角的正弦值.22．（10分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知可設，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質，考查數形結合思想、轉化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數學素養2、A【解析】利用等比數列的性質及對數的運算性質求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A3、D【解析】利用已知條件，結合期望公式求解即可【詳解】解：由題意可知：故選：D4、C【解析】根據函數的單調性和函數的導數的值的正負的關系，可判斷A,B的結論;根據函數的極值點和函數的導數的關系可判斷、的結論【詳解】函數在上，故函數在上單調遞增，故正確；根據函數的導數圖象，函數在時，，故函數在區間上單調遞減，故正確；由A的分析可知函數在上單調遞增，故不是函數的極值點，故錯誤；根據函數的單調性，在區間上單調遞減，在上單調遞增，故函數處取得極小值，故正確，故選：5、A【解析】建立空間直角坐標系，寫出點、、、和向量的、坐標，運用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.6、C【解析】根據等比數列的通項公式計算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C7、A【解析】根據直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.8、C【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質進行求解.【詳解】連接與，因為，則為所求，又是正三角形，.故選：C.9、C【解析】根據確定平面的條件可對每一個選項進行判斷.【詳解】對A，如果三點在同一條直線上，則不能確定一個平面，故A錯誤；對B，如果這個點在這條直線上，就不能確定一個平面，故B錯誤；對C，兩條平行直線確定一個平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個平面內，故這三條直線在同一平面內，C正確；對D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個平面，也可確定三個平面，故D錯誤.故選：C10、B【解析】由題可得當時，，當時，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項，－3為公差的等差數列，∴，故當時，，當時，，故時，取得最大值故選：B.11、B【解析】作出給定不等式表示的平面區域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影，其中，，目標函數，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，作出直線，平移直線到直線，使其過點A時，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B12、C【解析】利用直線的方向向量的定義直接求解.【詳解】因為，在直線l上，所以直線l的一個方向向量為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據已知可得，設，利用勾股定理結合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.14、【解析】先利用相似關系計算，求得直線OA的方程，再聯立方程求得，利用拋物線定義根據即得p值，即得結果.【詳解】因為，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標準方程為.故答案為：.15、【解析】根據兩直線平行可得出關于實數的等式與不等式，即可解得實數的值.【詳解】因為，則，解得.故答案為：.16、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）求出點的坐標，設圓的半徑為，圓上的點到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標準方程；（Ⅱ）對切線的斜率是否存在進行分類討論，當切線的斜率不存在時，可得切線方程為，驗證即可；當切線的斜率存在時，可設所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（Ⅰ）聯立方程組，解得，即點設圓的半徑為，由于圓上的點到軸的最小距離為，則，所以，故圓的標準方程為；（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；若切線的斜率存在，可設切線的方程為，即，圓的圓心坐標為，半徑為，由題意可得，整理得，解得或故所求切線方程為或【點睛】本題考查圓的標準方程的求解，同時也考查了過圓外一點的圓的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據分層抽樣的方法，列出關系式計算即可；（2）根據分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數，進而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據古典概型的概率公式計算即可；（3）求出樣本平均數，進而求出與樣本平均數之差的絕對值不超過5的數，從而利于古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】設該校總人數為n人，由題意得，所以，.【小問2詳解】設所抽樣本中有m個女生，因為用分層抽樣的方法在高一學生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問3詳解】樣本的平均數為，那么與樣本平均數之差的絕對值不超過5的數為94，86，92，87，90，93這6個數，總的個數為8，所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過5的概率為.18、或【解析】直線截圓得的弦長為，結合圓的半徑為5，利用勾股定理可得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式列方程求出直線斜率，由點斜式可得結果.【詳解】設直線的方程為，即，因為圓的半徑為5，截得的弦長為所以圓心到直線的距離，即或，∴所求直線的方程為或.【點睛】本題主要考查點到直線距離公式以及圓的弦長的求法，求圓的弦長有兩種方法：一是利用弦長公式，結合韋達定理求解；二是利用半弦長，弦心距，圓半徑構成直角三角形，利用勾股定理求解.19、（1）（2）【解析】（1）根據與的關系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯位相減法求出數列的前n項和.【小問1詳解】，當時，，當時，，也滿足上式，數列的通項公式為：.【小問2詳解】由（1）可得，①②①②得，20、（1）（2）【解析】（1）設正項的等比數列的公比為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求得數列的通項公式；（2）由，結合乘公比錯位相減求和，即可求解.小問1詳解】解：設正項的等比數列的公比為，顯然不為1，因為等比數列前4項和為且，可得，解得，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】解：由，所以，可得，兩式相減得，所以.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明垂直于平面BED內的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以OB，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標系，平面FAC的一個法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；【小問1詳解】∵ABCD為菱形，∴，設AC與BD的交點為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面A